文档文本内容
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1.2.3 充分条件、必要条件
课程标准
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念；
2.正确判断p 是q 的充分条件或必要
条件；
3.理解充要条件的概念，并会判断和
证明p 是q 的充要条件.
1.理解充分条件、必要条件与判定定理、性质定理及
其数学概念之间的关系；
2.经历充分条件、必要条件概念的形成过程，体验有
具体到一般的思维方法；
3.会判断p 是q 的什么条件；
4.通过实例体会对理解抽象概念的作用；
5.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，
建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问
题的习惯；
知识点01 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理
都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
注意：对于“p q”
⇒
，蕴含以下多种解释：
2
（1）“若p，则q”形式的命题为真命题；
（2）由条件p 可以得到结论 q；
（3）p 是q 的充分条件或q 的充分条件是p；
（4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p 对于q 是充分的；
（5）q 是p 的必要条件或p 的必要条件是q；
（6）一旦q 不成立，p 一定也不成立，q 成立对于p 成立是必要的.
显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q
⇒，只是说法不同而已.
【即学即练1】（2024·江苏·高一假期作业）“
”是“
”的________条件，“
”是“
”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）关于x 的方程
有实根的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 充分条件、必要条件与充要条件
如果p⇒q，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数
学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定
义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
1、充分不必要条件：如果
且
，则称
是
的充分不必要条件；
2、必要不充分条件：如果
且
，则称
是
的必要不充分条件；
3、充要条件：如果
且
，则称
是
的充分必要条件，简称充要条件；
4、既不充分也不必要条件：如果
且
，则称
是
的既不充分也不必要条件
【即学即练3】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（ ）
A．ab>1且a+b>2
B．ab>1且(a−1)(b−1)>0
C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0
D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0
【即学即练4】（2023 秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数x，y，则“x + y =0”是“x
2+ y
2=0”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
知识点03 充分必要条件与集合的关系
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
①若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
3
③若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
④若A＝B，则p 是q 的充要条件；
⑤若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【即学即练5】（2024·高一单元测试）已知全集
，集合
，
.
(1)当
时，求
和
；
(2)若“
”是“
”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
难点：充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值
范围．
【题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断】
例1.（2024·全国·高一专题练习）“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935 年10 月所写的一
首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分
析，其中“好汉”是“到长城”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1.（2024·江苏·高一假期作业）已知
，
，则
是
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2.（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中，p 是q 的什么条件？
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
4
(2)p：
，q：
.
变式3.（2023 春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条
件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x 为自然数，q：x 为整数；
(2)p：
，q：
；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
变式4.（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49 回“欲
破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东
风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式5.（2024·江苏·高一假期作业）“
”是“
”的 条件．
变式6.（2023 春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
变式7.（2023 春·浙江温州·高二校联考期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
变式8.（2023 春·河北沧州·高二统考期末）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式9.（2024·全国·高一假期作业）设
：
或
；
：
或
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式10.（2024·全国·高三专题练习）
是方程
有实根
且
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式11.（2023 春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题
：
，
，则“
”是“
是真命题”的（ ）
5
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式12.【多选】（2023 春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．命题“
”的否定是“
”
C．
的充要条件是
D．若
，则
至少有一个大于1
变式13.【多选】（2023 秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．“
，有
”的否定是“
，使
”
D．“
是方程
的实数根”的充要条件是“
”
变式14.（2023 秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组
，
中，
是
的充
要条件的为（ ）
A．
，
B．
：两个三角形全等，
：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．
，
D．
：两直角三角形的斜边相等，
：两直角三角形全等
【方法技巧与总结】
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
（1）定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．
②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．
③根据推式及条件得出结论．
（2）等价转化法
①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若¬p ¬
⇒q，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
若¬p ¬
⇒q，且¬q
¬p，则p 是q 的必要不充分条件；
若¬p
¬
⇔q，则p 与q 互为充要条件；
6
若¬p
¬q，且¬q
¬p，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
（3）集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
①若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
③若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
④若A＝B，则p 是q 的充要条件；
⑤若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传
递性进行判断．
（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论
(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
注：充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个
集合范围一样，就是充要条件的关系；
【题型2：求条件(充分条件、必要条件和充要条件)】
例2．（2024·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高三专题练习）已知p：
，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：①
；②
或
；③
；④
且
．其中可以作为“若
，则
”的一个充分而不必要条件的是 ．
变式3.（2023 春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“
在
上恒成立”的一个充分不
必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.（2024·全国·高三专题练习）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．
D．a＞2
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变式5.（2024·重庆·统考模拟预测）命题“
”是真命题的一个必要不充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6.（2023 秋·高一课时练习）方程
有实根的充要条件是 ，方程
有实根
的一个充分而不必要条件可以是 .
