文档内容
清单 01 一元二次方程（13 个考点梳理+题型解读+核心素养提
升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【例1】．（2022秋•龙凤区校级期末）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣
3）＝x2﹣3，④ ，⑤ ，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，
整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程，
是分式方程，不是一元二次方程，
所以一元二次方程有2x2﹣1＝0， ，共2个，故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未
知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【变式】．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范
围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
考点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【例2】（2022秋•大连期末）一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c
的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1
C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．
【解答】解：∵3x2﹣6x＝1，
∴3x2﹣6x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：
找各项系数时，带着前面的符号．
【变式】．（2022秋•新洲区期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中
二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项
的系数带着前面的符号．
考点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
【例3】（2022秋•长安区期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，则m的值为（
）
A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10
【分析】先把x＝1代入一元二次方程x2+mx+9＝0即可得出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，
∴12+m+9＝0，
∴m＝﹣10．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
【变式】．（2022秋•锡山区校级期末）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，
则a的值为 ．
【分析】把x＝0代入一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0中求出a的值，再根据一元二次方程的定义
判断即可．
【解答】解：把x＝0代入方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得：a2﹣4＝0，
解得a＝±2，∵方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2，
∴a的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程解的意义
是解本题的关键．
考点四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
【例4】．（2022秋•雅安期末）方程（x﹣3）2＝16的根为（ ）
A．x ＝x ＝7 B．x ＝7，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝x ＝﹣1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案．
【解答】解：（x﹣3）2＝16，
开方得：x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
解得：x ＝7，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
【变式】．（2022秋•潼南区期末）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
【分析】先变形得到（x﹣2）2＝ ，再利用直接开平方法解方程得到x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，然
1 2后利用1＜ ＜2可对各选项进行判断．
【解答】解：37（x﹣2）2＝42，
（x﹣2）2＝ ，
x﹣2＝± ，
解得x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
∵1＜ ＜2，
∴x ＞3，x ＜1．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次
方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
考点五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
【例5】．（2022秋•醴陵市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型【变式】．（2022秋•赫山区期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
（x+3）2＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
考点六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
【例6】．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
1 2
小明是从第 步开始出错．
【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．
【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
【点评】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次
方程的关键．【变式】．（2022秋•保德县校级期末）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】根据公式法解方程即可．
【解答】解：x2﹣3x﹣3＝0，
a＝1，b＝c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴ ，
解得 ， ．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解方程是解答本题的关键．
考点七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，
得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【例7】．（2022秋•赣州期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2﹣3）（x﹣2）＝0，即（x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x ＝5，x ＝2．
1 2【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
考点八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，
从而达到降次的目的．
【例8】．（2022秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣
1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】此题实际上求 的值．设t＝a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t﹣1）＝
12，通过解方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝a2+b2，则由原方程，得
t（t﹣1）＝12，
整理，得
（t﹣4）（t+3）＝0，
解得t＝4或t＝﹣3（舍去）．
则a2+b2＝4，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为 ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
【变式1】．（2022秋•集贤县期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设
x2﹣1＝y，则原方程可化为： ．
【分析】根据换元法，设x2﹣1＝y，代入原方程即可求解．
【解答】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0．
故答案为：y2﹣5y+4＝0．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
【变式2】．（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y ＝2，y ＝1，
1 2
当x2＝2时， ，
当x2＝1时，x＝±1，
∴原方程的解为 或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
设x2﹣1＝y，
原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y ＝2，y ＝3，
1 2
当x2﹣1＝2时， ，
当x2﹣1＝3时，x＝±2，
∴原方程的解为 或x＝±2．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
考点九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【例9】．（2022秋•锡山区校级期末）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣5）＝k2﹣2k+21＝（k﹣1）2+20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．
【变式】．（2022秋•南明区期末）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，
则m的值可以是 （写出一个值即可）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，
在m的范围内即可判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×1×2＞0，
解得：m＞1+2 或x＜1﹣2 ，
取m＝4，
故答案为：4（不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0”是解题的关键．
考点十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过
1 2 1 2 1 2
来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
1 2 1 2
