1
1.2.3 直线与平面的夹角
课程标准
学习目标
1.掌握求线面角的两种基本方法，即空间向
量法与几何法
2.灵活运用两种基本方法求线面角
1.理解直线与平面的夹角的概念。
2.学习如何计算直线与平面的夹角。
3.掌握求直线与平面夹角的方法。
4.能够应用所学知识解决相关的题目。
知识点01 直线与平面的夹角
1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.
2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.
3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的
夹角）
【即学即练1】（浙江省绍兴市2022-2023 学年）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，棱长为3，O1是上底
面A1B1C1 D1的一个动点.
(1)求三棱锥A −O1BC的体积；
(2)当O1是上底面A1B1C1 D1的中心时，求A O1与平面ABCD 所成角的余弦值.
【即学即练2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P−ABCD中，O是边长为4 的正方形
2
ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．
(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD；
(2)若PE =3，求点B到平面PEM的距离；
(3)若PE =3，求直线PB与平面PEM所成角的余弦值．
知识点02 用空间向量求直线与平面的夹角
1.定义：设直线l的方向向量为⃑u，平面α的法向量为⃑n，直线与平面所成的角为θ，⃑u与⃑n 的角为φ，则有
sinθ =__|cosφ| ____=___|⃑u⋅⃑n|
|⃑u||⃑n| ____.
2.范围：[0,π
2 ]
【即学即练3】若正三棱柱ABC −A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面
B1 DC所成角的余弦值为______.
【即学即练4】（2023 秋·山西晋中·高二统考期末）如图所示，在棱长为2 的正四面体A −BCD中，E
为等边三角形ACD的中心，F ,G分别满足⃗BF = 1
2⃗FC ,⃗BG =⃗GA.
(1)用⃗BA ,⃗BC ,⃗BD表示⃗BE，并求出|⃗BE|；
(2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.
3
难点：动点问题
示例1 ：（多选）（23-24 高二下· 江苏徐州· 期末）如图，在边长为12 的正方形ABCD中，
E1, E2, F1, F2分别边AD ,BC的三等分点，正方形内有两点P ,Q，点P到AD ,CD的距离分别为3a,2a，
点Q到BC , AB的距离也是3a和2a，其中0<a<2.将该正方形沿E1 F1, E2 F2折起，使AB与DC重合，则
在该空间图形中，（ ）
A．直线PQ //平面E1 E2 F2 F1
B．PQ的最小值为6√10
5
C．线段PQ的中点到A的距离不超过3√5
D．异面直线PQ与AB成45°角时，a= 3
2
【题型1：定义法求直线与平面所成的角】
例1．（23-24 高二下·安徽·阶段练习）在棱长均相等的正三棱柱ABC −A1B1C1中,E 为棱AB 的中点,
则直线B1 E与平面B B1C1C所成角的正弦值为（ ）
4
A．√15
10
B．1
3
C．√2
3
D．√51
17
变式1 ．（23-24 高二下· 河南· 阶段练习）在直三棱柱ABC −A1B1C1中，
∠BAC =90
∘, AB = AC , A A1= BC，则BC1与平面AB B1 A1所成的角为（ ）.
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
6
变式2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，直线A A1与平面
ABC1 D1所成的角为（ ）
A．30
∘
B．45
∘
C．60
∘
D．90
∘
变式3．（多选）（22-23 高二上·贵州黔东南·开学考试）已知梯形ABCD，AB = AD =1，BC =2，
AD // BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点．将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折
的过程中下列选项正确的是（ ）
A．BD与AP始终垂直
B．当直线AP与平面BCD所成角为π
6 时，AP = √6
2
C．四面体A −BCD体积的最大值为√2
2
D．四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4π
变式4．（多选）（23-24 高二下·四川泸州·期末）如图，在棱长为3√2的正方体ABCD−A1B1C1 D1
5
中，点P 是平面A1BC1内一个动点，且满足PD + P B1=3+3√3，则下列结论正确的是（ ）
A．B1 D⊥PB
B．直线B1 P与平面A1BC1所成角为定值
C．点P 的轨迹的周长为3√3 π
D．三棱锥P−B B1C1体积的最大值为6√2
变式5 ．（24-25 高二上· 上海· 课后作业）如图，平面OAB⊥平面α，OA ⊂α，OA = AB，
∠OAB =120°．平面α内一点P满足PA ⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，求tanθ的最大值．
变式6．（2024 高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
(1)求证：平面A B1C //平面A1C1 D；
(2)求直线A B1和平面BD D1B1所成角．
变式7．（24-25 高二·上海·假期作业）已知斜三棱柱ABC −A
' B
'C
'的底面是正三角形，侧棱
A A
'⊥BC，并且与底面所成角是60°.设侧棱长为l
(1)求此三棱柱的高；
(2)求证：侧面B B
'C
'C是矩形；
(3)求证：A
'在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上.
