文档文本内容
1
第06 讲 幂函数
课程标准
学习目标
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
的图象，了解他们的变化情况．
3．掌握五种幂函数的性质并会应用．
1．通过幂函数概念的学习，体现数学抽象等核心素
养．
2．借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻
辑推理等核心素养．
知识点01 幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
【即学即练1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2
【解析】根据幂函数的定义，A、B、C 均不是幂函数，只有D 选项
，形如
（
为常
数），是幂函数，所以D 正确
故选：D.
知识点02 常见幂函数的图象与性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0
，＋
∞
)
( －
∞
，
0)
∪
(0
，＋
∞
)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增；
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减；
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1
，
1)
【即学即练2】已知幂函数
的图象过
，那么
在
上的最大值为 .
【答案】
【分析】先求幂函数解析式，再根据幂函数单调性求最值.
【解析】设
，因为
的图象过
，
，解得
，
在
上是单调递增的
在
上的最大值为
，
故答案为:
知识点03 幂函数的特征
幂函数随着
的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
；
（2）
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
上是增函数．特别地，当
时，幂函
数的图象下凸；当
时，幂函数的图象上凸；
（3）
时，幂函数的图象在区间
上是减函数．在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图
象在
轴右方无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴．
【即学即练3】（2024·高一·全国·随堂练习）函数
的图象是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，定义域为
，排除A，B．
经过定点
，
，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.
故选：C.
题型01 幂函数的概念
【典例1】现有下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【解析】幂函数满足
形式，故
，
满足条件，共2 个
故选：B
【变式1】（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】B 项可化为
，根据幂函数的概念，可知函数
是幂函数，即函数
是幂函数.ACD
均不是幂函数.
故选：B.
【变式2】（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
4
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据幂函数的定义：形如
，而
，符合幂函数的定义,正确.
ABD 在形式上都不符合幂函数定义，错误.
故选：C
【变式3】函数
是幂函数，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【解析】由题意
，解得m=2 或-1
【变式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，由幂函数的定义知
是幂函数，由题意可知
的定义域为
,
，所以
是奇函数，符合题意；故A 正确；
对于B，由幂函数的定义知
是幂函数，由题意可知
的定义域为
,
，所以
是偶函数，不符合题意；故B 错误；
对于C，由幂函数的定义知
不是幂函数，不符合题意；故C 错误；
对于D，由幂函数的定义知
不是幂函数，不符合题意；故D 错误；
故选：A.
题型02 求幂函数的解析式
【典例2】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数
为偶函数在
上单调递减，则
的解析
式可以为
写一个即可)
【答案】
(答案不唯一)
【解析】因为幂函数
在
上单调递减，所以
，
又因为
为偶函数，
5
所以
适合题意．
故答案为:
(答案不唯一).
【变式1】若幂函数
过
点，则此函数的解析式为 .
【答案】
/
【分析】设
，代入所过点即可求得结果.
【解析】设幂函数
，则
，解得：
，
.
故答案为：
.
【变式2】已知幂函数
的图象关于y 轴对称，则
．
【答案】4
【分析】根据幂函数的知识求得
的可能取值，根据
图象关于
轴对称求得
的值，进而即得.
【解析】由于
是幂函数，所以
，解得
或
.
当
时，
，图象关于
轴对称，符合题意.
当
时，
，图象关于原点对称，不符合题意.
所以
的值为
，
∴.
，
.
故答案为：4.
【变式3】（23-24 高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数
的图象经过点
，求
．
【答案】
【分析】设幂函数为
，根据题意求得
，得到
，代入即可求解.
【详解】设幂函数为
，
因为幂函数
的图象经过点
，可得
，解得
，即
，
所以
.
6
故答案为：
.
【变式4】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数
满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
对
，则
在
上为减函数，
又因为幂函数
（
为常数），当
不经过原点时，
即可，
故可取
.
故答案为：
（答案不唯一）.
题型03 定义域问题
【典例3】（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数
的图象过点
，则
的定义域是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，依题意可得
，解得
，所以
，
所以
的定义域为
，值域为
，且
，
对于函数
，则
，解得
，
即函数
的定义域是
.
