1
1.2.4 二面角
课程标准
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念
2.会利用定义法求二面角的大小
3.会用向量法求二面角的大小
1.理解二面角的概念，并会求简单的二面角:
2.理解二面角的平面角的概念，会找二面角的平面
角:
知识点01 二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β 的二面角的面，记作
α
l β
，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B ，二面角的范围为[0
，
π]
．
3.二面角的平面角：在二面角αlβ 的棱上任取一点
O ，以O 为垂足，分别在两半平面内
分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠
AOB
叫做二面角αlβ 的平面角．
知识点02 二面角的向量求法
定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则
θ＝〈
n 1，
n 2〉或θ＝π
－〈
n 1，
n 2〉，sin θ＝sin
〈
n 1，
n 2〉．
条件
平面α，β 的法向量分别为u，v，α，β 所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
2
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
【即学即练1】（24-25 高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD 为正方形．
PA ⊥平面ABCD，且PA = AB =1，则平面PAD与平面PBC所成的角的大小为 ．
【即学即练2】（23-24 高二下·甘肃酒泉·期末）设⃗a=(1,1,0)，⃗b=(t ,0,1)分别为两平面的法向量，若
两平面所成的角为60°，则t 等于（ ）
A．1
B．－1
C．－1 或1
D．2
难点：动点问题
示例1：（23-24 高二下·江苏常州·期末）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P为A1B1的中
点，点Q在正方形C C1 D1 D内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当PQ =√5时，点Q的轨迹长度为π
B．若PQ//平面A1BD，则PQ长度的最小值为2
C．当PQ =√5时，二面角Q−AB−P的余弦值的最小值是2√5
5
D．记直线PQ与平面A A1B1B所成角为θ，则sinθ的取值范围是[
2
3 ,1]
3
【题型1：定义法求面面角】
例1．（21-22 高二上·安徽芜湖·期中）H 是二面角α −AB−β棱上的一点，在α平面上引射线HM，在β
平面上引射线HN ，若∠MHB =∠NHB =π
4
，∠MHN =π
3
，那么二面角α −AB−β的大小为
（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
变式1．（23-24 高二下·广东·期末）如图，正八面体ABCDEF的12 条棱长相等，则二面角
E−AB−F的余弦值为 .
变式2 ．（23-24 高二下· 贵州铜仁· 期末）如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，
AB =5,BC =3,B B1= 4 , P为矩形A1B1C1 D1内一点，过点P与棱BC作平面α．
(1)直接在图中作出平面α截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；
(2)设平面α ∩平面A1B1C1 D1=l．若截面图形的周长为16，求二面角A −l−B的余弦值．
变式3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）P 是二面角α −l−β内的一点（P∉α，P∉β），PA ⊥α，
PB⊥β且∠APB =35°，求此二面角的大小.
4
变式5．（23-24 高二下·浙江·期末）如图，已知四棱锥P−ABCD，底面是边长为4 的正方形，M，N
分别为棱AP，BC的中点，PA = PB，CP = DP =3，∠ACP = π
4
.
(1)求证：MN //平面CDP；
(2)求二面角D−BC −P的平面角余弦值.
变式5．（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在几何体S−ABC中，点E、O 分别是SC、AC 的中点，
SO⊥底面ABC，∠ASC =∠ACB =90°．
(1)求证：OE //平面SAB；
(2)若点F 在线段BC 上，求异面直线OE、SF 所成角的大小；
(3)若SA = SC =√2，BC = 1
2 AC，求二面角B−AS−C的平面角的余弦值．
变式6．（2024 高二下·浙江绍兴·学业考试）如图，在底面为边长为2 的菱形的四棱锥P−ABCD中，
PA = PB =2，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC =60°，设E是棱PB上一点，三棱锥E−ACD的体积为1
2
.
(1)证明：PC ⊥AB；
5
(2)求BE；
(3)求二面角E−CD−A的正弦值.
