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第03 讲 二项分布与超几何分布
课程标准
学习目标
1.理解n 次独立重复试验的模型及其意义．
2.会求n 次独立重复试验及二项分布的概
率．
3.掌握超几何分布的特点,并能简单的应
用．
1.理解n 次伯努利试验.
2.理解二项分布，能利用二项分布解决一些简单的实
际问题．
3.理解超几何分布的概念，理解超几何分布与二项分
布的关系.
4.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．
知识点01 n 次独立重复试验
1．n 次独立重复试验
在相同条件下重复n 次伯努利试验时，人们总是约定这n 次试验是相互独立的，此时这n 次伯努利试
验也常称为n 次独立重复试验．
2．n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率
一般地，事件A 在n 次独立重复试验中发生k 次，共有C 种情形，由试验的独立性知“A 在k 次试验
中发生，而在其余(n－k)次试验中不发生”的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试
验中事件A 发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为Pk(k)＝Cpk(1－p)n
－k(k＝0，1，2，…，n).
【解读】(1)上述公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用；
(2)使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义：n 为独立重复试验的次数；p 是在1 次试验中事
2
件A 发生的概率；1－p 是在1 次试验中事件A 不发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次
数；
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例．一般地，有“恰好发生k 次”“恰有k 次发生”字样的问题，
求概率时，用n 次独立重复试验概率公式计算更简便．
【即学即练1】任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2 枚正面朝上的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2 枚朝上的概率为
.
知识点02 二项分布
定义：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n 次独立重复试
验中出现“成功”的次数为X，则X 的取值范围是{0，1，…k，…n}，而且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，
1，2，…，n.
因此X 的分布列如下表所示．
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X 的分布列第二行中的概率值都是二次展开式
(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X 服从参数为n，p 的二项分
布，记作X ～
B ( n ，
p ) ．
【解读】
(1)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1 的二项分布；
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件：
①对立性：在一次试验中，事件A 发生与否必居其一．
②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A 发生的概率都是同一常数p.
③X 的取值从0 到n，中间不间断．
由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1 时的二项分布，所以二项分布可以看成是两
点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．
【即学即练2】下列随机变量X 不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5 次，X 表示点数为6 出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击
次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的
次数
3
【答案】B
【解析】选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6 和点数不为6，且点数为6 的概率在每一次试
验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X 服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中
的结果只有两种，每一次试验事件相互独立，且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量
X 不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5 次比赛，相当于进行了5 次独立重复试验，故X
服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3).
知识点03 超几何分布
1．定义：一般地，若有总数为N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有M 件(M<N)，从所有物品中任取n
件(n≤N)，则这n 件中所含甲类物品数X 是一个离散型随机变量，X 能取不小于t 且不大于s 的所有自然数，
其中s 是M 与n 中的较小者，t 在n 不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t 取n 减乙类物品件数
之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里的X 称为服从参数为N，n，M 的超几
何分布，记作X ～
H ( N ，
n ，
M
) ．
2．特别地，如果X～H(N，n，M)，且n＋M－N≤0，则X 能取所有不大于s 的自然数，此时X 的分布
列如下表所示：
X
0
1
…
k
…
s
P
…
…
【解读】对超几何分布的理解
(1)超几何分布的模型是不放回抽样；
(2)超几何分布中的参数是M，N，n；
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异
明显的两部分组成．
【即学即练3】30 件产品中，有15 件一等品，10 件二等品，5 件三等品，现随机地抽取5 件，下列
不服从超几何分布的是( )
A．抽取的5 件产品中的一等品数
B．抽取的5 件产品中的二等品数
C．抽取的5 件产品中的三等品数
D．30 件产品中的三等品数
【答案】 D
【解析】 选项A、B、C 中的产品数都是变量，且满足超几何分布的形式和特点，而选项D 中的三等
品数是常数，不是变量．故选D.