故选：B
【变式1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
中，定义域是
的有 个．
【答案】3
【解析】①
的定义域为R；
7
②
的定义域为
；
③
的定义域为R；
④
的定义域为
；
⑤
的定义域为
；
⑥
的定义域为R．
故定义域为R的有①③⑥，共3 个，
故答案为：3．
【变式2】（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知
解得
，所以f(x)的定义域为
．
故选：B．
【变式3】（2024·高一·湖北·期中）函数
的定义域是（ ）
A．(−∞,1]
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
则有
，解得
且
，因此
的定义域是
．
故选：B.
题型04 值域问题
【典例4】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数
的值域为 .
【答案】
【解析】由幂函数性质可知
在
上单调递增，
又易知
为偶函数，
8
所以当
时，可知
在
上单调递减，
可得
.
故答案为：
【变式1】若幂函数
的图象过点
，则
的值域为 ．
【答案】
【分析】设
，根据条件求出
，然后可得答案.
【解析】设
，因为幂函数
的图象过点
，所以
所以
，所以
故答案为：
【变式2】函数
的值域为 .
【答案】
【分析】根据
的解析式求得
的值域.
【解析】
时，
，
时，
，
所以
的值域为
.
故答案为：
【变式3】（2024·高一·全国·课后作业）函数
，其中
，则其值域为 .
【答案】
【解析】设
，则
.因为
，所以
. 当
时，
.所以函数的
值域为
.
故答案为：
【变式4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出
的图象，并注明定
义域．
9
（2）求函数
的值域．
【解析】（1）由于
，
则
，
，
，
所以
过点
，
故
的图象，如图所示，函数的定义域为
；
（2）由题可知
，
设
，则
，
当
时取等号，故
的值域为
．
【变式5】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数
，且在区间(0,+∞)内函数
图象是上升的．
（1）求实数k 的值；
（2）若存在实数a，b 使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b 的值．
【解析】（1）
为幂函数，
∴
，解得
或
，
又
在区间(0,+∞)内的函数图象是上升的，
，
∴k＝2；
10
（2）∵存在实数a，b 使得函数
在区间
上的值域为
，且
，
∴
，即
，
，∴a＝0，b＝1．
题型05 幂函数的图像
【典例5】幂函数y＝x2，y＝x－2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
【答案】 D
【解析】由于在第一象限内直线x＝1 的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α 由大变小，即幂
函数图象在第一象限内直线x＝1 右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图
象为C1，y＝x－2在第一象限内的图象为C4，y＝x 在第一象限内的图象为C2，y＝x－1在第一象限内的图象为
C3.
【变式1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
所以函数
是偶函数，故排除D，
由幂函数性质可知函数
在(0,+ ∞)上单调递增，且当
时的图象高于
的函数图象，故排除
11
B、C.
故选：A.
【变式2】数
在第一象限的图象如图所示，若
，则
．
【答案】
/
【分析】根据幂函数的图象与性质，结合题意，即可求解.
【解析】由幂函数的图象可得，函数
在
单调递增，且增长趋势越来越缓慢，
又由
，则只有
满足条件．
故答案为：
．
【变式3】已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，
但是
在
上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，又
为奇函数，
12
且
在
上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D
【变式4】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数
则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】结合题意可得：当
时，易知
为幂函数，在
单调递增；
当
时，易知
为幂函数，在
单调递增.
故函数
,图象如图所示:
要得到
，只需将
的图象沿
轴对称即可得到.
故选：C.
【变式5】已知幂函数
，其图像与坐标轴无交点，则实数m 的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数定义，由
求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.
【解析】由幂函数
知，
得
或
.
13
当
时，
图象与坐标轴有交点
，
当
时，
与坐标轴无交点，
∴
.
故答案为:
【变式6】已知幂函数
（
且
互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且
B．q 为偶数，p 为奇数，且
C．q 为奇数，p 为偶数，且
D．q 为奇数，p 为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出
；根据函数的奇偶性及
，
互质可判断出
为偶数，
为奇数.
【解析】因为函数
的定义域为
，且在
上单调递减，
所以
0，
因为函数
的图象关于y 轴对称，
所以函数
为偶函数，即p 为偶数，
又p、q 互质，所以q 为奇数，
所以选项D 正确，
故选：D.
题型06 图像过定点问题
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数
的图象恒过定点
，若点
在一次函数
14
的图象上，其中
，
，则
的最小值为 .
【答案】4
【解析】函数
的图象恒过定点
，所以
,
因为
，所以
，
当
时，
的最小值为4.
