文档文本内容
1
10.2 复数的运算
课程标准
学习目标
（1）掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进
行复数的加减运算；
（2）理解复数加减法运算的几何意义，并能应
用其解决相关的问题；
（3）理解复数的乘、除运算法则，会进行复数
的乘除运算；
（4）掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能
应用周期性进行化简与计算；
（5）会在复数范围内求解实系数一元二次方程.
（1）掌握复数的加减法法则，并能灵活应用，
重点提升数学运算核心素养；
（2）理解复数加减法的几何意义，重点培养直
观想象核心素养；
（3）通过学习复数的乘法和除法，培养数学运
算核心素养；
（4）通过学习复数乘法运算所满足的运算律，
培养数学抽象核心素养.
2
知识点01 复数的加法
1、复数的加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、复数加法的运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】（23-24 高一下·福建宁德·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得：
.故选：B
知识点02 复数的减法
1、复数的相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi 叫做a＋bi 的相反数．
2、复数的减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
【即学即练2】（23-24 高一下·贵州毕节·月考）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，
，则
.故选：A.
知识点03 复数加法与减法的几何意义
1、复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量⃗O Z1=( x1，y1)，⃗O Z2=( x2，y2)，
如图1，且⃗O Z1和⃗O Z2不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ 所对应的向量⃗OZ =⃗O Z1+⃗O Z2，
3
而⃗O Z1+⃗O Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数减法的几何意义：复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数z1−z2与向量⃗O Z1−⃗O Z2等于⃗Z2Z1）对应，这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数
的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【即学即练3】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）复数
与
分别表示向量
与
，则表示向
量
的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】复数
与
分别表示向量
与
，
因为
，所以表示向量
的复数为
.故选：C.
知识点04 复数的乘法
1、复数乘法的运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋
bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方
（1）复数乘方的定义：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数
幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z 和自然数m、n 有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
（2）虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
4
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
【即学即练4】（23-24 高一下·福建宁德·期中）已知复数
，则复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由复数的运算可得
.故选：B
知识点05 复数的除法
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
(a+bi)÷(c +d i)= a+bi
c +d i = (a+bi)(c−d i)
(c +d i)(c−d i) = (ac +bd)(bc−ad)i
c
2+d
2
= ac +bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
【即学即练5】（23-24 高一下·广东梅州·期中）复数
的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1
B．1，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】
，所以数
的实部和虚部分别是1,1，故选：A.
知识点06 复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x = −b±√b
2−4 ac
2a
②当∆<0时，x = −b±√−(b
2−4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
5
【即学即练6】（23-24 高一下·福建南平·期中）方程
在复数范围内的解是 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
所以
，即
，
则解集为
.
【题型一：复数的加、减法运算】
例1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）计算（1）
；（2）
；（3）
【答案】（1）13；（2）
（3）
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
.
变式1-1．（23-24 高一下·浙江绍兴·月考）已知
，则复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
所以复数在复平面对应的点为
，位于第三象限．故选：C
6
变式1-2．（23-24 高一下·河南郑州·月考）复数
，
，
为实数，若
为实数，
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为实数，所以
，即
，
又
为纯虚数，所以
，即
且
，
综上可知
，所以
.故选：A.
变式1-3．（22-23 高一下·河北张家口·月考）已知复数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由题意得
，所以
.
【方法技巧与总结】
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）。两个复数相减，也可以看成
是加上这个复数的相反数。当多个读书相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相
加（减）.
【题型二：复数加、减法几何意义应用】
例2．（22-23 高一下·江苏苏州·月考）已知复平面内平行四边形ABCD，A 点对应的复数为
，向量
对应的复数为
，向量
对应的复数为
，求：
（1）点D 对应的复数；
（2）平行四边形ABCD 的面积．
【答案】（1）5；（2）7
【解析】（1）
向量
对应的复数为
,所以向量
，
7
对应的复数为
,所以向量
，
，
，
，
点
对应的复数为5 .
（2）
，
，
，
，
.
故平行四边形
面积为7.
变式2-1．（22-23 高一下·江苏常州·期末）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在复平面中，设
分别与向量
对应，
由题意可得
，
，
因为
，
即
，解得
，即
.故选：B.
变式2-2．（2023·全国·三模）已知复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
的最大值为
．故选：B
变式2-3．（22-23 高一下·浙江台州·期中）已知复数z 满足
，则
的取值范围为 ．
【答案】
8
【解析】
表示对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和
之间的距离，
的取值范围转化为点
到圆心的距离加上半径可得最大值，
减去半径可得最小值，
所以最大距离为
，最小距离为
，
所以
的取值范围为
.