知识点04 超几何分布与二项分布的区别与联系
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
(2)超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样(独立重复)，当总体的容量非常大时，超几何
分布近似于二项分布．
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题型01 独立重复试验概率的求法
【典例1】（23-24 高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十
字路口遇到红灯的概率均为
，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等
待时间不少于两分钟的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A，
由题意可知：事件A：小明遇到2 个或3 个红绿灯，
所以
.故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币
次，正面朝上的次数记为
X，则（ ）.
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
【答案】C
【分析】每次投掷正面朝上的概率均为
，利用独立重复试验的概率求解方法即可得解.
【详解】对于
选项，
，故
错误；
对于
选项，
，故
错误；
对于
选项，
，故
正确；
对于
选项，
，故
错误.
故选：
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）一袋中有5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取
5
一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次停止，设停止时共取了
次球，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的定义即可得到答案.
【详解】由题意知第12 次取到红球，前11 次中恰有9 次取到红球，2 次取到白球，由于每次取到红球的概
率为
．
由二项分布知识可知
，
故选：D．
【变式3】（24-25 高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是
一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗
钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师
向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉
板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2 倍.当有大
量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5 个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5 层钉板最终
落到4 号位置的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2 倍，所以向左下落的概率为
，向右下落的概率为
，由
二项分布的性质计算概率即可.
【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2 倍.
所以向左下落的概率为
，向右下落的概率为
，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4 号位置，
6
故此时概率为：
.
故选：A
【变式4】（23-24 高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．
已知甲队每局获胜的概率为
，乙队每局获胜的概率为
．
（1）求乙队以
的比分获胜的概率；
（2）设确定比赛结果需要比赛
局，求
的分布列．
【答案】（1）
；（2）分布列见解析
【解析】（1）乙队以
的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，
故乙队以
的比分获胜的概率
．
（2）由题意，
的可能取值为、
、，
所以
；
；
．
所以
的分布列为
题型02 二项分布的概率计算问题
【典例2】（23-24 高二下·河南安阳·期中）若随机变量
服从二项分布
，且
，则
（ ）
A．39
B．50
C．63
D．68
【答案】C
【分析】先利用二项分布的概率公式求出
的值，再利用排列数公式和组合数公式求解．
【详解】
随机变量
服从二项分布
，且
，
，
，
，
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．
故选：C．
【变式1】（23-24 高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为
，此人连续射击三次，至
少有两次击中目标的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为
.
【详解】记“至少有两次击中目标”为事件
，连续射击三次击中目标的次数为
，
由每次射击击中目标的概率均为
，则未击中目标的概率均为
；
则
.
故选：D
【变式2】（23-24 高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木
中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为
，若从该地市民中随机选取4 人
进行访谈，则至少有3 人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】运用二项分布知识求解即可
【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则
.
根据二项分布概率公式知道至少有3 人建议栽种乙树木的概率为
.
故选：D.
【变式3】（23-24 高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量
.若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】利用二项分布的概率公式探讨
的取值，再将
等价为
求解
即得.
【详解】由
，则
，
，
且
，
构造函数
，其导函数为
，
由于
，
，故函数
在区间
上单调递增；
当
时，取最小值
；当
时，函数值为；
所以
；
故选：B.
【变式4】（23-24 高二下·广东·期中）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左
移动的概率为
，向右移动的概率为
，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位
于X 的位置，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意设该质点向右移动的次数为
，则
，所以
，再根据二项
分布的概率公式计算即可求解.
【详解】设该质点向右移动的次数为
，则
，
，
而
，所以
的可能取值为
，
所以
.
故选：D．
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题型03 服从二项分布的概率最值
【典例3】（23-24 高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量
，则概率
最大时，
的
取值为（ ）
A．
B．
C．或
D．
或
【答案】C
【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的
．
【详解】依题意
，
由
，
即
，解得
或
.
故选：C.
【变式1】（23-24 高二下·吉林白山·期末）已知随机变量
，当且仅当
时，
取得
最大值，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.
