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必刷小题15 直线与圆
一、单项选择题
1．(2023·无锡模拟)设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my＋m＋1＝0，则
“m＝1”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若l1∥l2，则
解得m＝1 或m＝－3，
因此，“m＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9 的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
答案 B
解析 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，
由得所以直线恒过定点(2,0)，
因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．
3．直线x＋ay＋b＝0 经过第一、二、四象限，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
答案 C
解析 因为直线x＋ay＋b＝0 经过第一、二、四象限，
所以该直线的斜率－<0，直线在y 轴上的截距－>0，可得a>0，b<0.
4．(2023·重庆模拟)已知过点P(3,1)的直线l 与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5 相切，且与直线x－
my－1＝0 垂直，则m 等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5，
∴点P 在圆C 上，
∴kCP＝＝－，
∴切线l 的斜率为2，
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∵l 与直线x－my－1＝0 垂直，
∴2×＝－1，
解得m＝－2.
5．(2022·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0 关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b 为大于0 的常
数)对称，则ab 的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 因为圆x2＋2x＋y2＝0 的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0 关于直线ax＋y＋1－b＝
0(a，b 为大于0 的常数)对称，
所以直线ax＋y＋1－b＝0 过圆心(－1,0)，
所以a＋b＝1，又a>0，b>0，
所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即当a＝b＝时，ab 取最大值.
6．(2023·晋城模拟)已知圆C：x2＋y2＝1 和直线l：x0x＋y0y＝1，则“点P(x0，y0)在圆C 上”
是“直线l 与圆C 相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若点P 在圆C 上，则x＋y＝1，圆心到直线l：x0x＋y0y＝1 的距离d＝＝1，此时直线l
与圆C 相切；
若直线l 与圆C 相切，则d＝＝1，即x＋y＝1，此时点P 在圆C 上．
综上知，“点P(x0，y0)在圆C 上”是“直线l 与圆C 相切”的充要条件．
7．(2022·兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山
大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且
λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C 到点A(－1,0)，B(1,0)的
距离之比为，则点C 到直线x－2y＋8＝0 的距离的最小值为( )
A．2－ B.－ C．2 D.
答案 A
解析 设C(x，y)，则＝，即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C 的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0 的距离d＝＝2，
所以点C 到直线x－2y＋8＝0 的距离的最小值为2－.
8．在平面直角坐标系中，已知点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0 内，动直
线AB 过点P 且交圆C 于A，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围
是( )
A．(3－2，3＋2)
B．[1,5]
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C．(3－2，1]∪[5,3＋2)
D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
答案 C
解析 圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，
即圆心为C(m,1)，r＝4，
所以△ABC 的面积为S△ABC＝r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，
当且仅当∠ACB＝，即△ABC 为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝4，圆心C 到直线
AB 的距离为＝2，
因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0 内，
所以2≤|PC|<4，即2≤<4，
所以8≤(m－3)2＋4<16，解得3－2<m≤1 或5≤m<3＋2，
所以实数m 的取值范围是(3－2，1]∪[5,3＋2)．
二、多项选择题
9．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0 的距离相等，则实数m
的值可以是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 AC
解析 因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0 的距离相等，
所以＝，
化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－或m＝－.
10．(2023·深圳模拟)动点P 在圆C1：x2＋y2＝1 上，动点Q 在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16 上，
则下列说法正确的是( )
A．两个圆心所在的直线斜率为－
B．两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0
C．两圆公切线有两条
D．|PQ|的最小值为0
答案 AD
解析 圆C1：x2＋y2＝1 的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16 的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.
两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A 正确；
因为|C1C2|＝＝5，R＋r＝5，
所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q 运动到切点时，|PQ|
的最小值为0，因此选项B，C 不正确，选项D 正确．
11．以下四个命题表述正确的是( )
A．若点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0 外，则实数m 的取值范围为(－7，＋∞)
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B．圆x2＋y2＝2 上有且仅有3 个点到直线l：x－y＋1＝0 的距离等于
C．圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0 和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 外切
D．实数x，y 满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是
答案 AD
解析 点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0 外，
则12＋22＋2＋2(m－1)－m＋2>0，得m>－7，A 选项正确；
圆x2＋y2＝2 的圆心为(0,0)，半径为，
因为圆心到直线l 的距离为＝，
所以圆x2＋y2＝2 上有且仅有3 个点到直线l：x－y＋1＝0 的距离等于，B 选项错误；
C1的圆心为(1,2)，半径为3；C2的圆心为(－1，－1)，半径为2，
所以圆心距为＝≠3＋2，C 选项错误；
圆x2＋y2＋2x＝0 的圆心为A(－1,0)，半径为1，
表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，
当直线BC 与圆A 相切时，如图所示，
AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝，
结合对称性可知的取值范围是，D 选项正确．
12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4 上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(m－1)y＋－3m
＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C 的圆心到直线l 距离的最大值为
C．点P 到直线4x＋3y＋16＝0 距离的最小值为2
D．点P 可能在圆x2＋y2＝1 上
答案 ACD
解析 对于A 选项，因为直线l 的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.
令解得
所以直线l 过定点Q(0，)，
直线l 是过点Q 的所有直线中除去直线x＋y－3＝0 外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0 的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0 与圆C 相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4 上，所以直线l 与C 至少有一个公共点，
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所以直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种，A 正确；
对于B 选项，当直线l 为圆C 的切线时，点C 到直线l 的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C 选项，因为圆心C 到直线4x＋3y＋16＝0 的距离d＝＝4，
所以圆C 上的点P 到直线4x＋3y＋16＝0 距离的最小值为4－2＝2，C 正确；
对于D 选项，圆x2＋y2＝1 的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C 与圆O 内切，故点P 可能在圆x2＋y2＝1 上，D 正确．
三、填空题
13．若直线l1：3x＋y＋m＝0 与直线l2：mx－y－7＝0 平行，则直线l1 与l2 之间的距离为
________．
答案
解析 由题设得m＋3＝0，即m＝－3，
所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，
所以直线l1与l2之间的距离为＝.
14．过点P(2,2)的直线l1与圆(x－1)2＋y2＝1 相切，则直线l1的方程为________________．
答案 3x－4y＋2＝0 或x＝2
解析 当过点P(2,2)的直线l1斜率不存在时，l1的方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1 相切，满
足题意；
当过点P(2,2)的直线l1斜率存在时，
设l1的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，
∴圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心到l1的距离d＝＝1，解得k＝，
∴l1：x－y＋＝0，即3x－4y＋2＝0，
综上，直线l1的方程为3x－4y＋2＝0 或x＝2.
15．与直线x－y－4＝0 和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2 都相切的半径最小的圆的方程是
________________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2 的圆心坐标为(－1,1)，半径为，
过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0 垂直的直线方程为x＋y＝0，
则所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0 的距离为＝3，
则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0 上，
所以＝，且a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3 不符合题意，舍去)，
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故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
16．(2023·大理模拟)设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0 与直线l2：x＋my－3m－1＝0 相
交于点P，点Q 是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．
答案
解析 由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，
∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，又l1⊥l2，
∴P 点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，
∴P 点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2 与圆C 的圆心距d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d 减去两圆半径之和，
即|PQ|min＝3－2＝.
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