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5.3.2 等比数列的前n 项和
课程标准
学习目标
（1）探索并掌握等比数列的前
项和公式；
（2）掌握等比数列前
项和的性质的应用；
（3）能运用等比数列的前
项和公式解决一些简
单的实际问题。
（1）在推导等比数列前
项和公式的过程中达
成逻辑推理、数学抽象的核心素养；
（2）在运用等比数列前
项和公式的过程中提
升数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养；
（3）等比数列前
项和的性质。
知识点01 等比数列的前n 项和公式
已知量
首项
与公比
首项
，末项
与公比
公式
【即学即练1】（2023·贵州贵阳·高二统考期末）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．12 或3 B．1 或
C．12 D．
知识点02 等比数列前n 项和的函数特征
1、
与
的关系
（1）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，它可以变形为
，
设
，则上式可以写成
的形式，由此可见，数列
的图象是函数
图
象上的一群孤立的点；
（2）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，则数列
的图象是函数
图象上的
一群孤立的点。
（3）若一个非常数列
的前n 项和
，则数列
为等比数列。
2、
与
的关系
当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，它可以变形为
设
，
，则上式可写成
的形式，则
是
的一次函数。
【即学即练2】（2023·浙江绍兴·高二统考期末）已知等比数列
的前
项和为
，则点列
在同一坐标平面内不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 等比数列前n 项和的性质
1、运算性质：
2、奇偶项性质：等比数列
中，若项数为
，则
；若项数为
，则
.
3、片段和性质：若等比数列
的前n 项和为
，则
，
，
…成等比数列（其中
，
，
…均不为0）．
【即学即练3】（2023·高二课前预习）（1）在等比数列
中，已知
，求
；
（2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为
，偶数项的和为
，求此数列的公比和
项数.
【题型一：等比数列前n 项和的基本量】
例1．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知数列
的前
项和为
，且
，
，则
（
）
A．
B．
C．1 D．3
变式1-1．（2024·河北张家口·高二统考期末）已知等比数列
的各项均为正数，
是数列
的前
项
和，若
，则
（ ）
A．8 B．128 C．32 D．64
变式1-2．（2024·黑龙江哈尔滨·高二兆麟中学校联考期末）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．48 B．81 C．93 D．243
变式1-3．（2024·贵州六盘水·高二统考期末）已知等比数列
的前
项和为
，数列
的前
项和
为
．若
，则
．
变式1-4．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
使用等比数列求和公式时注意事项：
（1）一定不要忽略
的情况；
（2）知道首项
、公比
和项数
，可以用
；知道首尾两项；
、
和
，可以
用
；
（3）在通项公式和前
项和公式中共出现了五个量：
，
，
，
，
，知道其中任意三个，可求另
外两个。
【题型二：等比数列片段和的性质】
例2．（2024·河南开封·高二校联考期末）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（
）
A．21 B．18 C．15 D．12
变式2-1．（2024·河南·高二校联考开学考试）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
变式2-2．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知
为等比数列
的前
项和，若
，则
（
）
A．3 B．6 C．9 D．12
变式2-3．（2024·江苏·高二专题练习）设等比数列
的前
项和为10，前
项和为60，则该数列的前
项和为（ ）
A．360 B．720 C．1560 D．1800
变式2-4．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在正项等比数列
中，
为其前n 项和，若
，
，则
（ ）
A．786 B．240 C．486 D．726
【方法技巧与总结】
若等比数列
的前n 项和为
，则
，
，
…成等比数列（其中
，
，
…均不为0）．
【题型三：等比数列奇数项与偶数项和】
例3．（2022·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为
2022，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．
C．4 D．2
变式3-1．（2024·云南保山·高二校考开学考试）等比数列
的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为
，偶数项之和为
，则这个等比数列的公比q＝ .
变式3-2．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列
有
项，
，所有奇数项的和为
85，所有偶数项的和为42，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式3-3．（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之
和为所有偶数项之和的
倍，前项之积为
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
变式3-4．（2023·山东威海·高三校考阶段练习）已知等比数列
的公比
，且
，则
.