【详解】由题得
，
由题知在
中，最大值只有
，
即在
中，最大值只有
，由二项式系数的对称性可知
.
故选：
.
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球
运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5 次罚球的机
会，且每罚中一球可得到1 分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分．
【答案】4
【分析】设最有可能得
分，根据独立重复试验的概率公式，得到
，求得
的值，
即可求解.
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【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为
，则
，
则
，
再设最有可能得
分，其中
，
则
，即
，
解得
，所以则
，所以该名运动员通过罚球最有可能得
分．
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高二上·山东德州·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相
互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放
入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为
，向右下落的概
率为
，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为
，，
，
，
，则小球落入 号
格子的概率最大. 图片仅供参考
【答案】7
【分析】小球下落需要
次碰撞，每次向左落下的概率为
，向右下落的概率为
，归纳出小球掉入
号格子，需要向左
次，向右
次，概率为
，然后由小球落入
号格子
的概率最大，列不等式组求解．
【详解】小球下落需要
次碰撞，每次向左落下的概率为
，向右下落的概率为
，
小球掉入
号格子，需要向左
次，概率为
，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为
，
小球掉入
号格子，需要向左次，向右
次，概率为
，
11
小球掉入号格子，需要向左
次，向右次，概率为
，
依此类推，小球掉入
号格子，需要向左
次，向右
次，
概率为
，
设小球落入
号格子的概率最大，显然
，
，
则
解得
，又
为整数，所以
，
所以小球落入
号格子的概率最大．
故答案为：
．
题型04 二项分布模型的应用
【典例4】（23-24 高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3 局谁就直接获胜，并结束比
赛.假设每局甲赢的概率为
，和棋的概率为
，各局比赛结果相互独立.
（1）记
为3 局比赛中甲赢的局数，求
的分布列.
（2）求乙在4 局以内（含4 局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6 局结束，且甲赢得比赛的概率
【答案】（1）分布列见解析，
；（2）
；（3）
【解析】（1）由题知甲每局赢的概率为
，甲不赢的概率为
，
则
，
的可能取值为，，
，，
所以
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
（2）由题知乙每局赢的概率为
，乙不赢的概率为
，
因为乙在4 局以内（含4 局）赢得比赛，
则分两种情况：乙前3 局全胜和前3 局只有一局不胜，第四局乙胜，
所以乙在4 局以内（含4 局）赢得比赛的概率
；
12
（3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛，
应要满足：前局甲只赢
局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢，
又每局甲赢的概率为
，和棋的概率为
，乙赢的概率为
，
故所求概率为
．
【变式1】（23-24 高二下·云南昆明·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者
得1 分，负者得0 分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为
，每局比赛的结果互
不影响.
（1）经过3 局比赛，记甲的得分为X，求X 的分布列；
（2）若比赛采取3 局制，试计算3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【答案】（1）分布列见解析，2；（2）
【解析】（1）由题意得，
，X 的取值可能为0，1，2，3，
则
，
，
，
.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
（2）第3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2 局，甲获胜3 局，
所以所求概率为
.