变式7．（22-23 高二上·上海普陀·期末）如图，在三棱锥D−ABC中，平面ACD⊥平面ABC，
AD⊥AC，AB⊥BC， E、F 分别为棱BC、CD的中点．
(1)求证：直线EF //平面ABD；
(2)若直线CD与平面ABC所成的角为45°，直线CD与平面ABD所成角为30°，求二面角B−AD−C的大
小．
【方法技巧与总结】
用定义求二面角的步骤
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)．
2.证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【题型2：向量法求面面角】
例2．（23-24 高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在体积为5 的多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四
边形，∠DAB = 45
°,BC =2 PQ = 2√2 AB =2√2, M为BC 的中点，PQ // BC , PD⊥DC ,QB⊥MD.
则平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值为（ ）
A．√10
10
B．3√10
10
C．6√37
37
D．√37
37
变式1 ．（23-24 高二上· 河南焦作· 阶段练习）如图，过二面角α −l−β内一点P作PA ⊥α于
A , PB⊥β于B，若PA =5, PB =8, AB =7，则二面角α −l−β的大小为（ ）
6
A．30
∘
B．60
∘
C．120
∘
D．150
∘
变式2．（23-24 高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，AB∥CD，
∠ABC =π
2 ，AB = PA = 1
2 CD =1，BC =2√2，M为PD的中点，则二面角M −BC −A的余弦值为
（ ）
A．3√10
10
B．√10
10
C．√5
5
D．2√5
5
变式3．（23-24 高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为棱A A1上的一
个动点，F为棱B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是
（ ）
A．[0, √2
2 ]
B．[
√3
3 , √2
2 ]
C．[0, √3
3 ]
D．[0, √5
5 ]
变式4 ．（23-24 高二下· 河南漯河· 期末）如图，已知四棱锥P−ABCD中，AB ∥
7
CD , AB =6, AD =CB =3，CD =9，且PA = PB =5,Q在线段PC上，且满足BQ ∥平面PDA.
(1)求PQ
QC
；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
变式5．（23-24 高二下·云南红河·期末）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD 是边长为
2 的正方形，D D1⊥平面ABCD，AB =2 A1B1，D D1=1，P 为AB 的中点.
(1)求证：D1 P//平面BC C1B1；
(2)求平面AB B1 A1与平面BC C1B1夹角的大小.
变式6．（24-25 高二上·上海·单元测试）在矩形ABCD中，已知AB =1，BC =a，PA ⊥平面ABCD，
且PA =1．
(1)在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；
(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求出平面PQD与平面PAB所成角的大小．
变式7．（23-24 高二下·安徽亳州·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面矩形ABCD垂直于侧面
PAD，且PA ⊥AD , E、F分别是棱AD、PC的中点，AD =√2 AP =√2 AB．
8
(1)证明：PC ⊥平面BEF；
(2)若AD =√2，求二面角F −BE−C的正弦值．
【方法技巧与总结】
求面面角的步骤
第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论.