【方法技巧与总结】
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
（1）技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形：
对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中。
(2）常见结论：在复平面内，
，
对应的点分别为
，
，
对应的点为
，
为坐标原点，则
四边形
：
①为平行四边形；
②若
，则四边形
为矩形；
③若
，则四边形
为菱形；
④若
，且
，则四边形
为正方形，
【题型三：复数的乘、除法运算】
例3．（23-24 高一下·河南封丘·月考）若复数满足
，则
（ ）．
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
所以
，故选：C．
9
变式3-1．（23-24 高一下·广东梅州·期中）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因为复数
，
所以对应的点为
，位于第二象限．故选:B．
变式3-2．（23-24 高一下·福建厦门·月考）若复数满足
，则
（ ）
A．-2
B．0
C．
D．2
【答案】D
【解析】由题复数
，所以
，
所以
，故选：D.
变式3-3．（23-24 高一下·四川宜宾·月考）计算：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
【方法技巧与总结】
解决复数乘、除法运算问题的思路：
1、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将
换成
，并将实部、虚部分别合并. 多
项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有
，
，
.
10
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，
即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算。
【题型四：复数的乘方运算】
例4．（23-24 高一下·安徽安庆·月考）已知复数满足
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题
，所以
，所以
.故选：D
变式4-1．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，
，
，
，
故
是一个周期数列，最小正周期为4，
且
，
则
.故选：B.
变式4-2．（23-24 高一下·福建福州·期中）（多选）设复数
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，
，则
，A 正确；
对于B，由选项A 知，
，而
，B 错误；
11
对于C，
，则
，
，C 错误；
对于D，
，
，D 正确.故选：AD
变式4-3．（23-24 高一下·河南·期中）已知为虚数，且
.
（1）求的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，由于为虚数，故
，
所以
，故
，
所以
，所以
.
（2）
，
由于
，所以
，故
.
【方法技巧与总结】
复数的乘方运算中，要用到i 的乘方，注意i 的幂的周期性，及常用结论
【题型五：共轭复数综合问题】
例5．（23-24 高二下·浙江·月考）（多选）设
，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
可知
.
，故A 正确；
，故B 错误；
12
，故C 正确；
，故D 正确.故选：ACD.
变式5-1．（2024·重庆·模拟预测）已知复数z 满足
，则复数z 在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】设
R)，则
，
由
，得
，即
，
所以
，解得
，故
，
所以复数z 在复平面内对应的点为
，位于第二象限.故选：B
变式5-2．（23-24 高一下·广东广州·期中）（多选）已知非零复数
，
，其共轭复数分别为
，
，则
下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】设复数
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，
，
与
不一定相等，C 错误；
对于D，令
，则
，D 错误.故选：AB
变式5-3．（23-24 高一下·安徽安庆·月考）已知
都是复数，其共轭复数分别为
，则下列说法错误
的是（ ）
A．
B．
13
C．若
，则
D．
【答案】C
【解析】对于A，设
，
则
，而
，故
，故A
正确；
对于B，
，
则
，
又
，所以
，故B 正确；
对于C，令
，则
，所以
，
但是
，故C 错误；
对于D，
，又
，
所以
，故D 正确.故选：C
【方法技巧与总结】
共轭复数问题的求解技巧：
1、若复数
的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出
，再进行复数的四则运算。
2、已知关于
和
的方程，而复数
的代数形式位置，求解
.解决此类问题的常规思路是：设
，则
，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。
【题型六：复数范围内的解方程问题】
例6．（2024 高一下·上海·专题练习）复数范围内解下列方程
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】（1）由
，得
，
14
则
，解得
，即
所以原方程的解是
.
（2）由
，得
，
即
，解得
或
，即
或
，
所以原方程的解是
或
变式6-1．（23-24 高一下·河北邯郸·月考）已知
是关于
的实系数一元二次方程
的一个
根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】因为
是关于
的实系数一元二次方程
的一个根，
所以
，整理得到:
即
，故选：D.
变式6-2．（23-24 高一下·重庆长寿·月考）若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，
设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是关于
的实系数方程
的一个复数根，
则另一个复数根为
，
所以
，即
，解得
，
所以
.故选：D
变式6-3．（23-24 高一下·广东深圳·期中）（多选）已知关于
的方程
的两根为
15
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】关于
的方程
，则
，
，
不妨设
，
，
，故A 正确；
由韦达定理可得
，故B 正确；
，故C 正确；
，
，
则
，当
时，
，此时
，故D 错误．故选：ABC．
【方法技巧与总结】
复数范围内的解方程问题的一般思路是一句题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解。
对于实数系一元二次方程，也可以利用求根公式求解。此外根与系数的关系也是成立的。注意求复系数一
元二次方程中参数的取值问题时，不要盲目利用判别式求解。
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏南通·月考）若复数
，则
（ ）
A．5
B．
C．10
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.故选：B.