【变式2】为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动
的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，
这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都
为
，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
（1）写出X 的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率．
【答案】（1）分布列见解析；（2）0.999
【解析】（1）可以看出，X 服从参数为3，0.9 的二项分布，即
．
因此
，
，
，
，
从而X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
13
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即
，
因此所求概率为
．
【变式3】（23-24 高二下·湖北·月考）一个盒子里有大小相同的5 个小球，其中2 个白球和3 个红球．
（1）一次性从盒子中抽3 个小球，抽出来的是1 个白球和2 个红球的概率；
（2）有放回地抽3 次小球，每次抽1 个，求抽出白球次数
的分布列．
【答案】（1）
；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设抽出来的是1 个白球和2 个红球的事件为
，
则随机试验一次性从盒子中抽3 个小球的样本空间中的样本点的个数：
，
事件
包含的样本点个数为：
，
．
（2）每一次抽出白球的概率为
．
的所有可能取值为0，1，2，3，则
，
所以
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
题型05 超几何分布的辨析
【典例5】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6 的骰子的个数记为X，求X 的概率分布；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X
的概率分布；
(3)盒子中有红球3 只，黄球4 只，蓝球5 只．任取3 只球，把不是红色的球的个数记为X，求X 的概
率分布；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人
数记为X，求X 的概率分布；
(5)现有100 台MP3 播放器未经检测，抽取10 台送检，把检验结果为不合格的MP3 播放器的个数记为
X，求X 的概率分布．
【分析】根据超几何分布的特点判断即可．
【解析】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件
数，是超几何分布．
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(5)中没有给出不合格品数，无法计算X 的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
【变式1】下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)
①在10 件产品中有3 件次品，一件一件地不放回地任意取出4 件，记取到的次品数为X；
②从3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台，记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6 个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.
【答案】①②
【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X 服从超几何分布．②中随机变量X 服从超几何
分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．
【变式2】(多选)一袋中有除颜色、编号外完全相同的10 个球，其中有6 个黑球，编号为1,2,3,4,5,6，
还有4 个白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4 个球，则下列结论中正确的是( )
A．取出的最大号码X 服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y 服从超几何分布
C．取出2 个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【解析】由超几何分布的概念知A 错误、B 正确；对于C，取出2 个白球的概率为P＝＝，故C 错误；
对于D，若取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大
的概率为P＝＝，故D 正确．
题型06 利用超几何分布求概率
【典例6】（23-24 高二下·浙江·期中）一批产品共有7 件，其中5 件正品，2 件次品，现从7 件产品中一次
性抽取3 件，设抽取出的3 件产品中次品数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7 件产品中取出3 件产品的基本
事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：
，
从7 件产品中取出3 件产品的基本事件数为：
，
故选：B
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设袋中有8 个红球，4 个白球，若从袋中任取4 个球，则其中至
多3 个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可.
【详解】从袋中任取4 个球，其中红球的个数
服从参数为
的超几何分布，
故至多有3 个红球的概率为
.
故选：D.
【变式2】（23-24 高二下·山东青岛·期中）数学老师从6 道题中随机抽3 道让同学检测，规定至少要解答
正确2 道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4 道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可.
【详解】由题意知抽取3 道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
则只答对一道题的概率为
，所以该同学及格的概率为
.
故选：A
【变式3】（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）有20 个零件，其中16 个一等品，其余都是二等品，若从20 个
零件中任取3 个，那么至多有一个是二等品的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．以上均不对
【答案】C
【分析】利用超几何分布求概率即可.
【详解】至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一个二等品，
故概率为：
.
故选：C
题型07 利用超几何分布求分布列
【典例7】（24-25 高三上·江苏常州·期中）某校由5 名教师组成校本课程讲师团，其中2 人有校本课程开
设经验，3 人没有校本课程开设经验.先从这5 名教师中随机抽选2 名教师开设校本课程，该期校本课程结
束后，再从这5 名教师中随机抽选2 名教师开设下一期校本课程.
(1)在第一次抽选的2 名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X 的分布列；
(2)求“在第二次抽选的2 名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
16
(2)
【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
（2）利用全概率公式来求得正确答案.
【详解】（1）
的可能取值为0,1,2，
，
所以随机变量
的分布列为
0
1
2
（2）用
表示事件“在第二次抽选的2 名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”，
用
表示事件“第一次抽选的2 名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”，
两两互斥，
，
由(1)知
，
由全概率公式得，
，
所以在第二次抽选的2 名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为
.
【变式1】一个盒子里装有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒子中随机取出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率；
(2)从盒子中随机取出4 个球，其中红球个数记为X，求随机变量X 的分布列．
【解析】 (1)一个盒子里装有9 个球，其中有4 个红球，3 个黄球和2 个绿球，这些球除颜色外完全
相同，从盒子中随机取出2 个球，样本点总数n＝C＝36，取出的2 个球颜色相同包含的样本点个数m＝C
＋C＋C＝10，
∴取出的2 个球颜色相同的概率P＝＝＝.
