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4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和（作业）
[A级 基础巩固]
1．已知{a }是等比数列，a＝2，a＝，则aa＋aa＋…＋a a ＝( )
n 2 5 1 2 2 3 n n＋1
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D．(1－2－n)
解析：选C 由a＝aq3，得q3＝，
5 2
所以q＝，而数列{a a }也为等比数列，
n n＋1
首项a·a＝8，公比q2＝，
1 2
所以aa＋aa＋…＋a a
1 2 2 3 n n＋1
＝＝(1－4－n)．
2．在等比数列{a }中，a＝，其前三项的和S＝，则数列{a }的公比q＝( )
n 3 3 n
A．－ D．
C．－或1 D．或1
解析：选C 由题意，可得aq2＝，a＋aq＋aq2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1.
1 1 1 1
3．设S 为等比数列{a }的前n项和，且8a＋a＝0，则等于( )
n n 2 5
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D 设{a }的公比为q.因为8a＋a＝0.
n 2 5
所以8a＋a·q3＝0.所以a(8＋q3)＝0.
2 2 2
因为a≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
2
所以＝＝＝＝＝－11.故选D.
4．(多选)设等比数列{a }的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并且满足条件a>1，aa>1，<0.
n n n 1 7 8
则下列结论正确的是( )A．0<q<1 B．aa<1
7 9
C．T 的最大值为T D．S 的最大值为S
n 7 n 7
解析：选ABC ∵a>1，a·a>1，<0，
1 7 8
∴a>1,0<a<1，
7 8
∴0<q<1，故A正确．
aa＝a<1，故B正确；
7 9
T 是数列{T }中的最大项，故C正确；因为a>1，0<a<1，S 的最大值不是S ，故D不正确；故选A、
7 n 7 8 n 7
B、C.
5．等比数列{a }的前n项和为S ，S＝2，S ＝6，则a ＋a ＋a ＋a ＋a 等于( )
n n 5 10 16 17 18 19 20
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：选C 设等比数列{a }的公比为q，因为S －S ＝qnS ，所以S －S＝q5S，所以6－2＝2q5，所以q5
n 2n n n 10 5 5
＝2，所以a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝aq15＋aq15＋aq15＋aq15＋aq15＝q15(a ＋a ＋a ＋a ＋a)＝q15S ＝23×2＝
16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5
16.
6．等比数列{a }共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
n
解析：设{a }的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a，
n 1
偶数项之和与奇数项之和分别为S ，S ，
偶 奇
由题意S ＋S ＝3S ，
偶 奇 奇
即S ＝2S ，
偶 奇
因为数列{a }的项数为偶数，
n
所以q＝＝2.
答案：2
7．等比数列{a }中，若a＋a＋…＋a ＝150，且公比q＝2，则数列{a }的前100项和为________．
n 1 3 99 n
解析：由＝q，q＝2，得＝2⇒a ＋a ＋…＋a ＝300，则数列{a }的前100项的和S ＝(a ＋a ＋…＋a )＋
2 4 100 n 100 1 3 99
(a＋a＋…＋a )＝150＋300＝450.
2 4 100答案：450
8．已知{a }是首项为1的等比数列，S 是{a }的前n项和，且9S＝S，则数列的前5项和为________．
n n n 3 6
解析：由题意，q≠1，由9S ＝S ，得9×＝，解得q＝2，故a ＝aqn－1＝2n－1，＝n－1，∴数列是以1为首
3 6 n 1
项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
答案：
9．设等比数列{a }的前n项和为S .已知a＝6,6a＋a＝30，求a 和S .
n n 2 1 3 n n
解：设{a }的公比为q，由题设得
n
解得或
当a＝3，q＝2时，a ＝3×2n－1，S ＝3(2n －1)；
1 n n
当a＝2，q＝3时，a ＝2×3n－1，S ＝3n－1.
1 n n
10．已知等比数列{a }中，a＝，公比q＝.
n 1
(1)S 为数列{a }的前n项和，证明：S ＝；
n n n
(2)设b ＝log a＋log a＋…＋log a ，求数列{b }的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n
解：(1)证明：因为a ＝×n－1＝，
n
S ＝＝，所以S ＝.
n n
(2)b ＝log a＋log a＋…＋log a ＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{b }的通项公式为b ＝－.
n 3 1 3 2 3 n n n
[B级 综合运用]
11．(多选)设等比数列{a }的前n项和为S ，且满足a＝8a，则( )
n n 6 3
A．数列{a }的公比为2 B．数列{a }的公比为8
n n
C.＝8 D．＝9
解析：选AD 因为等比数列{a }的前n项和为S ，且满足a ＝8a ，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1
n n 6 3
＋q3＝9，故选A、D.
12．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数
是( )A．190 B．191
C．192 D．193
解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a＝192.
1 1
13．已知{a }是递减的等比数列，且a ＝2，a ＋a ＝5，则{a }的通项公式为________，aa ＋aa ＋…＋
n 2 1 3 n 1 2 2 3
a a (n∈N*)＝________.
n n＋1
解析：由a＝2，a＋a＝5，{a }是递减的等比数列，得a＝4，a＝1，a ＝4×n－1，则aa＋aa＋…＋a a
2 1 3 n 1 3 n 1 2 2 3 n n
是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故aa＋aa＋…＋a a ＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×.
＋1 1 2 2 3 n n＋1
答案：a ＝4×n－1 ×
n
14．在数列中，若a ＝求数列的前n项和．
n
解：当n＝1时，S＝a＝1.
1 1
当n≥2时，若a＝0，有a ＝
n
则S ＝1＋(n－1)＝.
n
若a＝1，有a ＝
n
则S ＝1＋(n－1)＝.
n
若a≠0且a≠1，
则S ＝1＋＋＋…＋
n
＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)
＝＋.
综上所述，S ＝
n
[C级 拓展探究]
15．设a，a，…，a 成等比数列，且S＝a＋a＋…＋a ，R＝＋＋…＋，P＝a·a·…·a .
1 2 n 1 2 n 1 2 n
求证：(1)＝a·a ；
1 n
(2)P2Rn＝Sn.
证明：本题分q≠1和q＝1两种情形进行讨论．情形1：q≠1.
(1)显然，此时S＝，
R＝＝，
P＝a·(aq)·(aq2)·…·(aqn－1)＝aq.
1 1 1 1
∴＝aqn－1＝a(aqn－1)＝aa .
1 1 1 n
(2)由(1)，得n＝(aqn－1)n＝2＝P2，
∴P2Rn＝Sn.
情形2：q＝1.
(1)显然，此时S＝na ，R＝，P＝a，
1
∴＝a＝aa .
1 n
(2)由(1)得n＝a＝P2，即P2Rn＝Sn.
故两式均成立．
综上所述，不论q是否为1，两式都成立．
