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数列章末检测
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．等差数列{a }中，a＝2，a＝7，则a＝( )
n 3 5 7
A．10 B．20
C．16 D．12
解析：选D ∵{a }是等差数列，
n
∴d＝＝，∴a＝2＋4×＝12.
7
2．在数列{a }中，a＝，a ＝(－1)n·2a (n≥2)，则a 等于( )
n 1 n n－1 5
A．－ D．
C．－ D．
解析：选B ∵a＝，a ＝(－1)n·2a ，
1 n n－1
∴a＝(－1)2×2×＝，a＝(－1)3×2×＝－，
2 3
a＝(－1)4×2×＝－，
4
a＝(－1)5×2×＝.
5
3．设等比数列{a }的前n项和为S ，若S ∶S＝1∶2，则S ∶S＝( )
n n 10 5 15 5
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选A 在等比数列{a }中，S ，S －S ，S －S ，…成等比数列，因为S ∶S ＝1∶2，所以S
n 5 10 5 15 10 10 5 5
＝2S ，S ＝S，得S ∶S＝3∶4，故选A.
10 15 5 15 5
4．在等比数列{a }中，已知前n项和S ＝5n＋1＋a，则a的值为( )
n nA．－1 B．1
C．5 D．－5
解析：选D 因为S ＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和S ＝＝－·qn，可知其常数项与qn的
n n
系数互为相反数，所以a＝－5.
5．已知数列{a }满足a＝1，a ＝则254是该数列的( )
n 1 n＋1
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，a ＝2a ，则a ＝2a ＝2，当n为正偶数时，a ＝a ＋1，得a ＝3，
n＋1 n 2 1 n＋1 n 3
依次类推得a ＝6，a ＝7，a ＝14，a ＝15，…，归纳可得数列{a }的通项公式a ＝则2＋1－2＝254，n＝
4 5 6 7 n n
14，故选D.
6．已知数列{a }是等差数列，其前n项和为S ，若aaa＝15，且＋＋＝，则a＝( )
n n 1 2 3 2
A．2 D．
C．3 D．
解析：选C ∵S＝a，S＝3a，S＝5a，∴＋＋＝.∵aaa＝15，∴＝＋＋＝，∴a＝3.故选C.
1 1 3 2 5 3 1 2 3 2
7．如果数列a，a－a，a－a，…，a －a ，…是首项为1，公比为的等比数列，那么a ＝( )
1 2 1 3 2 n n－1 n
A. D．
C. D．
解析：选A 由题知a＝1，q＝，
1
则a －a ＝1×n－1.
n n－1
设数列a，a－a，…，a －a 的前n项和为S ，
1 2 1 n n－1 n
∴S ＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a －a )＝a .
n 1 2 1 3 2 n n－1 n
又∵S ＝＝，
n
∴a ＝.
n
8．若有穷数列a ，a ，…，a (n是正整数)，满足a ＝a ，a ＝a ，…，a ＝a ，即a＝a (i是正
1 2 n 1 n 2 n－1 n 1 i n－i＋1
整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b }是项数不超过2m(m＞1，m∈N*)的对称数
n列，且1,2,4，…，2m－1是数列{b }的前m项，则当m＞1 200时，数列{b }的前2 019项和S 的值不可能
n n 2 019
为( )
A．2m－2m－2 009 B．22 019－1
C．2m＋1－22m－2 019－1 D．3·2m－1－22m－2 020－1
解析：选A 若数列{b }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，当m≥2 019
n
时，
S ＝＝22 019－1，故B可能．
2 019
当1 200＜m＜2 019时，S ＝2×－＝2m＋1－22m－2 019－1，故C可能．
2 019
若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，当m≥2 019时，S ＝＝22
2 019
019－1.当1 200＜m＜2 019时，S ＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2 020－1，故D可能．故选A.