变式7.【多选】（2024·全国·高一假期作业）设全集为U，在下列选项中，是
的充要条件的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8.（2023 秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“
”是真命题的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的
充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探
求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【题型3：充分条件、必要条件、充要条件的应用】
例3．（2024·上海长宁·统考二模）若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围为
．
变式1.（2023 秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件
，条件
，且
是
的必要条件，求
的取值集合．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条
件，求实数a 的取值范围．
变式3.（2024·全国·高一专题练习）已知
:
或
，
:
，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2023 秋·湖北武汉·高一期中）已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要
条件是¬p，则实数a 的取值范围是 ．
变式5.（2024·全国·高三专题练习）已知集合
，
．若“
”是“
”的
8
充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6.（2023 秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式
成立”的充要条件为“
”，则实数
的值为 .
变式7.（2024·江苏·高一假期作业）已知
，
，若p 是q 的必要不充分
条件，求实数m 的取值范围．
变式8.（2023 秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知
，
或
，若
的必
要不充分条件是
，则
的取值范围是 .
变式9.（2024·高一单元测试）已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)当B 为非空集合时，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
变式10.（2024·高一单元测试）已知全集
，集合
，
.
(1)当
时，求
和
；
(2)若“
”是“
”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
变式11.（2024·全国·高一专题练习）设集合
，命题
，
命题
(1)若
是
的充要条件，求正实数
的取值范围；
(2)若
是
的充分不必要条件，求正实数
的取值范围.
变式12.（2023 秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合
，
，
请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题
（2）中的实数
存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的________条件，判断实数
是否存在？
变式13.（2023 春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题
，当命题
为真命题时，实数
的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
变式14.（2024·全国·高一专题练习）已知p：
，q：
．
（1）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围；
（2）若
是
的必要不充分条件，求实数m 的范围．
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【方法技巧与总结】
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件
与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求
解．
【题型4：充分性与必要性的证明】
例4.（2024·全国·高一专题练习）已知
，求证：
的充要条件是
．
变式1.（2023 秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于
的方程
有实数根”是
“
”的什么条件？请证明你的结论．
变式2.（2023 秋·高一课时练习）已知x，y R
∈，求证:xy=0 是x2+y2=0 的必要不充分条件.
变式3.（2024·全国·高一专题练习）证明：“
”是“关于
的方程
有一正一负根”的充
要条件.
变式4.（2023 秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合
，
．
(1)若“
，
”为假命题，求
的取值范围；
(2)求证：
至少有2 个子集的充要条件是
，或
．
变式5.（2023 秋·河南许昌·高一校考阶段练习）求证：方程
与
有一个公共实数
根的充要条件是
.
【方法技巧与总结】
充分、必要、充要条件的证明
1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成
立。
2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意
“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。
一般地，证明
成立的充要条件为
，在证明充分性时，应以
为“已知条件”，
是在该步中要证
明的“结论”，即
；在证明必要性时，则是以
为“已知条件”，
在该步中要证明的“结论”，
即
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一、单选题
1．（23-24 高一上·广东佛山·阶段练习）关于
的一元二次方程
有实数解的一个必要不充分条
件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则
“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山西朔州·模拟预测）设
，则“
且
”是“
”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
4．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知
，若集合
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（23-24 高一下·湖南·期末）已知集合
，若
是
的充要条件，
则整数
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
6．（23-24 高一上·上海·期末）
的一个充要条件是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
二、填空题
7．（2023 高三·全国·专题练习）已知命题
，若
是
的充要条件，则
．
8．（24-25 高一上·上海·期中）不等式
成立的充分非必要条件是
，则m 的取值范围
是 ．
9．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，设
；
．若
是
的充分不必要条
件，则实数
的取值范围是 ．
10．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充分条件的有 ．
11
（1）若
，则
；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
，
．
三、解答题
11．（24-25 高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件
是条件
的什么条件．
(1)
，
；
(2)
是直角三角形，
是等腰三角形；
(3)
：四边形的对角线互相平分，
：四边形是矩形；
(4)
或
，
；
(5)
，
：方程
有实数根．
12．（24-25 高一上·上海·课堂例题）用“
”表示下列陈述句
与
之间的推出关系：
(1)
：
，
：
；
(2)
：
既是2 的倍数又是5 的倍数，
：
是10 的倍数；
(3)
：
是偶数
，
：
是偶数
．
13．（23-24 高一上·江苏连云港·期末）已知集合
，
，全集
(1)当
时，求
(2)若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围．
14．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
是实数，集合
，
．求证：“
”是
“
”的充要条件．
15．（23-24 高一上·云南德宏·期末）设集合
，集合
或
．
(1)当
时，求
，
；
(2)设命题
，命题
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
16．（23-24 高二下·河北·期末）已知
或
.
(1)若命题
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
17．（24-25 高一上·全国·课堂例题）证明：
是一元二次方程
有两个异号实根的
充要条件．
12
18．（23-24 高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合
，集合
，集合
，且
．
(1)求实数a 的值组成的集合；
(2)若
，
是
的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
19．（23-24 高一上·甘肃武威·阶段练习）已知
或
．
(1)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
20．（23-24 高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x 的方程
有实数根，
．
(1)若命题
是假命题，求实数a 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
21．（19-20 高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合
(1)判断8，9，10 是否属于集合A；
(2)已知集合
，证明：“
”的充分条件是“
”；但“
”不是“
”的必要条件；
(3)写出所有满足集合A 的偶数.