(2)从盒子中随机取出4 个球，其中红球个数记为X，则X 的取值范围是{0，1，2，3，4}，X 服从参数
为9，4，4 的超几何分布，即X～H(9，4，4)，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝
＝，P(X＝4)＝＝，∴随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
17
【变式2】）某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生
名女生，现从中选
人去参加一项活动．
（1）求选出的
人中，恰有名男生的概率；
（2）用
表示选出的
人中男生的个数，求
的分布列．
【答案】（1）
；（2）分布列见解析
【解析】（1）选出的2 人中恰有1 名男生的概率是
.
（2）
的值可取
，
则
，
，
.
所以
的分布列如下：
【变式3】（23-24 高二下·广东梅州·月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10 个粽子，其
中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3 个.
（1）求三种粽子各取到1 个的概率；
（2）设
表示取到的豆沙粽个数，求
的分布列；
（3）设
表示取到的粽子的种类，求
的分布列.
【答案】（1）
；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）令
表示事件“三种粽子各取到1 个”，则
；
（2）
的所有可能值为
，
且
综上知，
的分布列为
1
2
3
（3）由题意知
的所有可能值为
，
且
.
综上知，
的分布列为
1
2
3
18
题型08 二项分布与超几何分布的综合问题
【典例8】某批N 件产品的次品率为1%，现在从中随机抽出2 件进行检验，问：
(1)当N＝100,1 000,10 000 时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1 件次品的概率各是多少？
(精确到0.000 01)
(2)根据(1)，谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．
【解析】(1)当N＝100 时，
如果放回抽取，则是二项分布，抽到的2 件产品中恰有1 件次品的概率为C×0.01×0.99＝0.019 80；
如果不放回抽取，则是超几何分布，100 件产品中次品数为1，正品数是99，从100 件产品里抽2 件，
恰有1 件次品的概率为≈0.020 00.
当N＝1 000 时，如果放回抽取，则是二项分布，抽到的2 件产品中恰有1 件次品的概率为
C×0.01×0.99＝0.019 80；
如果不放回抽取，则是超几何分布，1 000 件产品中次品数为10，正品数是990，从1 000 件产品里抽
2 件，恰有1 件次品的概率为≈0.019 82.
当N＝10 000 时，如果放回抽取，则是二项分布，抽到的2 件产品中恰有1 件次品的概率为
C×0.01×0.99＝0.019 80；
如果不放回抽取，则是超几何分布，10 000 件产品中次品数为100，正品数是9 900，从10 000 件产品
里抽2 件，恰有1 件次品的概率为≈0.019 80.
(2)对超几何分布与二项分布关系的认识：
①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；②超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要
知道总体容量；③当总体容量很大时，超几何分布近似于二项分布．
【变式1】袋中有6 个白球、3 个黑球，从中随机地连续抽取2 次，每次取1 个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X 的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y 的分布列．
【解析】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X 的可能取值为0,1,2，其中每次抽取到黑球
的概率均为，所以2 次取球可以看成2 次独立重复试验，则X ～B
，可得P(X ＝0) ＝
，P(X＝1)＝
，P(X＝2)＝
，
所以随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
(2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y 的可能取值为0,1,2，可得P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
19
所以随机变量Y 的分布列为
Y
0
1
2
P
一、单选题
1．（23-24 高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择
10 名同学参加活动，定义随机变量
为其中团员的人数，则
服从 （ ）
A．二项分布
B．超几何分布
C．正态分布
D．伯努利分布
【答案】B
【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可.
