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人教版九年级上册第一次月考模拟卷
考试范围：第21-22.1.3章 ；考试时间：120分钟；姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·山东烟台·八年级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x＋3）＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣2x＋3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）
是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓
住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整
式方程”．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则m的值
为（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【答案】B
【分析】把x=1代入方程 得1+3-m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
∴1+3-m=0，
解得 ．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程 化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程整理为一般式即可．
【详解】解： ，
，
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为 是解
题的关键．
4．（2022·内蒙古赤峰·一模）将一元二次方程 化成 的形式，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将常数项移到右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9，计算即可．
【详解】解：∵
x2-6x=-5
x2-6x+9=-5+9
(x-3)2=4
∴k=4，
故选：B．
【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
5．（2022·河南商丘·三模）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的值，再比较出其与0的大小即可求解．【详解】解：A. ，不能判断大小，不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与 的关系是解答此题的关键．
6．（2022·北京·九年级专题练习）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个
长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，
根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得： ，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
7．（2021·黑龙江牡丹江·九年级阶段练习）若抛物线 的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．0
【答案】A
【分析】根据抛物线 的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，可以得到 ，然后求解
即可．【详解】解：∵抛物线 的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得a＝ ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质和定义，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，求出a的值．
8．（2022·全国·九年级专题练习）对于二次函数y＝x2 4x 1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ 2， 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵ ，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，-5），
∴当 时，y随x的增大而增大，
故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（2022·全国·九年级）函数y＝ax－a和 （a为常数，且 ），在同一平面直角坐标系中的
大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先根据 的顶点坐标为 判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判
断 则 从而可得答案．
【详解】解：由 的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性
质”是解本题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，
其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h和 的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当 时，x=3时，函数取得最小值1，即 ，
解得h=4或h=2（舍去）；
②当 时，x=1时，函数取得最小值1，即 ，解得h=0或h=2（舍去）；
③当 时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2022·江苏南京·八年级期末）方程（x﹣1）2＝6的解是_____．
【答案】
【分析】把方程两边开方得到 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可
采用直接开平方的方法解一元二次方程．
12．（2021·上海浦东新·九年级期末）如果（2，y）（3，y）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么
1 2
y_____y．（填“＞”或“＜”）
1 2
【答案】＜
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右
侧，y随x的增大而增大．
【详解】解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，∴y＜y．
1 2
故答案为＜．
【点睛】本题考查了 的性质，求得对称轴是解题的关键．
13．（2021·黑龙江牡丹江·九年级阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平移8个单位
长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 _____．
【答案】10
【分析】先得到抛物线 的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点
的坐标为（6，﹣8），然后根据勾股定理即可求得．
【详解】∵抛物线 的顶点坐标为（0，0）
∴抛物线向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后得到对应点的坐标为（6，-8）
∴抛物线的顶点与原点O的距离为： ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，求得平移后的顶点坐标是解题的关键．
14．（2023·河北·九年级专题练习）在一元二次方程 中，若 ，则称a是该方程的中
点值．
（1）方程 的中点值是______；
（2）已知 的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为______．
【答案】 4 48
【分析】（1）利用中点值的定义进行分析即可；（2）利用中点值的定义求出 的值，将 的值与方程的根代入方程即可求出 ，从而计算 的值．
【详解】解：（1）由 ，得 ，
，
该方程的中点値为 ．
（2）由 ，得 ，
该方程的中点值为 ，
，解得 ．
的一个根是 ，
，即 ，
解得 ．
符合题意．
．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了新定义概念，解决本题的关键是充分理解新定义的含义．
三、解答题
15．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）请按指定的方法解方程．
(1)用公式法解方程：x2﹣x﹣5＝0；
(2)用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0．
【答案】(1)x＝ ，x＝
1 2
(2)x＝﹣2+ ，x＝﹣2﹣
1 2
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（1）解：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝21，
∴x＝ ，
∴x＝ ，x＝ ．
1 2
（2）
x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴x+2＝± ，
∴x＝﹣2+ ，x＝﹣2﹣ ．
1 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解
法是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用判别式 即可求解．
（2）利用因式分解变形得 ，可得方程的解，再根据方程有一个根小