故答案为：4
【变式1】（2024·高一·上海徐汇·期末）当
时，函数
的图象恒过定点A，则点A 的坐标为
．
【答案】
【解析】由于对任意的
，
恒经过点
，所以函数
的图象恒过定点
,
故答案为：
【变式2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数
取何值，函数
恒过的定点坐标是
．
【答案】
【解析】因为
，故当
，即
时，
，
即函数
恒过定点
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数
取何值，函数
恒过的定点坐标是
．
【答案】
【解析】因为
，故当
，即
时，
，
即函数
恒过定点
.
故答案为：
.
题型07 利用单调性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调
15
递减，则满足
的
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为幂函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，
又
，所以
或
，
当
时，幂函数为
，图象关于y 轴对称，满足题意；
当
时，幂函数为
，图象不关于y 轴对称，舍去，
所以
，不等式
为
，
因为函数
在
和
上单调递减，
所以
或
或
，
解得
或
.
故答案为：
.
【变式1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数
满足条件
，则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
为幂函数，所以
，则
，
故
的定义域为
，且在定义域上为增函数，
所以由
，可得
，解得
，故a 的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式2】（2024·高一·全国·期中）若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由
在
上单调递增，故
，解得
.
16
故答案为：
【变式3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数
的图象过点
，若
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由幂函数
的图象过点
得
，解得
，
则
，定义域为
.
由
可得
为偶函数，
又幂函数的单调性可知，函数
在
上单调递减.
于是
等价于
，解得
或
.
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4】（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数
在
上是减函数，
.
若
，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】由函数
为幂函数得
，解得
或
，又
函数在
上是减函数，则
，即
，
所以
，所以
；
所以不等式为
，
设函数
，则函数
的定义域为
，且函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
17
题型08 比较大小问题
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数
且
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
在
上单调递增，
又因为
，
所以
，
所以
.
故选：C.
【变式1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若
，
，
，则a、b、c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
又
在第一象限内是增函数，
，
所以
，即
.
故选：D.
【变式2】（2024·高一·重庆·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
单调递增，
18
则可知
，
由
单调递增，
又
，可得
所以
．
故选：C．
【变式3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数
的图象过点
是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设幂函数
，
因为
的图象经过点
，则
，解得
，
所以
.
因为函数
在定义域
内单调递增，
则当
时，
，
所以
，且
，
故选项
错误；
又因为函数
单调递增，
则当
时，
，且
，
故选项D 正确，选项
错误.
故选：D.
【变式4】函数
是幂函数，对任意
，且
，满足
19
，若
，且
，
，则
的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【分析】确定函数在
上单调递增，根据幂函数得到
或
，验证单调性得到
，代
入数据计算得到答案.
【解析】对任意的
，且
，满足
，函数是单调增函数，
是幂函数，可得
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
，不满足单调性，排除，
故
，
．
，
，故
恒成立．
故选：A
题型09 奇偶性问题
【典例9】 已知幂函数
的图象过点
，则下列关于
的说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
的定义域为
D．
在
上单调递增
【答案】D
【分析】求出幂函数
的解析式，利用幂函数的基本性质逐项判断，即可得出合适的选项.
【解析】因为函数
为幂函数，设
，则
，解得
，
所以，
，所以，函数
的定义域为
，
函数
为非奇非偶函数，且该函数在
上单调递增，ABC 都错，D 对.
故选：D.
【变式1】已知幂函数
在区间(0,+ ∞)上是单调增函数，且
的图象关于y 轴
对称，则m 的值为（ ）．
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据函数的单调性得到
，代入验证函数的奇偶性得到答案.
20
【解析】幂函数
在区间(0,+ ∞)上是单调增函数，故
，
解得
，
，
当
时，
不满足条件；
当
时，
满足条件；
当
时，
不满足条件；
故选：C.
【变式2】函数
，若
，则实数
的范围是 ．
【答案】
【分析】根据解析式可判断
是定义在
上的奇函数且在
上单调递增，转化不等式即可求解.
【解析】
，
，
是定义在
上的奇函数，且显然在
上单调递增，
由
可得
，
，解得
.
故答案为：
.
【变式3】已知幂函数f ( x)= x
α(α ∈R)的图象经过点
，且
，则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出
的解析式，再根据
的单调性和奇偶性求解即可.