【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布；
将一个伯努利试验重复做
次，叫做
重伯努利试验，
一般地，在
重伯努利试验中，每次试验事件
发生的概率记为
，
在
次试验中事件
发生的次数记为
，则
服从二项分布；
件产品中包含
件次品，从中抽取
件产品，记
件产品中次品数为
，
则
服从超几何分布；
若随机变量
的概率分布密度曲线满足正态密度函数
，则称机变量
服从正态分布；
所以某班级共有40 名同学，其中15 人是团员，现从该班级通过抽签选择10 名同学参加活动，
设随机变量
为其中团员的人数，则随机变量
服从超几何分布.
故选：B
2．（23-24 高二下·山东青岛·期中）已知随机变量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二项分布的概率公式计算即可.
【详解】由题意可知：
.
故选：C.
3．（23-24 高二下·湖北武汉·期末）从含有3 件正品，2 件次品的产品中随机抽取2 件产品，则抽取出的2
件产品中恰有1 件次品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
20
【答案】A
【分析】根据题意，结合超几何分布的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从含有3 件正品，2 件次品的产品中随机抽取2 件产品，
则抽取出的2 件产品中恰有1 件次品的概率为
.
故选：A.
4．（23-24 高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工
作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的
一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5 件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3 件产
品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3 件产品，设员工甲抽取到的3 件产品中次品数量为
，员
工乙抽取到的3 件产品中次品数量为
，
，则下列判断不正确的是（ ）（参考：超几何分布
其均值
）
A．随机变量
服从二项分布
B．随机变量
服从超几何分布
C．
D．
【答案】D
【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD.
【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3 件产品，则随机变量
服从二项分布，A 正
确；
对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3 件产品，则随机变量
服从超几何分布，B 正确；
对于C，该批产品有
件，则
，
，C 正确；
对于D，
，
，若
，
则
，与选项C 矛盾，D 错误．
故选：D
5．（25-26 高三上·上海·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与
，
且乙投球2 次均未命中的概率为
.若甲、乙两人各投球2 次，则共命中2 次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
21
【分析】根据题意，先列方程算出
，因甲、乙两人各投球2 次，可设两个随机变量
,可得
，
，将所求事件分成“甲命中2 次、甲乙各命中一次和乙命中2 次”三类情况，利用二
项分布概率公式计算即得.
【详解】依题意，
，解得
，
记甲投球2 次，命中次数为随机变量
，则
，乙投球2 次，命中次数为随机变量
，则
,
则甲、乙两人各投球2 次，则共命中2 次可表示为:
.
故选：D.
6．（24-25 高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈
水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210 枚金
币，先赢3 局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2 局，乙赢了1 局，问这420 枚金
币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方
案．该分配方案是（ ）
A．甲315 枚，乙105 枚
B．甲280 枚，乙140 枚
C．甲210 枚，乙210 枚
D．甲336 枚，乙84 枚
【答案】A
【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为
，且游戏最多再进行2 局即可分出胜负，求得甲获胜的概
率，进而得到答案.
【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为
，若游戏继续进行，最多再进行2 局即可
分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为
；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为
；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为
；
所以甲胜出的概率为
，甲应该分得赌金的
，即甲分得赌金
枚，乙分得赌金
枚.
22
故选：A.
7．（22-23 高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为
，现从这批产品中任取5 件，
设取得合格产品的件数为
，则以下选项正确的是（ ）
A．
的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．
的概率最大
D．
服从超几何分布
【答案】C
【分析】
的可能取值包括0 可判断A；
可判断B；随机变量
，
，若
取得最大值时,则有
，
，求出
的值可
判断C；
服从二项分布可判断D.
【详解】对于A，
的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于D，由题意，随机变量
，故D 不正确；
对于C，随机变量
，
，
若
取得最大值时，则:
，
则
，解得
，则
．
故
的概率最大，所以C 正确；
故选：C.
8．（23-24 高二下·山西大同·期中）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔秒向左或
向右移动一个单位，已知向右移动的概率为
，向左移动的概率为
，共移动次，则质点位于
的位置
的概率是（ ）
23
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意质点需向右移动次，向左移动次，根据独立重复试验的概率公式计算可得.