于0即可求解．
（1）
解：依题意，得：
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，∴ ．
（2）
解：
解得 ， ，
∵方程有一个根小于0，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别
式是解题的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点．
17．（2020·浙江·八年级期中）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值；
（3）用配方法求代数式 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）代数式 的最小值为2
【分析】（1）由 ， 可得 、 的值，由 ，然后代入求解即
可；
（2）由等式的性质可把方程变形为 ，然后利用完全平方公式可进行求解；
（3）利用配方法可把代数式变形为 ，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）由 可变形为： ，∴两边同时平方得： ，
∴ ，
∴ ；
（3）根据配方法可得：
，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用，熟练掌握完全平方公
式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用是解题的关键．
18．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
（1）求函数y=ax2+c的表达式．
（2）若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
【答案】（1）y=2x2-3；（2）C（5，-2）；D（ ，7）或（- ，7）．
【分析】试题分析：（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式求出m与n的值，确定出C与D坐标即可．
【详解】解：（1）将A（1，-1），B（2，5）代入y=ax2+c得：
，
解得： ，
则二次函数解析式为y=2x2-3；
（2）将x=-2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（5，-2）；
将x=n，y=7代入二次函数解析式得：7=2n2-3，即n=± ，即D（ ，7）或（- ，7）．
【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．
19．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y=a（x-h） +k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出 随 的增大而增大的自变量 的取值范围；
（3）当自变量 取何值时，函数 有最大值？最大值为多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时， 有最大值，最大值为2
【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设顶点式 ，将
代入解析式，即可求得 的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，进而求得当 时，最值为2．
【详解】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设顶点式 ，将 代入得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，即 时， 随 的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，
当 时， 有最大值，最大值为2．【点睛】本题考查了二次函数 的图象与性质，掌握 的图象与性质是解题的
关键．
20．（2022·江苏南京·模拟预测）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺
设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如
果要使冰场的面积是原空地面积的 ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，
那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的 列出方程，解方程后
再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得， ， （舍去），
则上、下通道的宽度为 （米），左、中、右通道的宽度 （米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
21．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与 轴交点为 ，求 ．
【答案】(1)y=-x2+2x+8；
(2)S BCD=6．
△
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD计算即可求解．
梯形
（1） △ △ △
解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，
∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
（2）
解：过点C作CE⊥y轴于点E，∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD
梯形
△ △ △
= (1+4)×9- ×1×1- ×4×8
=6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式
是解题的关键．
22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1， ，点P从A出发，沿 路线运动，到
D停止；点P的速度为每秒 ，运动时间为x秒，如图1是 的面积 与x（秒）的图像．
(1)______时间段内点P在线段 上运动；______时间段内点P在线段 上运动；
(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的 ______ ； ______ ； ______ ；图
2中的 ______ ；
(3)当点P运动______秒时， ．
【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3
(3)3
【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点
P在线段BC上运动，即可求解；
（2）从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP
的面积S为m，即可求解；
（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．
（1）
解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段
BC上运动，
故答案为：0到2；2到5；
（2）
解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），
当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，
即m＝S＝ ×AB•BC＝ ×2×3＝3（cm2），
故答案为：2，3，1，3；
（3）
解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，
此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，
则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，
当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进
而求解．
23．（2021·福建·漳州市第七中学九年级阶段练习）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大
的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，
2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降
低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ；
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利
1150元，单价应降低多少元？
【答案】(1)10%
(2)单价应降低15元
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-
下降率) ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该
电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值
即可得出结论．
（1）
解：设平均下降率为x，
依题意得： ，
解得：x＝0.1＝10%，x＝1.9（不合题意，舍去）．
1 2
答：平均下降率为10%．
故答案为：10%．
（2）
设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+ ×10＝
（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得： ，
解得：m＝15，m＝13．
1 2
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
