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专题 12 立体几何专题（新定义）
一、单选题
1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式 中的常数 称为“立圆率”.
对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式 求体积（在等边圆柱中，
表示底面圆的直径；在正方体中， 表示棱长，在球中， 表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱
（底面圆的直径为 ），正方体（棱长为 ），球（直径为 ）的“立圆率”分别为 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两
个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的
高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V= h
（S+4S+S'），其中S，S'分别是上､下底面的面积，S 是中截面的面积，h为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的
0 0
建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下
底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（
）
（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．63车 B．65车 C．67车 D．69车
3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，
1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 ，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．
如图，若 ，则由勾股定理， ，即 ，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥
底面是边长约为856英尺的正方形 ，顶点 的投影在底面中心 ， 为 中点，根据以上信息，
的长度（单位：英尺）约为（ ）．
A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：
多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧
度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体
（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳
直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南
北回归线之间，即 ．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为
（ ）
A．北纬 B．南纬
C．北纬 D．南纬
6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子
形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱
洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱
的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为
为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且
平面 ， ，……， 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、
正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系
是（ ）A． B．
C． D．
9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳 （ ）是一种非金属单质，它是由 个碳原子构成，
形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多
面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12 B．20 C．32 D．60
10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设 ，定义区间 、 、 、 的长
度均为 .在三棱锥 中， ， ，则 长的取值区间的长度为
A． B．2 C． D．4
二、多选题
11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，
则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为
斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 倍，已知某圆
柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜
圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的
运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和
的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体
的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以
正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．给出下列四个结论，其中，所有正确结论
的有（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为
B．任意四棱锥的总曲率均为 ；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是 ；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则该类多面体的总曲率是常数
13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算： ．规定：
① 为同时与 ， 垂直的向量；② ， ， 三个向量构成右手系（如图1）；③
．如图2，在长方体 中，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之
一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（
）
A．长方体中含有两个相同的等腰四面体
B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形
C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到
D．三组对棱长度分别为 ， ， 的“等腰四面体”的外接球直径为
三、填空题
15．（2022·高二课时练习）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α
（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个
面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有______条．16．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系 中，过点
且一个法向量为 的平面 的方程为 .用以上知识解
决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线 是两个平面 与 的交线，
试写出直线 的一个方向向量为___________，直线 与平面 所成角的余弦值为___________.
17．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也
有方程．即过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 ，
过点 且方向向量为 的直线l的方程为 ．三个“臭皮
匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面 的方程为 ，直线l是两个平面 与
的交线，则直线l与平面 所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁
知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是______．
18．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为
，点 到平面 的距离
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
19．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）两个非零向量 ， ，定义 ．若 ，，则 ___________．
20．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点
到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是
__________.
21．（2021秋·陕西西安·高一西安市第三中学校考期末） ， ， ， 为球面上四点， ， 分别是
， 的中点，以 为直径的球称为 ， 的“伴随球”，若三棱锥 的四个顶点在表面积
为 的球面上，它的两条边 ， 的长度分别为 和 ，则 ， 的伴随球的体积的取值范
围是________．
四、解答题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，定义一种运算：
，已知四棱锥 中，底面 是一个平
行四边形， ， ，
（1）试计算 的绝对值的值，并求证 面 ；
（2）求四棱锥 的体积，说明 的绝对值的值与四棱锥 体积的关系，并由
此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义.
23．（2021春·福建泉州·高一统考期末）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是
三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端
点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点
， ， ，过任意两点的大圆上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点
分别为 ， ， ，则球面 与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和 所在
平面交成的锐二面角 的大小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的锐二
面角的大小分别为 ， .记 .
（1）请写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）求 (用 ， ， ， 表示).