【详解】依题意此实验满足重伯努利实验，设向左移动次数为
，则
，
从原点
出发，共移动次，最后质点位于
，则需向右移动次，向左移动次，
所以质点位于
的位置的概率为
.
故选：D
二、多选题
9．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有6 个白球3 个红球，乙盒装有5 个
白球5 个红球，则下列说法正确的是（ ）
A．甲盒中一次取出3 个球，至少取到一个红球的概率是
B．乙盒有放回地取3 次球，每次取一个，取到2 个白球和1 个红球的概率是
C．甲盒不放回地取2 次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是
D．甲盒不放回地多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的
概率是
【答案】BC
【分析】A 选项利用超几何分布求概率公式即可计算；B 根据二项分布求概率公式计算即可；C 选项、D 选
项利用全概率公式与条件概率公式即可求解.
【详解】对于A，记
“甲盒中取3 球至少一个红球”，
则
，故A 错误；
对于B，记
“乙盒有放回的取3 次球，取到2 个白球”，
则
，故B 正确；
对于C，记
“甲盒不放回第i 次取到红球”，
则
，故C 正确.
24
对于D，
，故D 不正确.
故选：BC.
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）（多选）袋中有10 个大小相同的球，其中6 个黑球，4 个白球，现从
中任取4 个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的白球个数X 服从二项分布
B．取出的黑球个数Y 服从超几何分布
C．取出2 个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【分析】根据超几何分布的定义即可求解AB，根据超几何的概率公式即可求解CD.
【详解】对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y 均服从超几何分布，故A 错误，B 正确；
对于C，取出2 个白球的概率为
，故C 错误；
对于D，若取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，则取出4 个黑球的总得分最大，∴总得分最大的
概率为
，故D 正确．
故选：BD．
11．（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的有（ ）
A．已知事件
，且
，
，
，则
B．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10 次，其中失败的次数为
，则
C．若从
名男生､名女生中选取
人，则其中至少有名女生的概率为
D．设甲乘汽车动车前往某目的地的概率分别为
､
0.3､0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为
0.6､0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58
【答案】ABD
【分析】由条件概率判断出选项A 正确，由二项分布即可判断选项B 正确，由超几何分布求解概率即可判
断选项C 错误，由全概率公式求解判断选项D 正确．
【详解】A．由条件概率公式知：
，
25
则
，故A 正确，符合题意；
B．因为
，故
，故B 正确，符合题意；
C．至少有一名女生的概率
，故C 错误，不符合题意；
D．设事件
表示甲正点到达目的地，事件
表示甲乘动车前往目的地，事件
表示甲乘汽车前往目的地，
由题意知
，
，
，
．
由全概率公式得
，故D 正确，符
合题意．
故选：ABD．
三、填空题
12．（25-26 高三上·上海·单元测试）已知随机变量X 服从二项分布B（4，p），
，那么一次
试验成功的概率p 等于 ．
【答案】
或
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】
，
即
，解得
或
．
故答案为：
或
.
13．（24-25 高二下·全国·课后作业）某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上
交了9 篇文章．学校通过评比后，评出4 篇文章获得优胜奖．若这4 篇文章恰有3 篇是高一年级上交的概
率为
，则高一年级上交的文章有 篇．
【答案】5
【分析】设高一上交
篇文章，表示出事件： “这4 篇获奖文章恰有3 篇是高一年级上交的”的概率，根
据该事件的概率为
，可求
的值.