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
1 2
x +x ＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由
1 2
给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还
要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例10】．（2022秋•天河区校级期末）若 ， 是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值
为（ ） α β α α β
A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010
【分析】由根与系数的关系，得到 + ＝﹣2， • ＝﹣2024，由方程的根可得 2+2 ＝2024，然后代入
变形后的式子求值，即可得到答案．α β α β α α
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣2， 2 α+2 β＝2024，
∴α原式β ＝ 2+2α+ +α
＝2024+（α﹣2α）α β
＝2022．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二
次方程根与系数的关系．
【变式】．（2022秋•平顶山期末）设 ， 是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，则 ＝ ．
α β
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，再由 ，
即可求解．
【解答】解：∵ ， 是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，
α β
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c
1 2
＝0（a≠0）的两个实数根，则 ， 是解题的关键．
考点十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示
问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
【例11】．（2022秋•开州区期末）李师傅去年开了一家商店，今年 1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456
C．2400（1+2x）＝3456 D．2400（1﹣2x）＝3456
【分析】设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，根据增长率问题，列出一元二次方程即可求解．
【解答】解：设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为2400（1+x）2＝3456，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式】．（2022秋•路南区期末）如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建三
条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为
112m2，设小路宽x m，若x满足的方程为（ ）
A．x2﹣17x﹣16＝0 B．x2﹣17x+16＝0
C．x2+17x﹣16＝0 D．x2+17x+16＝0
【分析】设小路宽x m，则草坪的总长度为（16﹣2x）m，总宽度为（9﹣x）m，根据题意得（16﹣2x）
（9﹣x）＝112，进行计算即可得．
【解答】解：设小路宽x m，则草坪的总长度为（16﹣2x）m，总宽度为（9﹣x）m，
根据题意得（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
144﹣16x﹣18x+2x2＝112，
2x2﹣34x+32＝0，
x2﹣17x+16＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程．
考点十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、
梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
【例12】．（2022秋•滨城区期末）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长
35m）（墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m，设鸡场垂直于墙
的一边为x m，则x的值是（ ）
A．15m B．20m C．20m或15m D．20m或12m
【分析】根据题意列出方程，解方程求解，并检验平行于墙的一边长不超过35米即可解题．
【解答】解：列方程得：x（69+1﹣2x）＝600，
解得：x＝20或x＝15，
当x＝20时，平行于墙的一边长为：70﹣2×20＝30米＜35米；
当x＝15时，平行于墙的一边长为：70﹣2×15＝40米＞35米，不符合题意舍去；
所以x＝20．
故答案为：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出方程，注意要检验，使得结果符合实际情况是解题关．
【变式1】．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共
握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为 x（x﹣1），根据一共
握了66次手列出方程求解．
【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
x（x﹣1）＝66，
整理，得x2﹣x﹣132＝0
解得x ＝12，x ＝﹣11，（舍去）
1 2
则参加这次会议的有12人．
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次
数为 x（x﹣1）．
【变式2】．（2022秋•东丽区期末）用一条长为40cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不
可能的是（ ）
A．64 B．96 C．100 D．101
【分析】设围成面积为a，矩形形的长为x cm，则宽为（40÷2﹣x）cm，然后根据矩形的面积公式表示
出a，此时可以将方程看成是一个关于x的一元二次方程，根据方程的根的判别式即可得到a的取值范
围，即可得解．
【解答】解：设围成面积为a，矩形形的长为x cm，则宽为（40÷2﹣x）cm，
依题意得x（40÷2﹣x）＝a，
整理得x2﹣20x+a＝0，
由于此方程有解，则Δ＝400﹣4a≥0，
解得a≤100，
∴a的值不可能为101，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的相关知识以及一元二次方程的应用，解题关键根据一元二次方程根的判别式得
解．
【变式3】．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖
两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为 5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相
等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（ ）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的
矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其较小值即可得出结论．
【解答】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）
米的矩形，
根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750，
整理得：3x2﹣220x+1025＝0，
解得：x ＝ ＞60（舍去），x ＝5．
1 2
即垂钓通道的宽度为5米．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4】．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人
可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（ ）
A．338 B．256 C．2197 D．2028
【分析】根据题意每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过一轮有x人被传染，那么经过两轮后有
[x（x+1）+x+1]人感染，列出方程解得x，即可求出第三轮感染人数．
【解答】解：设在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，[x（x+1）+x+1]＝169，
即（1+x）2＝169，
解得x ＝12，x ＝﹣14（舍），
1 2
∴每轮传染中平均一个人可以传染12个人，
∴第三轮传染后感染人数为169+169×12＝2197，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5】．（2022秋•开江县期末）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种
子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子
平均每年的增长率为x，则x的值为 ．【分析】利用该实验基地现有种子种数＝该实验基地两年前种子种数×（1+培育的种子平均每年的增长
率）2，即可得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得，150（1+x）2＝216．
解得，x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
所以，培育的种子平均每年的增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式6】．（2022秋•大余县期末）乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产
业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策
体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积
极开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元．试计算小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平
均增收率为多少？
【分析】设小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为x，利用小明家2021年家庭年总收入＝
小明家2019年家庭年总收入×（1+小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率）2，可列出关于x
的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为x，
根据题意得：6.25（1+x）2＝9，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7】．（2022秋•蒙自市期末）2022年11月卡塔尔世界杯足球赛期间，在卡塔尔某商店销售一批由
中国制造的足球纪念衫，每件进价30元，规定销售单价不低于30元，且不高于60元．当销售单价定
为60元时，每天可售出80件．当销售单价每降低10元时，每天可多卖20件，现商店决定降价销售，