【题型3：动点探索性习题】
例3．（22-23 高二上·全国·阶段练习）如图，在多面体ABCDES中，SA ⊥平面ABCD，四边形
ABCD是正方形，且DE // SA，SA = AB =2 DE，M , N分别是线段BC ,SB的中点，Q是线段DC上的一
个动点（含端点D ,C），则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得NQ⊥SB
B．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60
∘
C．当点Q自D向C处运动时，二面角N −MQ−A的平面角先变大后变小
D．当点Q自D向C处运动时，二面角N −MQ−A的平面角先变小后变大
变式1．（多选）（23-24 高二上·山东淄博·期中）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，线段
B1 D1上有两个动点E，F（E 在F 的左边）且EF =√2，下列说法错误的是（ ）
A．当E，F 运动时，存在点E，F 使得AE⊥CF
B．当E，F 运动时，存在点E，F 使得AE // BF
C．当E 运动时，二面角E−AB−C最小值为45°
9
D．当E，F 运动时，二面角A −EF −B的余弦值为定值1
3
．
变式2．（多选）（23-24 高二上·浙江宁波·期中）如图，AB是底面圆O的直径，点C是圆O上异于
A ,B的点，PO垂直于圆O所在的平面且PO =OB =1，BC =√2，点E在线段PB上，则下列说法正确的是
（ ）
A．当E为PB中点时，PB⊥平面CEO
B．记直线CE与平面BOP所成角为θ，则tanθ∈[1,√2]
C．存在点E，使得平面CEO与平面BEC夹角为π
6
D．CE+OE的最小值为√6+√2
2
变式3 ．（多选）（23-24 高二上· 新疆乌鲁木齐· 阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体
ABCD−A1B1C1 D1中，点M为线段B D1上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点M，使得C1 M ⊥平面A1 DB
B．存在点M，使得直线AM与直线B1C所成的角为60
∘
C．存在点M，使得三棱锥D1−C1 DM的体积为1
9
D．不存在点M，使得α > β，其中α为二面角M −A A1−B的大小， β为直线M A1与AB所成的角
变式4．（23-24 高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形A A1 D1 D与矩形ABCD所在平面互相垂直，
AB =2 AD =2，点E为AB的中点.
10
(1)求证：B D1//平面A1 DE；
(2)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1−MC −D的平面角的大小为π
4
？若存在，求出AM的长；
若不存在，请说明理由.
变式5．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱ABC −A1B1C1的侧棱与底面垂直，
A A1= AB = AC =1，AB⊥AC，M，N 分别是C C1
，BC的中点，点P在直线A1B1
上，且⃗A1 P = λ⃗A1B1
.
(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成角θ最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为√3
2
，若存在，试确定点P的位置，
若不存在，请说明理由.
变式6．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，
BC ⊥AB，AD∥BC，AB = AD =2，BC = 4，若异面直线PA与CD所成角等于60°．
(1)求棱PB的长；
(2)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为√5？若存在，指出点E
的位置，若不存在，请说明理由．
11
变式7．（23-24 高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，
AB //CD，AB⊥BC，AB = BC =2CD =2，PA =1，PB =√5，E为BC的中点，且PE⊥BD．
(1)证明：PA ⊥平面ABCD；
(2)线段PB上是否存在一点M，使得二面角M −DE−A的余弦值为2√2
3
？若存在，试确定点M的位置；
若不存在请说明理由．
1．（22-23 高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为⃗m=(0,1,1),⃗n=(1,−1,0)，则这两个
平面的夹角为（ ）
A．30
∘
B．60
∘
C．60
∘或120
∘
D．120
∘
2．（22-23 高二上·辽宁大连·期中）如图，二面角α −l−β的棱上有两点A ,B，线段BD与AC分别在
这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB =2, AC =3,BD = 4 ,CD =√41，则二面角α −l−β的大
小为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2
3 π
D．5 π
6
3．（23-24 高二上·陕西安康·期中）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，AE⊥平面ABCD，若
AE =1，则平面ADE与平面BCE的夹角为（ ）
12
A．45°
B．60°
C．120°
D．150°
4．（22-23 高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知：PA ⊥平面ABCD，
∠BAD =90°，PA = AB = BC = 1
2 AD =2，BC ∥AD，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且
二面角Q−PD−A的平面角大小为π
3
，则△ADQ面积的取值范围是（ ）
A．(0, 4√15
5 )
B．(0, √15
5 ]
C．[0, 4√15
5 ]