【详解】设高一年级上交了
篇文章，则高二年级上交了
篇文章．
设“这4 篇优胜文章恰有3 篇是高一年级上交的”为事件
，
26
则
，
又
，所以
故高一年级上交的文章有5 篇．
故答案为：5
14．（23-24 高二下·陕西宝鸡·期中）在20 件产品中可能存在次品，从中抽取2 件检查，其次品数为
，已
知
，且该产品的次品率不超过
，则这20 件产品的次品率为 ．
【答案】
【分析】设这20 件产品的次品数为
，从中抽取2 件检查，其次品数为
，
，由此
能求出这20 件产品的次品率．
【详解】设20 件产品中有x 件次品，
则
，
解得
或
．
因为次品率不超过
，
所以
，
所以次品率为
，
故答案为：
．
四、解答题
15．（24-25 高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10 个红球，
20 个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5 个球．规定摸到4 个红球，1 个白球的就中一等
奖．
(1)若摸出后放回，求中一等奖的概率；
(2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3 个红球就中奖，求中奖的概率．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5 次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解;
（2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可.
【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为
，则
，
27
中一等奖的概率为
．
（2）若以30 个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5 个球，
表示取到的红球数，则
服
从超几何分布
，
①由公式得，
，
所以中一等奖的概率为
．
②
的可能取值为0，1，2，3，4，5，
根据公式可得至少摸到3 个红球的概率为
，
故中奖的概率约为
．
16．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和
“想玩就‘趣’FUN 肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛
的概率均是
，进入达人秀决赛的概率均是
，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为
．求随机变量
的概率分布.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
.
【分析】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘
法公式求解即可.
（2）根据题意先求出
的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期
望即可求解.
【详解】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件
，“甲进入达人秀决赛”为事件
，
则
，
因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响，
所以事件
和事件
相互独立，
所以甲两个比赛都进入决赛的概率为
.
故甲两个比赛都进入决赛的概率为
.
28
（2）
的可能取值为
，所以
，
，
，
，
故随机变量
的分布列为：
17．（23-24 高三上·江苏南通·月考）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透
明箱中装有4 个黑球，3 个红球，1 个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3 个球，
观察颜色后放回.若摸出的球中有
个红球，则分得
个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节
目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布.
【答案】（1）
；（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2 个红球1 个黄球”和“1 个黑球，1 个红球，1 个黄球”，
所以
.
（2）由题意可知
的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得
的分布列为
0
1
2
3
18．（23-24 高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参
与情况，在该地区随机选取了10 所学校进行研究，得到如下数据：
29
(1)从这10 所学校中随机选取1 所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40 人，求该校参与“单板
滑雪”超过30 人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40 人的学校评定为“基地学校”.现在从这10 所学校中随机选取2 所，
设“基地学校”的个数为
，求
的分布列；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训，并专门对这3 个
动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为
“优秀”.在此集训测试中，李华同学3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为
，每个动作互不影响，
每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5 次，那么至少要进行
多少轮测试？（结果不要求证明）
【答案】(1)1
2
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率；
（2）结合超几何分布可求
的分布列和数学期望；
（3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试.
【详解】（1）由题设可得如下数据：
自由
单板
设
为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40 人”，
为“该校参与“单板滑雪”超过30 人”，则
，
而
，故
.
故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40 人，
该校参与“单板滑雪”超过30 人的概率为1
2.
30
（2）参与“自由式滑雪”人数在40 人以上的学校共4 所，
的所有可能取值为
，
所以
，
，
，
所以
的分布列如下表：
0
1
2
（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件
，则
，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布
，
由题意列式
，得
，
因为
，所以
的最小值为
，故至少要进行
轮测试.
19．（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）为了让人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司
和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞
争关系．
(1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直
播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播
间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为
，
每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2 人下单成功的概率为
，
求
的最大值点
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全概率公式结合条件即得；
（2）由题设可得
，利用导数研究其单调性求
上的最大值即可.
【详解】（1）小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去
乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况，
所以小李第二天去乙直播间购物的概率
．
（2）由题设，设五人中下单成功的人数为
，则
，
所以
，
31
令
，
所以
，令
，
所以
，
开口向下，且在
上递增，
上递减，又
，
故
上
，
递减；
上
，
递增；
，
，故
上
，即
，
上
，即
，
所以
在
上递增，
上递减，即
在
上递增，
上递减，
所以
，即
．
