文档文本内容
1
第02 讲 随机变量及其分布列
课程标准
学习目标
1．理解随机现象以及随机变量的概念；
2．掌握离散型随机变量的分布列的概念，
会求简单的分布列．
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义，会用离散
型随机变量描述随机现象．
2.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念
与性质.
3.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.
4.理解两点分布，并能简单的运用．
知识点01 随机变量
1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω 中的每一个样本点，变量X 都对应有
唯一确定的实数值，就称X 为随机变量．
2．表示：随机变量常用大写字母X，Y，…或小写希腊字母ξ，η，ζ…表示．
【解读】在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件．
一般地，如果X 是一个随机变量，a，b 都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b 等都表示事件，而且：
(1)当a≠b 时，事件X＝a 与X＝b 互斥；
(2)事件X≤a 与X>a 相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间．
2
【即学即练1】(多选)下列说法正确的是( )
A．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个
B．在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量
C．随机变量是用来表示不同试验结果的量
D．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6 个取值
知识点02 离散型随机变量
1．定义：取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量．
【解读】（1）离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如
取值为1，2，…，n，…
（2）离散型随机变量的特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其可能出现的所有值；
③试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出．
2．连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以
在某个实数范围内连续取值.
【即学即练2】(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A．某宾馆每天入住的旅客数量是X
B．某人在车站等出租车的时间
C．一个沿直线y＝x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y 是一个随机变量
D．某网站未来1 小时内的点击量
知识点03 随机变量之间的关系
一般地，如果X 是一个随机变量，a，b 都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b 也是一个随机变量．由于X＝t
的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).
知识点04 离散型随机变量的分布列
1．定义：一般地，当离散型随机变量X 的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，
2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称随机变量X 的概率分布是已知的．离散型随机变量X 的概
率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X 的概率分布或分布列．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
2．分布列的图形直观表示：
3
【解读】
(1)离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机
变量的分布列多是表格表示；
(2)由离散型随机变量的分布列能一目了然地看出随机变量X 的取值范围及取这些值的概率，可以全面
了解随机变量X 在随机试验中取值的概率分布情况，是进一步研究随机变量数字特征的基础．
3．性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1
【解读】
(1)pi表示的是事件X＝xi发生的概率，因此每一个pi都是非负数；
(2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1
＋p2＋…＋pn应该等于1；
另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
【即学即练3】下列表中能成为随机变量X 的分布列的是( )
知识点05 两点分布
定义：一般地，如果随机变量的分布列能写成如下形式(其中0<p<1)：
4
W
1
0
P
p
1－p
则称这个随机变量服从参数为p 的两点分布(或0－1 分布).
【解读】
(1)两点分布中，随机试验X 的取值只有两个可能性：0 或1，且其概率之和为1；
(2)由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利
分布，两点分布中的p 也常被称为成功概率．
【即学即练4】下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量
C．从装有5 个红球，3 个白球的袋中取1 个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量
题型01 随机变量的概念
【典例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2023 年5 月1 日的旅客数量；
(2)2023 年5 月1 日至10 月1 日期间所查酒驾的人数；
(3)2023 年6 月1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【变式1】下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．一标准大气压下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
【变式2】10 件产品中有3 件次品，从中任取2 件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型02 离散型随机变量的判定
【典例2】（23-24 高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（
）
①某食堂在中午半小时内进的人数
； ②某元件的测量误差
；
③小明在一天中浏览网页的时间
； ④高一2 班参加运动会的人数
；
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
5
【变式1】（23-24 高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数
；
②一个沿
轴进行随机运动的质点，它在
轴上的位置
；
③某派出所一天内接到的报警电话次数
；
④某同学上学路上离开家的距离
．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（23-24 高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列四个命题正确的是（ ）
A．某次数学期中考试前，其中一个考场30 名考生中做对选择题第12 题的人数是随机变量
B．黄河每年的最大流量是随机变量
C．某体育馆共有6 个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D．方程
根的个数是随机变量
【变式3】（23-24 高二下·江苏·课后作业）（多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（
）
A．一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数
B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D．某高中每年参加高考的人数
题型03 对离散型随机变量的理解
【典例3】抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4 表示的随机试验的结果是( )
A．一颗是3 点，一颗是1 点
B．两颗都是2 点
C．两颗都是4 点
D．一颗是3 点，一颗是1 点或两颗都是2 点
【变式1】某人进行射击，共有5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}
表示的试验结果是( )
A．第5 次击中目标
B．第5 次未击中目标
C．前4 次均未击中目标
D．第4 次击中目标
【变式2】抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可
能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
5．袋中装有10 个红球，5 个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，
直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5 个红球”的事件为( )
6
A．X＝4
B．X＝5
C．X＝6
D．X≤4
【变式3】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2 分，回答不正确倒扣1
分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ 的所有可能取值构成的集合是________．
题型04 分布列的性质的应用
【典例4】（23-24 高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X 的分布列如表所示，则
（ ）
X
1
2
P
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量
的分布列，则常数
的值是（ ）
0
1
2
0.36
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【变式2】（23-24 高二下·陕西西安·期末）设随机变量
的分布列为
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【变式3】（23-24 高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量
的分布列如下（
为常数）：
0
1
2
0.3
则
（ ）
A．0.6
B．0.7
C．0.9
D．1.2
【变式4】（23-24 高二下·贵州遵义·期末）某一射手射击所得环数
的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
则
（ ）．
A．0.58
B．0.5
C．0.29
D．0.21
7
题型05 求离散型随机变量的分布列
【典例5】（23-24 高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各
个（除颜
色外完全相同），现从中任取个球
（1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率；
（2）设
表示取出的个球中红色球的个数，求
的分布列．
【变式1】（23-24 高二下·重庆·月考）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C 三
个等级，其中A 等级得3 分、B 等级得2 分、C 等级得1 分.甲在笔试中获得A 等级、B 等级、C 等级的概率
分别为
，
，
，在面试中获得A 等级、B 等级、C 等级的概率分别为
，
，
，甲笔试的结果和面
试的结果相互独立.