【方法技巧与总结】
等比数列
中，若项数为
，则
；若项数为
，则
.
【题型四：等比数列的实际应用】
例4．（2024·河北邢台·高二博野中学校联考期末）现有一根4 米长的木头，第一天截掉它的
，以后每一
天都截掉它前一天留下的木头的
，到第
天时，共截掉了
米，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式4-1．（2023·河南洛阳·高二统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔
七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且
相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式4-2．（2024·四川泸州·高二统考期末）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行
健步不为难：次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378 里，第一
天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天才到达目的地”，则此人（ ）
A．第二天走的路程占全程的
B．第三天走的路程为24 里
C．第一天走的路程比第四天走的路程多144 里
D．第五天和第六天共走路程18 里
变式4-3．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、
B 系列C 系列，其中B 系列的幅面规格为：
，
，
，…，
，所有规格的纸张的长度（以
表示）和
幅宽（以y 表示）的比例关系都为
；将
纸张沿长度方向对开成两等分，便成为
规格；将
纸张沿长度方向对开成两等分，便成为
规格；…，如此对开至
规格．现有
，
，…，
纸各一
张，已知
纸的幅宽为1m，则
，
，…，
这8 张纸的面积之和是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-4．（2023·山东青岛·青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化
遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7 层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2 倍，共有1016 个
“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个
数列
，则
的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【方法技巧与总结】
等比数列的实际应用问题需要注意两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式
，或是求前
项和
，还是求项数
。
【题型五：分组求和法求前n 项和】
例5．（2024·河南·高二校联考期末）记数列
的前
项和为
，已知
，且
，则
（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
变式5-1．（2024·河南·高二滑县第一高级中学校联考开学考试）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（2024·广西百色·高二统考期末）已知等差数列
和正项等比数列
满足：
，
，
.
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）已知数列
满足
，求数列
的前
项和
.
变式5-3．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知等差数列
满足
，
，数列
满
足
，且
．
（1）证明：
是等比数列，并求数列
和
的通项公式：
（2）将数列
和
的公共项从小到大排成的数列记为
，求
的前
项和
．
【方法技巧与总结】
分组求和法
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
【题型六：裂项相消法求前n 项和】
例6．（2024·云南红河·高二开远市第一中学校校考开学考试）已知数列
的前
项和为
，点
在函数
的图象上．
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
．
变式6-1．（2024·四川泸州·高二统考期末）已知各项均为正数的等比数列
的前n 项和为
，若
，
，
成等差数列，且
．
（1）求
；
（2）若
，求数列
的前n 项和
．
变式6-2．（2024·广东茂名·高二统考期末）已知数列
的前
项和为
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
变式6-3．（2024·山东威海·高二统考期末）已知等比数列
的前
项和为
，公比
，
.
（1）设
，求
；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
【方法技巧与总结】
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．
常见的裂项：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
【题型七：错位相减法求前n 项和】
例7．（2024·河南·高二滑县第一高级中学校联考开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）已知
，求数列
的前
项和
.
变式7-1．（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校考开学考试）已知递增的等差数列
满足：
成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
为数列
的前
项和，
，求数列
的前
项和
.
变式7-2．（2024·陕西西安·高二校考期末）在各项都为正数的等比数列
中，
，
（1）求数列
的通项公式：
（2）记
，求数列
的前
项和
．
变式7-3．（2024·浙江绍兴·高二校联考期末）记
为等比数列
的前
项和.已知
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
，求数列
的前
项和
.
【方法技巧与总结】
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前
项和
即可用错位相减法求解．
形如
，其中
为等差数列，首项为
，公差为
;
为等比数列，首项为
，公比为
.