设每天销售量为y件，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每件足球纪念衫销售单价是多少元时，商店每天获利2000元？
【分析】（1）根据当销售单价定为60元时，每天可售出80件，当销售单价每降低10元，每天可多卖
20当件可得到函数解析式，再根据规定销售单价不低于30元，且且不高于60元，可得自变量的取值范
围；
（2）把获利2000代入关系式，再解一元二次方程并检验即可．
【解答】解：（1）由题意得 ，30≤x≤60，则y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）根据题意得（x﹣30）（﹣2x+200）＝2000，
解得x ＝50，x ＝80（舍去），
1 2
答：当每件足球纪念衫销售单价是50元时，商店每天获利2000元．
【点评】此题考查了函数关系式，一元二次方程的应用，理解题意，正确的列出函数关系式和解一元二
次方程是解题的关键．
【变式8】．（2022秋•肇庆期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元
的价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办
法来增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高1元，每天的销售量就会减少10件，销售
这种纪念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．
【分析】设售价是x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天可售出（300﹣10x）件，利用总利润＝
每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设售价是x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天可售出200﹣10（x﹣10）＝（300
﹣10x）件，
根据题意得：（x﹣8）（300﹣10x）＝1050，
整理得：x2﹣38x+345＝0，
解得：x ＝15，x ＝23．
1 2
答：售价为15或23元时，每天获得利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式9】．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准
备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【分析】（1）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符
合题意，即可作出判断．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x ＝5，x ＝8，
1 2
当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝130，
整理得：3x2﹣39x+130＝0，
Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
【变式10】．（2022秋•石城县期末）在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管
理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面
积为1421平方米，小道的宽为多少米？
【分析】设小道的宽为x米，则其他部分可合成长（50﹣x）米，宽（30﹣x）米的矩形，根据这块矩形
试验田中种植的面积为1421平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合
30﹣x＞0，即可得出小道的宽为1米．
【解答】解：设小道的宽为x米，则其他部分可合成长（50﹣x）米，宽（30﹣x）米的矩形，
依题意得：（50﹣x）（30﹣x）＝1421，整理得：x2﹣80x+79＝0，
解得：x ＝1，x ＝79．
1 2
又∵30﹣x＞0，
∴x＜30，
∴x＝1．
答：小道的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式11】．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教
育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的
墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的
前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出长BC为（36﹣3x）米；
（2）根据围成的菜地面积为96平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为
x米，
∴长BC为34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x ＝4，x ＝8．
1 2
当x＝4时，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合题意，舍去；
当x＝8时，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合题意．
答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，
用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【变式12】．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点
P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，
P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的
，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即
△PCQ的面积是△ABC面积的 ），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即
可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t ＝t ＝2．
1 2
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+8＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根．∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
考点十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【例13】．（2022秋•开州区期末）定义；如果代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）与
1 1 1 1
（a ≠0，a ，b ，c 是常数）满足a +a ＝0，b +b ＝0，c +c ＝0，则称两个代数式为
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：x2+3x的“相反式”是x2﹣3x；
（2）若﹣2x2﹣3x﹣18m与2x2+nx﹣2n互为“相反式”，则（mn）2023的值为﹣1；
（3）当x＝2时，代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）的值为10，则它的“相反式”
1 1 1 1
的值为﹣10；
（4）无论x取何值，代数式2x2﹣4x+c的值总大于其“相反式”的值，则c的取值范围为c＞2．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组 ，再解方程组可判断（2），
先把x＝2代入代数式 ，再把x＝2代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不
等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案．
【解答】解：（1）x2+3x的“相反式”是﹣x2﹣3x，（1）错误；
（2）由题意得， 解得 ，∴（mn）2023＝﹣1，（2）正确；
（3）当时x＝2，代数式
∵a +a ＝0，b +b ＝0，c +c ＝0
1 2 1 2 1 2
∴ ，（3）正确；
（4）由题意得，2x2﹣4x+c＞﹣2x2+4x﹣c
∴4x2﹣8x+2c＞0即4（x﹣1）2+2c﹣4＞0
∵4（x﹣1）2≥0，
∴2c﹣4＞0解得c＞2，（4）正确；
故正确结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查的是相反式的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，非负数的性质，不等
式的性质，因式分解的应用，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键．
【核心素养提升】
1、数学建模--构建一元二次方程解决实际问题
1.（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4
月份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月
份的营业额；
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份
的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1250×（1+20%）
＝1250×1.2
＝1500（万元）．
答：该商场2月份的营业额为1500万元．
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝1815，解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
2．（2022秋•西安期末）某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，决定降价促销．据调查发现，若每件商
品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，用含x的代数式表示可售出商品的件数；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
【分析】（1）降价1元，可多售出20件，降价x元，可多售出20x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降
低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数500+20×降价的钱数），列出方程
求解即可．
【解答】解：（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（500+20x）件，其中x≥1；
（2）根据题意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，
解得x ＝10，x ＝15，
1 2
∵尽快清仓，
∴x ＝10舍去，
1
答：x的值为15．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
2、数学运算
3．（2022秋•嘉鱼县期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当
x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于
