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【中考冲刺】2023年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用）
模拟测试卷 04
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1． （ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
【详解】解： ，
故选A．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，积的幂运算，同底数幂的乘除法进行计算即可．
【详解】解： ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练完全平方公式，积的乘方运算，同底数幂的乘除法法则是解
题的关键．
3．已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，则 的值为（ ）A． B． C．1011 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若 ， 是一元二次方程
的两个实数根，则 ， 是解题的关键．
4．如图是化学实验室经常用到的玻璃漏斗，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从上向下看，确定俯视图，进行判断即可．
【详解】解：玻璃漏斗的俯视图是：
故选D．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握从不同的方向观察几何体，确定三视图，是解题的关键．
5．如图， 为圆O的直径， 为圆O的弦， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，得到
，勾股定理求出 ，根据余弦的定义，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ 为圆O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆
周角相等，以及余弦的定义，是解题的关键．
6．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数
在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得 ，根据抛物线开口向下可得 ，由对称轴
在y轴右边可得a、b异号，故 ，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出
图象可得答案．
【详解】解：观察二次函数图象得∶抛物线开口向下，对称轴在y轴右边，抛物线交y轴与正半轴，
∴ ， a、b异号， ，
∴ ， ，
∴反比例函数 的图象在第二、四象限，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据
二次函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： _____．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．如图，将一个宽度相等的长方形纸条沿 折叠，若 ，则 度数是________．
【答案】 ## 度
【分析】先根据平行线的性质求出 ，再由折叠的性质和平角的定义得到 ，
即可利用平行线的性质求出 的度数．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，求出 是解题的关键．
9．据新华社7月14日国家统计局发布数据显示：2022年全国夏粮总产量2948亿斤，比去年同期
增长28.7亿斤，2948亿斤用科学计数法表示为：_________斤．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于
10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：2948亿用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数
位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
10．王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效
益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量
如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是______．
【答案】乙山
【分析】根据平均数的求法求出平均数，根据方差的定义求出两组数据的方差，再比较即可解答．
【详解】∵ （千克），
（千克），
，
，∵ ，
∴乙山上的杨梅产量较稳定，
故答案为：乙山．
【点睛】本题考查了折线统计图、平均数与方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数约大，即波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，表明这
组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．婷算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图
中算式一表示的是 ，按照这种算法，算式二表示的算式是_____________．
【答案】
【分析】运用有理数的加减法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减
去较小的绝对值即可得出．
【详解】解：图中算式二表示的是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进
行运算．
12．如图是一张长方形纸片 ，已知 ， ，点E、F在 上， ， ，
现要剪下一张等腰三角形纸片（ ），使点P落在长方形 的某一条边上，则等腰三角形
的边 长是______．【答案】 或 或
【分析】分三种情况当 ， 是等腰三角形时，当 ， 是等腰三角形时，
当 ， 是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
如图所示，当 ， 是等腰三角形时，则 ；
如图所示，当 ， 是等腰三角形时，则 ；
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ；
如图所示，当 ， 是等腰三角形时，过点 作 于H，则四边形 是矩
形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得综上所述， 长是 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想
求解是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步理）
13．（1）计算：
（2）如图，四边形 中， ， ， ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）分别计算零次幂，有理数的乘方运算，负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数值，