D．(0,4]
5．（22-23 高二上·天津河北·期末）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AC ⊥BC，AC =2，
BC =C C1= 4，点D 是棱AB的中点，则平面AB B1 A1与平面B1CD所成角的正弦值为（ ）
A．√30
10
B．√70
10
C．√30
6
D．√6
6
6．（22-23 高二上·北京·期中）若直线a的方向向量为⃗a，平面α、β的法向量分别为⃗n、⃗m，则下列命题
13
为假命题的是（ ）
A．若⃗a//⃗n，则直线a⊥平面α
B．若⃗a⊥⃗n，则直线a//平面α
C．若cos ⟨⃗a,⃗n⟩= 1
2
，则直线a与平面α所成角的大小为π
6
D．若cos ⟨⃗m,⃗n⟩= 1
2
，则平面α、β的夹角为π
3
7．（21-22 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在棱长为1 的正方体中，下列结论不正确的是（
）
A．异面直线AC与BC1所成的角为60
∘
B．二面角A −B1C −B的正切值为√2
C．直线A B1与平面ABC1 D1所成的角为45
∘
D．四面体D1−A B1C的外接球体积为√3
2 π
8．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =√3，AD = A A1=1，P
为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当A1C =2 A1 P时，直线BP 与平面ABCD 所成角的正弦值为2√5
5
B．当A1C =3 A1 P时，若平面BDC1
的法向量记为⃗n，则⃗D1 P⋅⃗n=1
C．当A1C = 4 A1 P时，二面角A1−A D1−P的余弦值为√10
5
14
D．若⃗A1C ⋅⃗D1 P =0，则A1C = 4 A1 P
二、多选题
9．（22-23 高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠DAB =π
3
，AB =2 AD =2 PD，PD⊥底面ABCD，则（ ）．
A．PA ⊥BD
B．PB与平面ABCD所成角为π
6
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为√5
5
D．二面角A −PB−C的正弦值为√21
7
10．（22-23 高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E，F，G 分别
为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥C −EFG的体积为1
B．A1C ⊥平面EFG
C．A1 D1//平面EFG
D．平面EGF 与平面ABCD 夹角的余弦值为√3
6
11．（23-24 高二下·江苏南京·期中）（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形ABCD
是边长为4 的正方形，则（ ）
15
A．异面直线AE与DF所成角大小为π
3
B．二面角A −EB−C的平面角的余弦值为1
3
C．此八面体存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为32π
3
三、填空题
12．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知矩形ABCD，AB =1,BC =√3，沿对角线AC 将△ABC折起，
若|BD|=√2，则二面角B−AC −D的余弦值为 ．
13．（23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习）在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，沿对角线AC 折叠之后，使
得平面BAC ⊥平面ACD（如图），则平面BCD 与平面ACD 夹角的正弦值为 ．
14．（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，
AE = AD．△ABC是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO = √6
6 DO，则二面角B−PC −E的余弦
值是 ．
16
四、解答题
15．（23-24 高二下·云南楚雄·期末）如图，在正三棱柱ABC −A
' B
'C
'中，E , F分别为棱AC ,B B
'的
中点，AB = B B
' =2．
(1)证明：BE //平面AF C
'．
(2)求平面ABC与平面AF C
'夹角的余弦值．
16．（23-24 高二下·黑龙江大庆·期中）四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，
PA = AB =2，点E 是棱PC 上一点.
(1)求证：平面PAC ⊥平面BDE；
(2)当E 为PC 中点时，求A −BE−D所成二面角锐角的大小.
17．（23-24 高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，四边形
ABCD 为正方形，AP = AB =1，F，E 分别是PB，PC 的中点．
(1)证明：PB⊥ED；
(2)求平面ADEF 与平面PCD 的夹角．
18．（23-24 高二下·吉林长春·期末）如图①，在等腰梯形ABCD中，AB =2，CD =6，AD =2√2，E，
17
F分别是线段CD的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，
如图②.
(1)求证：平面PEF ⊥平面ABEF；
(2)求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值.
19．（23-24 高二上·四川乐山·期末）已知直棱柱ABC −A1B1C1中，AB =2，AC =2√2，B B1=2，
∠BAC = 45°，D 为线段A1B1上任一点，E，F 分别为AC，B B1中点．
(1)证明：DE⊥C1 F；
(2)当B1 D为何值时，平面DEC与平面BC C1B1的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