【解析】由题意可知，
，解得，
，
故
，易知，
为偶函数且在(0,+∞)上单调递减，
又因为
，
所以
，解得，
或
.
故
的取值范围为
.
故选：C.
题型10 幂函数性质的综合运用
21
【典例10】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数
为偶函数，
．
(1)求
的解析式；
(2)若
对于
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）因为幂函数
为偶函数，
所以
，解得
或
，
当
时，
，定义域为R，
，
所以
为偶函数，符合条件；
当
时，
，定义域为R，
，
所以
为奇函数，舍去；
所以
.
（2）因为
，
所以
对于
恒成立，即
对于
恒成立，
等价于
对于
恒成立，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，故
，则
.
【变式1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数
的图象过点
.
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）设函数
，由
的图象过点
，得
，解得
，
所以函数
的解析式是
.
（2）由（1）知，
，则
，由
，得
，
即
，令
，依题意，任意
，
，
而函数
在
上单调递减，
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
22
【变式2】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知
是定义在R 上的函数，满足：
，
，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的表达式；
(3)若函数
在区间
（
）上的值域为
，求
的值．
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
故
是奇函数，且
为其一个周期，且关于
轴对称，
所以
；
（2）结合（1）的结论可令
，则
，
所以
；
（3）由（1）（2）可知
，
由二次函数单调性可知
在
上单调递增，且
，
所以
，则
，
若
，则
，此时
，
若
，则
，此时
，
若
，则
，此时
.
故
的值为
或或
.
【变式3】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数
满足：
①
在
上为增函数，
②对
，都有
，
求同时满足①②的幂函数
的解析式，并求出
时，
的值域.
23
【解析】因为
在
上为增函数，所以
，解得
，
又
，所以，
或
．
又因为
，所以
是偶函数，所以
为偶数．
当
时，
满足题意；当
时，
不满足题意，
所以
，
又因为
在
上递增，所以
，
，
故
时，
的值域是
．
题型11 与幂函数有关的新定义问题
【典例11】（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数
在
上的最大值记为
，最小值
记为
，且满足
，则称函数
是在
上的“美好函数”.
(1)函数①
；②
；③
，哪个函数是在
上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数
.
①函数
是在
上的“美好函数”，求
的值；
②当
时，函数
是在
上的“美好函数”，求的值.
【解析】（1）①因为
，所以
，所以
，
，
得
，故
是在
上的“美好函数”；
②因为
，所以
，所以
，
，
得
，故
不是在
上的“美好函数”；
③因为
，所以
，所以
，
，
得
，故
不是在
上的“美好函数”
（2）①由题得
，
当
，可知
所以，当
时，
，此时
，
，
因为函数
是在
上的“美好函数”
所以有
；
当
时，
，此时
，
，
因为函数
是在
上的“美好函数”
所以有
；
故
24
②由题可知此时，函数
，可知此时，函数
的对称轴为
且开口向上；
当
时，此时函数
在
上单调递减，此时
，
，
因为函数
是在
上的“美好函数”
所以有
，解得
；
当
时，此时函数
在
上单调递减，在
单调递增，所以当
时，
，
因为函数
是在
上的“美好函数”
所以有
；
令
，解得
或
所以此时
（舍去），
（舍去）
当
时，此时函数
在
上单调递増，此时，
，
因为函数
是在
上的“美好函数”
所以有
，解得
；
综上所述：
或
【变式1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为
的函数
，如果存在区间
，同
时满足：①
在
上是单调函数；②当
时，
，则称
是该函数的“优美区
间”.
(1)求证：
是函数
的一个“优美区间”；
(2)求证：函数
不存在“优美区间”；
(3)已知函数
有“优美区间”
，当
取得最大值时求
的值.
【解析】（1）
在区间
上单调递增，又
，
当
时，
，
根据“优美区间”的定义，
是
的一个“优美区间”；
（2）
，设
，可设
或
，
则函数
在
上单调递增.
25
若
是
的“优美区间”，则
是方程
的两个同号且不等的实数根.
方程无解.
函数
不存在“优美区间”.
（3）
，设
.
有“优美区间”
，
或
，
在
上单调递增.
若
是函数ℎ(x)的“优美区间”，则
，
是方程
，即
（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或
，
由（*）式得
.
，
或
，
当
时，
取得最大值.
.