再合并即可；
（2）图，延长 ， 交于点 ，证明 ， ， ，
，再证明 ， ，求解 ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）；
（2）如图，延长 ， 交于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
由 ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的运算，勾股定
理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形是解本题的
关键．
14．解一元一次不等式组 ，并把解表示在数轴上．【答案】 ，图见解析
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案．
【详解】解：
由①得： ．
由②得， ，
∴ ，
解得： ．
把两个不等式的解表示在数轴上，如图．
∴原不等式组的解是 ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题
的关键．
15．小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下：
先化简，再求值： ．
解：原式 …………………………………①
…………………………………………②
……………………………………………………③
……………………………………………………④
(1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）．
(2)请完整地写出正确的解答过程．
【答案】(1)①
(2)见解析【详解】（1）原式 ，
故选①，
（2）原式
．
【点睛】此题考查了分式加减运算，解题的关键是熟悉分式运算步骤．
16．如图，在四边形 中， ， ，点E是 的中点，请仅用无刻度的直尺
分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
(1)在图1中，画出 的边 上的中线 ；
(2)在图2中，若 ，画出 的边 上的高 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 交 于 ，可得四边形 为平行四边形，再根据平行四边形对角线互
相平分得到点M是 的中点，然后连接 即可；
（2）连接 交 于 ， 点为 的中点，再连接 、 ，它们相交于 ，连接 并延
长交 于 ，则 ．
【详解】（1）如图，连接 交 于 ，连接 ，则 为所求；∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴点M是 的中点，
连接 ，
∴ 是 的边 上的中线，
∴ 为所求；
（2）如图，连接 交 于 ，连接 、 ，它们相交于 ，接 并延长交 于 ，则
即为所求，
由（1）可得，点M是 的中点，
又∵点E是 的中点， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的边 上的高．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合
了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图
形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
17．如图，在方格纸中， 的三个顶点及 ， ， ， ， 五个点分别位于小正方形的顶点
上．
(1)现以 ， ， ， ， 中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与 不全等但面
积相等的三角形是______（只需要填一个三角形）
(2)先从 ， 两个点中任意取一个点，再从 ， ， 三个点中任意取两个不同的点，以所取得
这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与 面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据格点之间的距离得出 的面积进而得出三角形中与 不全等但面积相等
的三角形；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中与 面积相等的有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解： 的面积为： ，
只有 或 的面积也为6且不与 全等，
与 不全等但面积相等的三角形是： 或 ；
故答案为： 或 ；
（2）解：画树状图得出：由树状图可知共有出现的情况有 ， ， ， ， ， ，6种可能
的结果，其中与 面积相等的有3种，即 ， ， ，
故所画三角形与 面积相等的概率 ，
答：所画三角形与 面积相等的概率为 ．
【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，三角形面积，正确画出树状图是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步理）
18．为了了解甲乙两个中学的学生的身高情况，我们从两个学校各随机抽取12名中学生测量了身
高并对数据进行了整理、分析（身高用x表示，单位 ．共分为四个等级：A等级 ，
B等级 ，C等级 ，D等级 ）
抽取的甲校12名学生的身高为：
149，156，159，160，162，162，163，163，163，170，171，178
抽取的乙校12名学生的身高中C等级包含的数据为：168，164，160，162，165
抽取的甲校、乙校学生（各12人）身高统计表：
中位
学校 平均数 众数
数
甲 163 162.5 b
乙 163 a 162
抽取的乙校12名学生身高分布直方图如下：根据以上信息解答下列问题
(1)补全直方图，并填空： ______， ______；
(2)若两校共有1200人，其中甲校有720人，估计两个学校身高达到 及以上的学生有多少人？
(3)根据以上数据，你认为哪个学校的学生更高？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】(1)补全直方图见解析；161，163；
(2)两个学校身高达到 及以上的学生约有260人．
(3)甲校，理由见解析．
【分析】（1）求出乙校 组人数，画出条形图即可，根据中位数、众数的定义，可以得到 、 的
值；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）根据甲校的中位数和众数均高于乙校，于是得到甲校的学生更高．
【详解】（1）解：由题意可知：乙校 组人数为： ，
补全直方图如图所示：
∵乙校12名学生的身高按从小到大的顺序排列，第6个数为160，第7个数为162，
∴中位数 ，
∵甲校12名学生的身高中 的最多，
∴众数 ，
故答案为：161，163；
（2） （人）
答：两个学校身高达到 及以上的学生约有260人．
（3）甲校更高，
理由：虽然甲乙两校的平均分均为 ，但甲校的中位数和众数均高于乙校．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．19．如图，在 中， ， 轴，垂足为A．反比例函数 的图象经过点
C，交 于点D．已知 ．
(1)若 ，求k的值；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出 的长，再利用勾股定理得出 的长，得出C点
坐标即可得出答案；