【方法技巧与总结】
计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即
6
可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度ℎ，从而不必作出线面角，则线面
角θ满足sinθ = ℎ
l （l为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设⃗a为直线l的方向向量，⃗n为平面的法向量，则线面角θ的
正弦值为sinθ =|cos ⟨⃗a,⃗n⟩|.
【题型2：向量法求直线与平面所成的角】
例2．（23-24 高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面ABC是边长为4 的正三角形，
侧面A A1C1C是长方形，A A1=6，平面A A1C1C ⊥平面ABC , D为棱C C1上一点，⃗CD = 1
3⃗CC1，且⃗
CD = 1
2⃗B B1，则B1 D与平面A A1C1C所成角的正弦值为（ ）
A．√3
5
B．√10
5
C．2√5
5
D．√15
5
变式1．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD , AB = BD = DA = 4 ,BC =CD =2√2，
现将△ABD沿BD折起，当二面角A −BD−C的大小在[π
6 ,π
3 ]时，直线AB和CD所成角为α，则cosα
的最大值为（ ）
A．2√2−√6
16
B．√2
8
C．2√2+√6
16
D．√6
8
变式2．（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，
B ,C在下底面圆O上，A O1=1，OO1=2，BO =3，BC =2√5，则直线AO与平面O1BC所成角的正弦值
7
的最大值为 .
变式3．（贵州省黔东南州2023-2024 学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在正四棱柱
ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2 AB = 4，E，F分别为B B1，C C1的中点.
(1)证明：A1 F //平面CDE.
(2)求A1 E与平面CDE所成角的正弦值.
变式4．（23-24 高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧棱A A1⊥底面ABC，底面
△ABC是正三角形，AB = A A1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE = 1
3 AB，C1 F = 1
3 A1C1．
(1)求证：A1 E //平面BCF；
(2)求直线B B1与平面BCF所成角的余弦值．
变式5 ．（贵州省六盘水市2023-2024 学年高二下学期7 月期末数学试题）已知长方体
ABCD−A1B1C1 D1中，AB = BC =1, A A1=2．
8
(1)在长方体中，过点C1作与平面A B1 D1平行的平面α，并说明理由；
(2)求直线B1 D与平面α所成角的正弦值．
变式6．（23-24 高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P−ABCDE中，PA ⊥平面ABCDE，
AE // BC，AB//CD，AC // ED，∠ABC = 45
∘，AB =2√2，BC =2 AE = 4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30
∘，求线段PA的长．
变式7．（23-24 高二下·甘肃兰州·期末）如图，在Rt△AOB中，∠AOB =π
2 ，AO= 4，BO=2，
Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角.动点D在线段
AB上.
(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值.
变式8．（23-24 高二下·广东·期末）如图，四棱锥P−ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为
梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD = 4 AB = 4，⃗PM = 1
3⃗MD.
9
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC = AD , PA =3√2，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
求线面角的两种思路
（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，
此时要注意两直线夹角的取值范围.