一、单选题
1．（23-24 高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线；
B．幂函数
的图象都经过
和
两个点；
26
C．若幂函数
的图象关于原点成中心对称，则
在区间
上是严格增函数；
D．幂函数的图象不可能在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象和性质，即可判断选项.
【详解】A.
的定义域为
，所以
表示除去点
的直线，故A 错误；
B.幂函数
，当
时，过点
和
两个点，
时，只过点
，故B 错误；
C.当
时，幂函数
的图象关于原点成中心对称，
在区间
上是严格减函数，故C 错
误；
D.由幂函数的性质可知，幂函数不可能在第四象限，故D 正确.
故选：D
2．（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
是幂函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
，则
，
所以
.
故选：D.
3．（23-24 高一上·福建福州·期中）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.
【详解】易知
，
又
定义域上单调递减，
，所以
，
易知
单调递增，
，
则
，
综上
.
27
故选：A
4．（23-24 高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为1
C．
的最小值为1
D．
的最小值为0
【答案】B
【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值.
【详解】因为
，所以
定义域为
，
由复合函数单调性可知，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
.
故选：B.
5．（23-24 高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数
，
，
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出
的范围，由此可得答案.
【详解】因为在同一坐标系中，所以函数
，
的单调性一定相反，
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC 选项中，过原点的图象为幂函数
的图象，且由图象可知
，
所以
单调递减，
单调递增，故排除B，所以C 正确.
故选：C.
28
6．（23-24 高一上·江西新余·期末）若幂函数
图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由条件求得
的值，即得函数
；分别判断该函数的奇偶性和在区间
上的单调性；
最后将抽象不等式
转化成
，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.
【详解】把
代入
可得：
，易得：
，则
，
显然函数
的定义域为R，由
知
为偶函数.
且
，由
，
因
故
，即
，故函数
在
上为增函数.
由
，将两边平方整理可得：
，
解得：
或
.
故选：C.
7．（23-24 高一上·吉林延边·期末）已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出
的值，可得出函数
的解析式，再利用二次函数的单调性
可得出关于实数
的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是定义域为
的奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意.
所以
，则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
，解得
.
29
故选：C．
8．（23-24 高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数
图象与函数
图象有三个交点，
分别为
，则
（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【分析】求出
的图象关于
中心对称，
关于
中心对称，且
，设
，则
关于点
中心对称，从而求出答案.
【详解】
，且
，
由于
，
故
的图象关于
中心对称，
又
关于
中心对称，且
，
不妨设
，
与
的交点
关于点
中心对称，
即
，
故
.
故选：B
二、多选题
9．（24-25 高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断．
30
【详解】
的定义域是
，
的定义域是
，它们都没有奇偶性，
与
都是奇函数，
在
上，
递增，
单调递增，
故选：BD．
10．（22-23 高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数
图象经过点
，则下列命题正确的有
（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】代入法求出
，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D．
【详解】将点
代入函数
得：
，则
．
所以
，
显然
在定义域
上为增函数，所以A 正确．
的定义域为
，所以
不具有奇偶性，所以B 不正确．
当
时，
，即
，所以C 正确．
当
时，
即
成立，所以D 正确．
故选：ACD．
11．（23-24 高一上·云南昆明·期末）若函数
同时满足：①对于定义域上的任意
，恒有
；②对于定义域上的任意
，当
时，恒有
，则称函数
为
“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
31
【答案】AC
【分析】根据①②得到
为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断.
【详解】由①得
为奇函数，由②得
在定义域上单调递减，
对于A，
满足要求，A 正确；
对于B，
，故
为偶函数，B 错误；
对于C，
满足要求，C 正确；
对于D，
，故
不是奇函数，D 错误.
故选：AC
三、填空题
12．（23-24 高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点
，那么
的解析式为 ．
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出解析式.
【详解】设幂函数为
，将点
代入得
，解得
.
所以
．
故答案为：
13．（23-24 高三上·上海静安·期中）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.
【详解】由
，使得式子有意义，则
，则定义域为
.
故答案为：
14．（23-24 高一下·北京·开学考试）若函数
在定义域内的某区间M 上是增函数，且
在M 上是减
函数，则称函数
在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是
①若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
②若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
32
③若
，则
为R 上的“弱增函数”
④若
在区间
上是“弱增函数”，则
【答案】②④
【分析】根据给定的定义，结合幂函数、对勾函数单调性，依次判断各个命题即得.