（2）连接 ，首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用
勾股定理得出 的长．
【详解】（1）解：作 ，垂足为E，
， ，
．
在 中， ， ，，
，
点的坐标为： ，
点C在 的图象上，
，
（2）解：设A点的坐标为 ，
，
，
，C两点的坐标分别为： ， ．
点C，D都在 的图象上，
，
，
点的坐标为： ，
作 轴，垂足为F，
， ，
在 中，
，
．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上
的性质，正确得出C点坐标是解题关键，学会利用特殊位解决问题．20．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形 为矩形， 长3米，
长1米，点 与点 重合．道闸打开的过程中，边 固定，连杆 ， 分别绕点 ， 转
动，且边 始终与边 平行．
(1)如图2，当道闸打开至 时，边 上一点 到地面的距离PE为1米，求点 到 的
距离 的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至 时，轿车能否驶入小
区？请说明理由，（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)2
(2)轿车能驶入小区，理由见解析；
【分析】（1） 中， ， ,可得 ，结合 ，即可求出 的
长；
（2）当 时， ，求出 的长，与 比较即可得到答案；
【详解】（1）在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）当 时， ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴轿车能驶入小区【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步理）
21．如图，已知 过菱形 的三个顶点A，B，D，连接 ，过点A作 交 的延
长线于点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点P，根据菱形的性质得出 ，根据平行线的性质得出
，进而得出 ，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出 ， 证明 是等边三角形，得出 ，进而
， ，再根据 求解即可．
【详解】（1）证明：连接 交 于点P，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题
的关键．
22．问题解决：如图1， 是等边 内一点，且 ， ， ，若将 绕点
逆时针旋转后，得到 ，则点 与 之间的距离为 ______， ______度．
类比探究：如图2，点 是正方形 内一点， ， ， ．你能求出 的度
数吗？写出完整的解答过程．
迁移运用：如图3，若点 是正方形 外一点， ， ， ，则 =______．
（直接写出答案）【答案】问题解决：4、 ；类比探究： ；迁移运用：
【分析】问题解决：利用旋转性质证明 是等边三角形，利用勾股定理证明 是直角三
角形即可求解；
类比探究：将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，利用旋转性质证明
是等腰直角三角形，利用勾股定理证明 是直角三角形，即可求解；
迁移运用：将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，利用旋转性质证明
是等腰直角三角形，推出 在线段 上，证明 是直角三角形，利用勾股定理即可求
出 的长度．
【详解】解：问题解决：如图1，连接 ，
是等边三角形，
，
为 绕点 逆时针旋转所得，
∴ ，
又 旋转后 与 重合， 与 重合，
，
是等边三角形，
， ，
由旋转性质得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
．
故答案为：4； ；类比探究：如图2，
将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，
则 ， ， ，
是等腰直角三角形．
由勾股定理得：
，
， ，
，
是直角三角形， ，
是等腰直角三角形，
，
，
；
迁移运用：如图3，
将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，连接 ，
则 ， ， ， ，
是等腰直角三角形，
，，
，
在线段 上，
，
是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形、等边三角形、正方形的性质，直角三角形的判定，勾
股定理解直角三角形等知识点，用到了类比推理、知识迁移的数学思想，综合性较强，为考试常见
题型，需要侧重练习．
六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
23．【特例感知】
(1)如图1，对于抛物线 ， ， ，我们通过观察可知：
①抛物线 ， ， 都经过点：________；
②抛物线 ， 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移_______个单位得到；
③抛物线 ， ， 与直线 的交点中，说明相邻两点之间的距离相等．
(2)【形成概念】把满足 （ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ， ， ，…， ，用含 的代数式表示顶点 的坐标，并
写出该顶点纵坐标 与横坐标 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ， ， ，…， ，
其横坐标分别为 ， ， ，…， （ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是
否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
【答案】(1)① ；② ；③说明见解析
(2)① ；②相等；相邻两点之间的距离是
【分析】（1）①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，即可得 ；
② ， 的对称轴分别为 ， ， 的对称轴
，据此即可求解；
③当 时，则 ，可得 或 ； ，可得 或 ；
，可得 或 ；所以相邻两点之间的距离都是1；
（2）① 的顶点为 ，可得 ；
②根据题意得： ， ，求得 两点之间的铅
直高度 ，两点之间的水平距离 ，利用勾
股定理即可求解．
【详解】（1）解：①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，
即可得 ；
∴抛物线 ， ， 都经过点 ；② ， 的对称轴分别为 ， ，
的对称轴 ，
由 向左移动 得到 ，再向左移动 得到 ；
③当 时，则 ，∴ 或 ；
，∴ 或 ；
，∴ 或 ；
∴相邻两点之间的距离都是1；
故答案为：① ；② ；
（2）解：① 的顶点为 ，
令 ， ，
∴ ；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得： ， ，
∴ 两点之间的铅直高度 ，
两点之间的水平距离 ，
∴由勾股定理得 ．
∴相邻两点之间的距离是 ．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线
的交点，抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关
键．