2 019
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项
是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知等比数列{a }的公比q＝－，等差数列{b }的首项b ＝12，若a>b 且a >b ，则以下结论正确
n n 1 9 9 10 10
的有( )
A．a·a <0 B．a>a
9 10 9 10
C．b >0 D．b>b
10 9 10
解析：选AD ∵等比数列{a }的公比q＝－，
n
∴a 和a 异号，∴aa ＝a<0，故A正确；
9 10 9 10
但不能确定a 和a 的大小关系，故B不正确；
9 10
∵a 和a 异号，且a>b 且a >b ，
9 10 9 9 10 10
∴b 和b 中至少有一个数是负数，
9 10
又∵b＝12>0，∴d<0，∴b>b ，故D正确；∴b 一定是负数，即b <0，故C不正确．故选A、D.
1 9 10 10 10
10．等差数列{a }的前n项和为S ，若a＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( )
n n 1
A．若S＝S，则必有S ＝0
5 9 14
B．若S＝S，则必有S 是S 中最大的项
5 9 7 nC．若S＞S，则必有S＞S
6 7 7 8
D．若S＞S，则必有S＞S
6 7 5 6
解析：选ABC ∵等差数列{a }的前n项和公式S ＝na ＋，
n n 1
若S＝S，则5a＋10d＝9a＋36d，∴2a＋13d＝0，
5 9 1 1 1
∴a＝－，∵a＞0，∴d＜0，∴a＋a ＝0，
1 1 1 14
∴S ＝7(a＋a )＝0，A对；
14 1 14
又∵S ＝na ＋＝－＋＝，由二次函数的性质知S 是S 中最大的项，B对；
n 1 7 n
若S＞S，则a＝a＋6d＜0，∴a＜－6d，
6 7 7 1 1
∵a＞0，∴d＜0，
1
∴a＝a＋5d＜－6d＋5d＝－d，a＝a＋d＜a＜0，
6 1 8 7 7
S＞S＝S＋a，C对；
7 8 7 8
由a＜－d不能确定a 的符号，所以S＞S 不一定成立，D错．故选A、B、C.
6 6 5 6
11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，
如此六日过其关”．则下列说法正确的是( )
A．此人第三天走了四十八里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
解析：选ABD 设此人第n天走a 里路，则{a }是首项为a，公比为q＝的等比数列．
n n 1
所以S＝＝＝378，
6
解得a＝192.
1
a＝aq2＝192×＝48，所以A正确，
3 1
由a＝192，则S－a＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．
1 6 1
a＝aq＝192×＝96，而S＝94.5＜96，
2 1 6所以C不正确．
a ＋a ＋a ＝a(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D
1 2 3 1
正确．
故选A、B、D.
12．若数列{a }满足：对任意正整数n，{a －a }为递减数列，则称数列{a }为“差递减数列”．给出
n n＋1 n n
下列数列{a }(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
n
A．a ＝3n B．a ＝n2＋1
n n
C．a ＝ D．a ＝ln
n n
解析：选CD 对A，若a ＝3n，则a －a ＝3(n＋1)－3n＝3，所以{a －a }不为递减数列，故A
n n＋1 n n＋1 n
错误；
对B，若a ＝n2＋1，则a －a ＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{a －a }为递增数列，故B错误；
n n＋1 n n＋1 n
对C，若a ＝，则a －a ＝－＝，所以{a －a }为递减数列，故C正确；
n n＋1 n n＋1 n
对D，若a ＝ln，则a －a ＝ln－ln＝ln·＝ln，
n n＋1 n
由函数y＝ln在(0，＋∞)递减，所以数列{a －a }为递减数列，故D正确．
n＋1 n
故选C、D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知数列{a }的通项公式为a ＝2 020－3n，则使a >0成立的最大正整数n的值为________．
n n n
解析：由a ＝2 020－3n>0，得n<＝673，
n
又∵n∈N*，∴n的最大值为673.
答案：673
14．已知{a }是等差数列，S 为其前n项和，n∈N*.若a ＝16，S ＝20，则a ＝________，S ＝
n n 3 20 n 10
________.
解析：设{a }的首项，公差分别是a，d，则
n 1
解得a＝20，d＝－2，
1∴a ＝a＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n .
n 1
S ＝10×20＋×(－2)＝110.