（2）向量法．
方法一：设直线PA 的方向向量为a，平面α 的法向量为n，直线PA 与平面α 所成的角为 θ（θ∈[0,π
2
]），α 与n 的夹角为φ，则sin θ=lcos φ|=|an|
|a||n|
方法二：设直线PA 的方向向量为a，直线PA 在平面α 内的投影的方向向量为b，
则直线PA 与平面α 所成的角θ 满足cosθ=|cos<a，b>|
【题型3：动点探索性习题】
例3．（多选）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M，N 分别
是AB，AD的中点，P为线段C1 D1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．PM ,B1C一定是异面直线
B．存在点P，使得MN ⊥PM
C．直线NP与平面BC C1B1所成角的正切值的最大值为√5
D．过M，N，P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为3√3
4
变式1．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA ⊥
10
平面ABCD，AD =1，PC与底面ABCD所成角的正切值为√2
2 ，点M为平面ABCD内一点（异于点A），
且AM <1，则（ ）
A．存在点M，使得CM ⊥平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为π
3
C．当AM = 1
2时，三棱锥P−BCM的体积最大值为1
4
D．当AM = √2
2 时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P−ABCD各面的交线长为√2+√6
4
π
变式2．（多选）（23-24 高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P 满足⃗
BP = λ⃗BC1，λ∈[0,1]，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1 P//平面AC D1
B．对于任意的λ，都有A1 P⊥B1 D
C．若A1 P⊥BC，则λ =0
D．存在λ，使A1 P与平面BC C1B1所成的角为30°
变式3．（多选）（23-24 高二上·河北邯郸·期中）在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB =1，
A A1=2，M，N 分别为棱B B1，AD上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．AC ⊥B D1
B．当M，N 分别为棱B B1，AD的中点时，直线DM与D1 N所成角的余弦值为√51
17
C．存在点M，使得∠A1 MD为钝角
D．直线B D1与平面A1BN所成角的正弦值的取值范围是[
√6
9 , √6
6 ]
变式4．（23-24 高三上·四川成都·期末）如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到
的，设G是圆弧´CE的中点，H是圆弧´DF上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
11
A．存在点H，使得EH ⊥BG
B．存在点H，使得EH // BD
C．存在点H，使得EH //平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
变式5．（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA
上，PC //平面BDE.
(1)求证：AE = PE；
(2)若△PAD是等边三角形，AB =2 AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P−ABCD的体积为9√3，试
问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为√33
22 ？若存在，求出此时DQ的
长；若不存在，请说明理由.
变式6．（23-24 高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，PA ⊥底面
ABCD , PA = AC =2,∠ABC =60
°, E , F分别在梭PD , PC上，M为BC的中点.
(1)若PE =2 DE , F为PC中点，证明：BF ∥面ACE；
(2)若PE = DE，是否存在点F，使得ME与平面AMF所成角的正弦值为1
5？若存在，求出PC
PF 的值；若不
存在，请说明理由.
变式7．（23-24 高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且
∠ADC为锐角．在梯形ABEF中，AF // BE，AF ⊥AB，AB = BE =2 AF =2，平面ABEF ⊥平面
12
ABCD．
(1)证明：BD⊥平面ACF;
(2)若V E−ABC = 2√3
3
，⃗AG = λ⃗AB(λ∈[0,1])，是否存在实数λ，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值
为√6
4 ，若存在，则求出λ，若不存在，说明理由.
变式8 ．（23-24 高二上· 广西柳州· 开学考试）如图（1 ），在Rt△ABC中，∠BAC =90
∘，
CA =2 AB = 4，D，E分别是AC，BC的中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥
P−ADE，M是AD中点，如图（2）.
(1)求证：PM ⊥平面ADE；
(2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为1
4 ，求QM的值.