对数列
进行求和，首先列出
，记为①式；
再把①式中所有项同乘等比数列
的公比
，即得
，记为②式；
然后①②两式错开一位作差，从而得到
的前
项和。
注：等差数列的通项常见形式为
(其中A、B 为常数)，
等比数列通项常见的形式为
(其中A、m 为常数)
【题型八：数列与不等式综合】
例8．（2024·福建福州·高二福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）校联考期末）已知数列
的前
项
和为
，且满足
，若数列
的前
项和
满足
恒成立，则实数
的取值范围为
．
变式8-1．（2024·甘肃·高二统考期末）已知正项等比数列
的方前
项和为
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，数列
的前
项和
，求证
.
变式8-2．（2024·河北承德·高二承德县第一中学校联考开学考试）已知数列
、
满足
，
，
，
.
（1）证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）记数列
的前
项和为
，求
，并证明：
.
变式8-3．（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知数列
的前n 项和为
，满足
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【方法技巧与总结】
数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的项；而是与数列中的求和问题相
联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利
用放缩法活数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围。
一、单选题
1．（2023·山西吕梁·高二校联考阶段练习）已知
为正项等比数列
的前n 项和，若
，则
的公比
（ ）
A．3 B．2 C．
D．
2．（2024·江苏南通·高二统考期末）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．48 B．90 C．96 D．162
3．（2023·福建龙岩·高二龙岩第一中学校考阶段练习）记等比数列
的前
项和为
.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·高二单元测试）我国古代的数学名著《九章算术》中记载：“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日
自半”.其意为：今有蒲草第一日长高3 尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5 日的高度为（
）
A．
尺 B．
尺 C．
尺 D．
尺
5．（2024·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）设等比数列
的前
项和为
，若
成等
差数列，且
，则
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2024·河南新乡·高二统考期末）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（
）
A． B．
C． D．
7．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知数列
的前n 项和
满足
，（
），
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·湖南株洲·高二校考期末）已知等比数列
的前n 项和为
，其中
，则“
”是“
无最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2024·广东湛江·高二校考开学考试）已知
是首项为
，公比为q 的等比数列，
是其前n 项和，
且
，则（ ）
A．
B．
或2 C．
D．
10．（2024·河北沧州·高二校联考期末）在各项均为正数的等比数列
中，公比为q（
），前n 项和
为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
（m，
） B．
C．
是等比数列 D．
11．（2023·江苏·高二专题练习）在等比数列
中，
，
，
，若
为
的
前
项和，
为
的前
项积，则（ ）
A．
为单调递增数列 B．
C．
为
的最大项 D．
无最大项
12．（2024·福建福州·高二福州三中校考期末）已知
是公比为
的等比数列，且其前n 项和
满
足对任意
恒成立，则给出的下列结论中正确的是（ ）
A．
是递增数列 B．
时，
是递增数列
C．
是递减数列 D．
时，
是递减数列
三、填空题
13．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）设等比数列
的前n 项和为
，若
，则
．
14．（2023·高二课时练习）已知等比数列
的前
项中，所有奇数项的和为
，所有偶数项的和为
，则
的值为 ．
15．（2023·江苏·高二专题练习）已知等比数列
的各项均为正数，其前n 项和为
，若
，则
.
16．（2023·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知数列
满足
，且
，
若
，则正整数
为 .
四、解答题
17．（2024·广西·高二南宁三中校联考期末）在等比数列
中.
（1）已知
，
，求前4 项和
；
（2）已知公比
，前6 项和
，求
.
18．（2024·浙江温州·高二统考期末）已知等差数列
的前n 项和为
，且满足
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前10 项和
．
19．（2024·湖北荆门·高二统考期末）已知数列
的首项
，且满足
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）若
，求满足条件的最大整数n.
20．（2024·广东·高二校联考期末）在数列
中，
.
（1）证明：数列
为等差数列.
（2）求数列
的前
项和
.
21．（2024·河南开封·高二校联考期末）已知数列
的前
项和为
，且满足
，等差
数列
满足
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
．
22．（2024·重庆·高二重庆一中校考开学考试）记
，
分别为数列
，
的前n 项和．已知
为
等比数列，
，
，
．
（1）求
，
的通项公式；
（2）求数列
的前2n 项和．