【详解】对于①，
在
上为增函数，
在
上是增函数，
因此不存在区间M 使
为“弱增函数”，①错误；
对于②，由对勾函数的性质知：
在
上为增函数，
在
上为减函数，
因此存在区间
使
为“弱增函数”，②正确；
对于③，函数
在R 上单调递增，
，
显然函数
在
上是增函数，在
上为减函数，
因此函数
不是R 上的“弱增函数”，③错误；
对于④，若
在区间
上是“弱增函数”，
则
在
上为增函数，有
，解得
，
又
在
上为减函数，而当
时，
为增函数，不符合题意，
于是
，又由对勾函数的单调性知，函数
在
上是减函数，因此
，即
，
所以
．④正确.
故答案为：②④
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点
．
(1)求幂函数解析式；
(2)求证：幂函数在区间
上是严格增函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可；
（2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可.
33
【详解】（1）因为
的图像经过点
，所以
，则
．
（2）证明：由（1）可知，
，
设
，可得
，
所以
，
即
，
所以
在区间
上是严格增函数．
16．（23-24 高一下·上海·期中）已知幂函数
为奇函数，且在区间
上是严格减
函数.
(1)求函数
的表达式；
(2)对任意实数
，不等式
恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据在区间
上是严格减函数可得
，解不等式可得整数
的值，检验是
否符合奇函数即可；
（2）对任意实数
，不等式
恒成立，而
在
上为减函数，由此可得解．
【详解】（1）依题意
为奇函数，在区间
上是严格减函数，
可得
，解得
，
由于
,故
，1，2，
当
和
时，
，此时
为奇函数，符合要求，
当
时，
，此时
为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式
，即
，
又
在
上是减函数，
在
上为增函数，则
在
上为减函数，
所以
，则
，
所以实数的取值范围为
．
34
17．（23-24 高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数
的图象过点
(1)解不等式：
；
(2)设
，若存在实数
，使得g(x)<0成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数
的图象过点
，
所以
，解得
所以
，
由
，
所以
，
整理得
，即
解得
或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，
，则
，
由g(x)<0得，
，
即
，
令
，根据题意，存在实数
，
，
则
，由于
，
所以当
时，ℎ(x)取最小值
，故
，
所以
的取值范围为
.
18．（23-24 高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数
在
上单调递减.
35
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求x 的取值范围；
(3)若对任意
，都存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；
（2）由函数
的图象与性质，把不等式转化为
，结合不等式的解法，即可求解；
（3）根据题意，转化为
，得到
，再由题意，转化为
，结合一次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由幂函数
在
上单调递减，
可得
，解得
，
所以
.
（2）解：由函数
图象关于y 轴对称，且在
上单调递增，
则
可化为
，平方得
，
化简得
，解得
，所以x 的取值范围是
.
（3）解：由（1）知
，
因为对
，使得
都成立，
所以
，其中
，
由（1）可得函数
在
上的最大值为4，所以
，
因为存在
，使得
成立，可得
，
又因为
，所以
是关于
的单调递增函数，
所以
，即
，解得
或
，
36
所以实数t 的取值范围为
.
19．（22-23 高一上·山东聊城·期末）若在函数
的定义域内存在区间
，使得
在
上单调，
且函数值的取值范围是
（
是常数），则称函数
具有性质
．
(1)当
时，函数
否具有性质
?若具有，求出
，
；若不具有，说明理由；
(2)若定义在
上的函数
具有性质
，求
的取值范围．
【答案】(1)函数
具有性质M，
(2)
．
【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得
，解得即可；
（2）首先将
写出分段函数，再分
和
两种情况讨论，结合函数的单调性得到
方程组，当
时，得到
在
上有两个不等实根，再构造函数，结合二
次函数的性质求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：因为
在
上单调递增，
所以
在
上的函数值的取值范围是
，即
，
显然
，所以
，
故函数
具有性质
．
（2）解：
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，故
，
37
而
，故
，故
或
.
当
时，
单调递减，
∴
，得
，整理得
，
∵
与
矛盾，∴当
时，不合题意．
当
时，
在
单调递增，
∴
，知
在
上有两个不等实根，
即
在
上有两个不等实根，
令
，
，
由
，
，
，知
，
综上可得
的取值范围是
．