一、单选题
1．（23-24 高二上·福建南平·期末）已知直线l的一个方向向量为⃗u=(1,0,1)，平面α的一个法向量为⃗
n=(0,−1,1)，则l与α所成角的正弦值为（ ）
A．1
2
B．√3
2
C．√2
2
D．1
2．（22-23 高一下·湖南·期末）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 为BC的中点，则直线D1 E与平面
13
AC D1所成的角的正弦值为（ ）
A．1
3
B．√3
9
C．√2
9
D．1
9
3．（23-24 高三下·广东·阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的边长为4，⃗D1 P =3⃗PC1，平
面α经过点A1，P，则（ ）
A．A1 P⊥PC
B．直线A1 P与直线BC所成角的正切值为3
4
C．直线A1 P与平面AB B1 A1所成角的正切值为4
3
D．若C ∈α，则正方体截平面α所得截面面积为26
4 ．（23-24 高二下· 江苏常州· 期中）已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB// DC，
∠DAB =90° PA ⊥底面ABCD，且PA = AD = DC =1，AB =2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦
值为（ ）
A．√5
5
B．√10
5
C．√15
5
D．2√5
5
5．（23-24 高二上·北京·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E是线段A1C1上任意一点，
则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是（ ）
A．√2
2
B．√5
3
C．√5
5
D．1
6．（23-24 高二上·河南郑州·期末）人教A 版选择性必修第一册教材44 页“拓广探索”中有这样的表
述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0(x0, y0, z0)，且以⃗u=(a,b,c)(abc≠0)为法向量，设
P(x , y , z)是平面α内的任意一点，由⃗u⋅⃗P0 P =0，可得a(x−x0)+b( y −y0)+c(z−z0)=0，此即平面的
14
点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2 x +2 y + z−7=0，直线l的方
向向量为(1,2,−2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．√65
9
B．4
9
C．√5
3
D．5
9
7 ．（23-24 高二上· 广西· 期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz 中，P(x , y , z)是正三棱柱
ABC −A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1 A = AB =2，直线PA 和底面ABC 所成的角为π
3 ，则P 点的
坐标满足（ ）
A．x
2+ y
2= 4
3
B．x
2+ y
2=2
C．x
2+ y
2=3
D．x
2+ y
2= 4
8 ．（2024· 陕西· 模拟预测）在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，已知AB = AD = A A1=1，
∠A1 AB =∠A1 AD =∠BAD =60°，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线A1C与BD 所成的角为90°
B．线段A1C的长度为√2
C．直线A1C与B B1所成的角为90°
D．直线A1C与平面ABCD 所成角的正弦值为√6
3
二、多选题
9．（23-24 高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD
是边长为2 的正方形，A A1=√3．点M是侧面BC C1B1内的动点（不含边界），AM ⊥MC，则A1 M与
平面BC C1B1所成角的正切值可以为（ ）
15
A．3√7
7
B．2√7
7
C．3
D．2
10．（23-24 高二下·山西吕梁·阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为3，E，F 分别为
棱B B1, D D1上的点，且BE = 1
3 B B1, DF = 1
3 D D1，平面AEF 与棱C C1交于点G，若点P 为正方体内部
（含边界）的点，满足⃗AP = λ⃗AE+ μ⃗AF , λ , μ∈[0,1]，则（ ）
A．点P 的轨迹为四边形AEGF 及其内部
B．当λ =1时，点P 的轨迹长度为√10
C．当λ=0, μ= 1
2时，AF ⊥A1 P
D．当μ= 1
2时，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为√22
11
11．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P 满足⃗BP = λ⃗BC1，
λ∈[0,1]，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1 P//平面AC D1
B．对于任意的λ，都有A1 P⊥B1 D
16
C．若A1 P⊥BC，则λ =0
D．存在λ，使A1 P与平面BC C1B1所成的角为30°
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，O 是AC 中点，点P 在线
段A1C1上，若直线OP 与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是 ．
13．（23-24 高二上·浙江·期中）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，设AD =1, D D1=3，点P在
线段C C1上，且C1 P =2 PC，则直线A1 P与平面PBD所成角的正弦值是 .
14．（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，∠ABC =90°，BC =2，
C C1= 4，点D为C C1的中点，则B1 D与平面ABD的位置是 ．
四、解答题
17
15．（23-24 高二下·安徽宣城·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，且AD ∥
BC ,∠BAD =90
∘,BC =1，AP = AB =√3,∠ADC =60
∘, M , N分别为棱PC , PB的中点.
(1)求证：平面PBC ⊥平面ADMN；
(2)求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值.
16．（23-24 高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧棱A A1⊥底面ABC，底面
△ABC是正三角形，AB = A A1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE = 1
3 AB，C1 F = 1
3 A1C1．
(1)求证：A1 E //平面BCF；
(2)求直线B B1与平面BCF所成角的余弦值．
17．（23-24 高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P−ABCDE中，PA ⊥平面ABCDE，AE // BC，
AB//CD，AC // ED，∠ABC = 45
∘，AB =2√2，BC =2 AE = 4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30
∘，求线段PA的长．
18．（23-24 高二下·广东·期末）如图，四棱锥P−ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，
18
AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD = 4 AB = 4，⃗PM = 1
3⃗MD.
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC = AD , PA =3√2，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
19．（23-24 高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB+ AD =5，CD =√2，∠PAD =120°，∠ADC =45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB = AP.
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为√33
44 ，求线段AB的长.
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存
在，说明理由.