2．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）复数
的共轭复数为（ ）
16
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，所以
共轭复数为
.故选：A.
3．（23-24 高一下·贵州贵阳·月考）
则的虚部是（ ）
A．-2
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
所以复数的虚部为
，故选：A.
4．（23-24 高一下·山东青岛·月考）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】由
，得：
，
所以：
，即：
，故C 项正确.故选：C.
5．（22-23 高一下·天津·期末）在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，则
复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因复数
，
对应的向量分别是
，
，则
，
，
于是得
，所以复数
对应的点
位于第二象限.故选：B
6．（23-24 高一下·江苏南通·月考）已知
，则集合
中
元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】∵
，
∴
，
17
∴集合
中元素的个数为2 个.故选：B
7．（22-23 高一下·重庆·月考）设复数
，
满足
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，
因为
，所以
，
，
因为
，
，
因为
，所以
，
即
，即
，
所以
，
所以
因此，
.故选：C.
8．（22-23 高一下·河北保定·期中）已知复数
是关于
的方程
（
，
）的一个
根，若复平面内满足
的点
的集合为图形
，则
围成的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
是关于
的方程
（
，
）的一个根，
∴
（
，
），化简得
，
∴
，解得
，∴
，
如图所示复平面内，复数和
表示的点为
和
，表示的向量为
和
，
则由复数减法的几何意义，复数
表示的向量为
，
若
，则
，
18
∴点
的集合图形
是以
为圆心，半径为的圆，
∴
围成的面积为
.故选：A.
二、多选题
9．（23-24 高一下·山东枣庄·期中）已知复数z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为复数z 在复平面内对应的点为
，所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，
，
所以
，故D 正确.故选：ACD.
10．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）已知
，
是关于
的方程
的两根，其中
，
．
若
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】A/B：由题意可得
，即
，
所以
，故
，故A、B 正确；
C：利用AB 解析可得
，故C 错误；
D：利用AB 解析由
可得
，
所以
，而
，故D 错误；故选：AB.
19
11．（23-24 高一下·广东东莞·月考）设
为复数，则下列说法一定成立的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【答案】BCD
【解析】设
，
对于选项A：例如
，则
，可知
，即
，故A 错误；
对于选项B：若
，
可得
，解得
，即
，故B 正确；
对于选项C：设
，
若
同向，可知
，即
；
若
不共线，可知
，
即
；综上所述：
，故C 正确；
对于选项D：
，
，
所以
，故D 正确；故选：BCD.
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南昆明·月考）复数
，则
.
【答案】
【解析】由题意得
，故
，
可得
，则
，
13．（23-24 高一下·湖南常德·月考）i 表示虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
，
20
，
14．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）已知复数
，其中
且
，则
的最小值
是 .
【答案】
【解析】因
，
，
因
，则
，
，
故当
时，
取得最小值2，此时
的最小值为
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·重庆·月考）计算：
（1）
； （2）
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
.
（2）
.
16．（23-24 高一下·广西南宁·月考）回答下列问题
（1）已知复数
是方程
的根（是虚数单位，
），求
．
（2）已知复数
，设复数
，（
是的共轭复数），且复数
所对应的点在第三象限，
求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为复数
是方程
的根，
所以
，整理得
，
所以
，解得
，
所以
，
.
（2）因为
，
所以
，
又因为复数
所对应的点在第三象限，
21
所以
，解得
.
17．（23-24 高一下·福建三明·月考）已知复数
.
（1）求；
（2）在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求
的大小.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由已知得
，
，
又
所以
（2）依题意向量
，
于是有
，
，
，
因为
为
与
的夹角，所以
，
因为
，所以
18．（23-24 高一下·山东·月考）已知复数
，其中
是实数.
（1）若
，求
的值；
（2）若
是实数，求
的值；
（3）若复数
在复平面内对应的点在第二象限，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，
，所以
，解得
，所以实数
的值为
.
22
（2）
，
因为
是实数，所以
，解得
；
（3）
，
所以复数
在复平面内对应的点的坐标为
，
由已知得
，解得
，
所以
，所以
的取值范围为
.
19．（23-24 高一下·陕西西安·月考）已知
（为虚数单位）.
（1）求
；
（2）求
；
（3）类比
，探究
的性质.
【答案】（1）；（2）
；（3）
【解析】（1）因为
，
∴
，
，
，
.
（2）由（1）知
，
，
（3）由（1）知
，
，
所以
.