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A 等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和X 的分布列与期望.
【变式2】（23-24 高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT 是OpenAI 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能
技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答
可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT 对某一类问题进行测试时
发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为
；如果出现语法错误，它回答正确的概率
为
.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为
，且每次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互
独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT 各自从给定的
个问题中随机抽取个作
答，已知在这
个问题中，小张能正确作答其中的个.
（1）在小张和ChatGPT 的这次挑战中，求小张答对的题数
的分布列；
（2）给ChatGPT 输入一个问题，求该问题能被ChatGPT 回答正确的概率；
【变式3】（23-24 高二下·甘肃兰州·月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育
发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，
扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次
参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人
中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有支教经验．
（1）求5 名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数
的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
题型06 两点分布
【典例6】（23-24 高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量
服从两点分布，若
，则
（ ）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
【变式1】（23-24 高二下·全国·单元测试）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（
）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
8
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5 个红球､3 个白球的袋中任取1 个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【变式2】一个袋子中装有7 个大小形状完全相同的小球，其中红球3 个，编号为1，2，3；黑球3 个，编
号为1，2，3；白球1 个，编号为1.从袋子中随机取出3 个球，记其中白球的个数为ξ，求ξ 的分布列．
解析： 由题意知，ξ 的取值范围是{0，1}，故ξ 服从两点分布．且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝
0)＝1－＝.故ξ 的分布列为
ξ
0
1
P
【变式3】（23-24 高二下·全国·课堂例题）从装有个白球和
个红球的口袋中任取个球，用
表示
“取到的白球个数”，则
的取值为或，即
，求随机变量
的概率分布．
题型07 两个相关离散型随机变量的分布列
【典例7】已知离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1 的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
【变式1】（23-24 高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，那么
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
【变式2】（23-24 高二下·江苏南京·月考）已知离散型随机变量X 的概率分布如表，离散型随机变量Y 满
足
，则
（ ）
X
0
1
2
3
P
a
5
a
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知X 的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
P
m
试求：
9
(1)|2X－3|的分布列；
(2)X2－1 的分布列．
一、单选题
1．（23-24 高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2．（20-21 高二·全国·课后作业）一个袋中有4 个白球和3 个红球，从中任取2 个，则随机变量可能为（
）
A．所取球的个数
B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数
D．袋中球的总数
3．（23-24 高二下·黑龙江绥化·期中）已知随机变量
的分布列为
5
10
15
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·期中）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得
分，回答不正确得
分，则选手甲回答这三个问题的总得分
的所有可能取值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（23-24 高二下·浙江·期中）随机变量
的分布列如下表，其中
，
，成等差数列
2
4
6
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
6．（23-24 高二下·河北邢台·期末）随机变量
的分布列如下：其中
，则
等于（ ）
0
1
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高二下·新疆·期中）已知X 服从两点分布，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二下·浙江台州·期中）已知随机变量
的分布列为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高二下·全国·课后作业）（多选）水果篮中有8 个水果，其中有2 个是石榴，现从水果篮中随机
地抽取3 个，那么概率是
的事件为（ ）
A．恰有1 个不是石榴
B．3 个全不是石榴
C．恰有2 个石榴
D．至少2 个不是石榴
10．（23-24 高二下·广西河池·阶段练习）已知随机变量
的分布列如下表：
-1
0
1
2
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量
的分布列为
，其中
是常数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11
三、填空题
12．（23-24 高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量ξ 的分布如下：则实数a 的值为 .
ξ
1
2
3
P
13．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）若随机变量
的分布列为
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当
时，实数
的取值范围是 .
14．（23-24 高二下·福建泉州·阶段练习）某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优
化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量
，且优秀、良好、合格、不合
格四个等级分别对应
的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数
量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验
质量，则
．
四、解答题
15．（23-24 高二上·全国·课后作业）设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求随机变量
的分布列．
16．（23-24 高二下·山东枣庄·期中）在一个不透明的袋子里装有3 个黑球，2 个红球，1 个白球，从中任意
取出2 个球，然后再放入1 个红球和1 个白球．
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2 的概率；
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量
，求
的分布列．
17．（2024·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4 件作检验，
这4 件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产
品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，
这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为
，且各件产品是否为优质品相互独
立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记
为X(单位:元)，求X 的分布列．
12
18．（23-24 高二下·河南·期中）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一
个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3 的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X 的分布列.
19．（23-24 高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确
各得10 分，回答不正确得0 分，第三个问题回答正确得20 分，回答不正确得
分．已知这位同学回答
前两个问题正确的概率都是
，回答第三个问题正确的概率为
，且各题回答正确与否相互之间没有影响，
若回答这三个问题的总分不低于10 分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分
的分布列．
