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第05 讲 指数函数与对数函数的关系
课程标准
学习目标
1．知道对数函数y＝logax 与指数函数y＝ax
互为反函数(a＞0 且a≠1)
2．能利用反函数与原函数图像、单调性等
性质的关系解决相关的问题．
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为
反函数，了解它们的图像间的对称关系．
2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．
3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问
题．
知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函
数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x 表示，
因变量仍用y 表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x 与y，然后从x＝f(y)中求
出y 得到．
【即学即练1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（ ）
①
；②
；③
；④
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
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知识点02 反函数的性质
一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．则
(1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．
(2)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x 对称．
(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．
【即学即练2】函数y＝log3 x 的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)
D．(0,1)
知识点03 求反函数的步骤
(1)求值域：由函数y＝f(x)求y 的范围．
(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x 不唯一，要根据条件中x 的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y 互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值
域来求．
【即学即练3】函数y＝x＋3 的反函数为__________．
知识点04 指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax 互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax 的图像关于直线y ＝
x 对称．
【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax 的图像只能是( )
A B C D
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝x2－2x.
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【变式2】若函数
在
上存在反函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】设
是定义在
上的奇函数，当
时，
，若
存在反函数，
则
的取值范围是 ．
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)y＝－2；(2)y＝－2x2＋4x，x (1
∈
，＋∞)．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24 高一上·广东茂名·期末）若指数函数
经过点
，则它的反函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·辽宁大连·期末）函数y
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数y = f (x)的反函数为
，则y = f (x)的解析式
为 ．
【变式3】（23-24 高一上·山西太原·期末）已知函数
与
互为反函数，则
.
【变式4】（23-24 高一上·上海·期末）函数
的反函数为 .
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题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24 高一上·辽宁·期末）函数
（
且
）的反函数过定点 ．
【变式1】（22-23 高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数
的图象过点
，其反函数的图象
过点
，则
的表达式是 .
【变式2】已知函数y = f (x)存在反函数y = f
−1(x)．若函数y = f (x)+2的图像经过点（1，1），则函数
y = f
−1(x)−2的图像必经过点______．
【变式3】已知函数f
−1(x)为函数f (x)的反函数，且函数f (x−1)的图象经过点(1,1)，则函数f
−1(x)的图象
一定经过点___________.
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25 高一上·上海·随堂练习）如果直线
与直线
关于直线
对称，那么
a、b 的值分别是 、 ．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f ( x)的图象与y =e
x的图象关于直线y = x对称，若f (m)=−1
，则m的值是（ ）
A．−e
B．−1
e
C．e
D．1
e
【变式2】已知函数
的图象关于直线
对称，则实数m 的值为
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25 高一上·全国·课前预习）函数
的反函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
，
的反函数的定义域是（ ）．
A．
B．
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C．
D．
【变式2】函数
的反函数
的定义域为 ．
【变式3】函数
与函数
互为反函数，若
且
，则函数
的定义域为（
）
A．
B．R C．
D．
【变式4】（多选）已知函数
和
，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线
对称
题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数
，则它的反函数
的大致图
像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2023·高一课时练习）函数
的图像经过第二、第三象限，则
的图像经过（
）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【变式2】（23-24 高一上·福建泉州·期末）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，
则
的大致图象是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·天津和平·阶段练习）如果直线
与直线
关于直线
对称，
那么
，
的值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24 高一上·辽宁丹东·期末）已知函数
与
的图象关于直线
对称，且
，则函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对
称，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若函数
，函数
与函数
图象关于
对称，则
的单调减区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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题型08 反函数与零点问题
【典例8】（23-24 高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程
与
的根分别为
，则下列
说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·北京·阶段练习）若
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．1
B．2023
C．
D．4046
【变式2】（23-24 高一上·广东·阶段练习）若
，
分别是方程
，
的根，
则
（ ）
A．
B．2023
C．
D．4046
【变式3】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
和
的图象与直线
交点
的横坐标分别
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】 已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0．
(1)求a 的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k (0
∈
，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【变式1】已知指数函数
的反函数为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)已知函数
，求不等式
的解集．
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【变式2】设函数
（其中a>0且
）．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，
，如果当
时，
恒成立，求a 的取值
范围．
【变式3】已知
，
(1)求
的反函数
；
(2)已知
，若
，使得
，求
的最大值．
一、单选题
1．下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数
是与函数
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线
对称
3．若函数
是函数
（
且
）的反函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的反函数为
，则
的图像为（ ）
A．
B．
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C．
D．
5．已知函数
过点
，若
的反函数为
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的反函数的解析表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
的反函数为
，则必有（ ）
A．
，
为任意实数；
B．
，
为任意实数；
C．
，
；
D．
，
或
，
为任意实数．
8．已知函数
的反函数图像的对称中心是
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．设
且
，函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
与
在各自的定义域内有相同的单调性
B．
与
两者的图象关于直线
对称
C．
与
两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．
与
有相同的定义域和值域
10．设
分别是方程
与
的实数解，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，令
，则关于
函数
说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于原点对称
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
的最小值为
D．函数
在
上为减函数
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三、填空题
12．已知函数
是函数
的反函数，则
过定点 .
13．已知函数
，
，则
.
14．定义在
上的函数
不存在反函数，则实数
的取值范围是 .
四、解答题
15．函数
与
互为反函数，若
（x<0）．求函数
的解析式，定义域，值域．
16．已知
(1)求
，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知
为
的反函数，解不等式
．
17．已知
(1)求
的反函数；
(2)若
，求a 的值.
(3)如何作出满足（2）中条件的
的图像
18．我们知道
与
（
且
）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线
对称；②
的定义域是
的值域，
的值域是
的定义域，反之亦然；③若点
在函数
的图象上，则点
一定在函数
的图象上.
(1)若函数
与
互为反函数，求实数a，b 的值；
(2)运用（1）题中得到的函数
，若对
，使得
成
立，求实数a 的取值范围.
19．已知函数
，且y = f (x)的反函数为y = g(x).
(1)求
的值；
(2)若函数
，问：ℎ(x)是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实
数
的取值范围：若不存在，请说明理由