x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．
例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．请根据上述材料解决下列问题：
（1）多项式x2+2x+1的对称轴是 ；
（2）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（3）若关于x的多项式2x2+4ax﹣1关于x＝﹣2对称，求a的值．
【分析】（1）配方，整理，根据定义回答即可；
（2）加上9，同时再减去9，配方，整理，根据定义回答即可；
（3）将2x2+4ax﹣1配成2（x+a）2﹣2a2﹣1，根据对称轴的定义，对称轴为x＝﹣a，根据对称轴的一
致性，求a即可．
【解答】解：（1）x2+2x+1＝（x+1）2，
∴多项式x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1；
（2）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝3；
（3）2x2+4ax﹣1
＝
＝
＝
＝2（x+a）2﹣2a2﹣1
当x+a取任意一对相反数时，多项式2（x+a）2﹣2a2﹣1的值相等，
∴多项式对称轴是直线x＝﹣a，即a＝2．
【点评】本题考查了配方法，熟练利用完全平方公式进行配方是解题的关键．
3、分类讨论思想
4．（2022秋•平顶山期末）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AB＝16cm，BC＝8cm，动点P从
点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速
度向点D运动．设运动的时间为t s．
（1）当t＝ s时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，点P和点Q之间的距离为10cm．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出当AP＝EQ时，四边形APQE为平行四边形求出即可；
（2）设当t秒时PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．
【解答】解：（1）如图，
当四边形APQE为平行四边形时，则AP＝EQ，
∵AP＝3t cm，EQ＝（8﹣2t）cm，
∴3t＝8﹣2t，
解得 ，
∴当 s时，以A、P、Q、E为顶点的四边形APQE是平行四边形；
故答案为： ；
（2）设运动时间为t s，由题意得AP＝3t cm，CQ＝2t cm．
①如图1，当点P在点Q的上方时，过点P作PM⊥CD于点M．在Rt△PMQ中，PM＝8cm，MQ＝16﹣3t﹣2t＝（16﹣5t）cm，PQ＝10cm，
由勾股定理得PM2+MQ2＝PQ2，即82+（16﹣5t）2＝102，
解得t＝2．
②如图2，当点P在点Q的下方时，过点P作PN⊥CD于点N．
在Rt△PNQ中，PN＝8cm，NQ＝2t﹣（16﹣3t）＝（5t﹣16）cm，PQ＝10cm．
由勾股定理得PN2+NQ2＝PQ2，即82+（5t﹣16）2＝102，解得 ．
由 得 符合题意．
综上得t＝2或 ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用平行四
边形的性质是解题关键．【中考热点聚焦】
热点 1、一元二次方程的解法
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的
形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再
利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
3．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式 3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何
（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝ ＝ ，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
4．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝ ＝ ＝﹣2±2 ，
∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ，
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、
公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
5．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
6．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x ＝1，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边
能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法
是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
7．（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x ＝1，x ＝5．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
热点 2、一元二次方程根的判别式
8．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
9．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k≤ C．k＜ 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，得 k≠0，根据方程有两个实数根，得出 Δ≥0，求出k的取值范围
即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤ ，
∴k的取值范围是k≤ 且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式
的关系是解题的关键．
10．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
热点 3、一元二次方程根与系数的关系
11．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，
且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据
菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，
∴ ab＝11即ab＝22．
∴由题意，得 ．
∴菱形的边长＝
＝
＝＝
＝
＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，
根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
12．（2023•天津）若x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝6 B．x +x ＝﹣6 C．x x ＝ D．x x ＝7
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝﹣7，
1 2 1 2
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设 x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两个实数根，则 ， ．
热点 4、一元二次方程的应用
13．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部
分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据
花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x ＝5，x ＝70（不符合题意，舍去），
1 2
∴小路的宽是5m．故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2023•牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达
到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
【分析】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）
2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
1 2
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游
客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景
区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月
份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出
不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x＝﹣ （不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
16．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x ＝16，x ＝20，
1 2
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
17．（2023•淮安）
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），
另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明
理由．
【分析】设AB的长度为x m，则BC的长度为 m，由“生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成，生态园的面积为40m2”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：生态园的面积能为40m2，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为 m，
由题意得：x• ＝40，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x ＝10，x ＝8，
1 2
∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，找准等量关系，列出一元二次方程是解
题的关键．
18．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知 2020年
该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书
资金的平均增长率．
【分析】根据“2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元”列方程求解．
【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，
则：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系的解题的关键．