10
答案：22－2n 110
15．已知数列1，a，a 9是等差数列，数列1，b，b，b 9是等比数列，则＝________.
1 2, 1 2 3,
解析：因为数列1，a ，a 9是等差数列，所以a ＋a ＝1＋9＝10.因为数列1，b ，b ，b 9是等比数列，
1 2, 1 2 1 2 3,
所以b＝1×9＝9，又b＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b＝3，则＝.
2 2
答案：
16．设{a }是由正数组成的等比数列，S 为其前n项和，已知aa＝1，S＝7，则S＝________.
n n 2 4 3 5
解析：设{a }的公比为q，q>0，且a＝1，
n
∴a＝1.
3
∵S＝7，∴a＋a＋a＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a＝＝4.
3 1 2 3 1
∴S＝＝8×＝.
5
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝，数列{x }的通项由x ＝f(x )(n≥2且x∈N*)确定．
n n n－1
(1)求证：是等差数列；
(2)当x＝时，求x .
1 2 020
解：(1)证明：∵x ＝f(x )＝(n≥2且n∈N*)，
n n－1
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N*)，
∴是公差为的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝675.∴x ＝.
2 020
18．(本小题满分12分)已知等比数列{a }的前n项和为S ，a＝－1，＝.
n n 1
(1)求等比数列{a }的公比q；
n
(2)求a＋a＋…＋a.
解：(1)由＝，a ＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S ，S －S ，S －S 成等比
1 5 10 5 15 10
数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.
(2)由(1)，得a ＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…
n
＋a＝＝.
19．(本小题满分12分)在等差数列{a }中，S 为其前n项和(n∈N*)，且a＝3，S＝16.
n n 2 4
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解：(1)设等差数列{a }的公差是d，
n
由已知条件得
解得a＝1，d＝2，∴a ＝2n－1.
1 n
(2)由(1)知，a ＝2n－1，
n
∴b ＝＝
n
＝，
T ＝b＋b＋…＋b
n 1 2 n
＝
＝＝.
20．(本小题满分12分)已知等比数列{a }的前n项和为S ，a＝1，a 1，又a＝1，则a＝q，a＝q2，
n n n＋1 1 2 3因为S＝2S＋1，所以a＋a＋a＝2(a＋a)＋1，
3 2 1 2 3 1 2
则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
所以数列{a }的通项公式为a ＝2n－1(n∈N*)．
n n
(2)由(1)知，b ＝(2n－1)·a ＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，
n n
则T ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，
n
2T ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
n
两式相减，得－T ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，
n
即－T ＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，
n
化简得T ＝(2n－3)×2n＋3.
n
21．(本小题满分12分)在①a ＝，②为等差数列，其中，＋1，成等比数列，③＋＋＋…＋＝这三个
n＋1
条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．
已知数列{a }中，a＝1，________.
n 1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝a a ，T 为数列{b }的前n项和，求证：T ＜.
n n n＋1 n n n
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：若选条件①：
(1)易知a ≠0，∵a ＝，∴－＝3.
n n＋1
又＝1，
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴＝3n－2，∴a ＝.
n
(2)证明：由(1)可知，b ＝
n
＝，
∴T ＝＝＝－＜，
n故T ＜.
n
若选条件②：
(1)设数列的公差为d，则＝1＋d，＋1＝2＋2d，＝1＋5d，
∵，＋1，成等比数列，
∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3或d＝－1.
当d＝－1时，＝1＋d＝0，此时，＋1，不能构成等比数列，
∴d＝3，
∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，
∴a ＝.
n
(2)由(1)可知，b ＝＝，
n
∴T ＝＝＝－＜，
n
故T ＜.
n
若选条件③：
(1)由＋＋＋…＋＝知，
当n≥2时，＋＋＋…＋＝，
两式相减，得＝－＝3n－2，
∴a ＝(n≥2)，当n＝1时，a＝1也适合上式，
n 1
∴a ＝.
n
(2)由(1)可知，b ＝＝，
n
∴T ＝＝＝－＜，
n
故T ＜.
n
22．(本小题满分12分)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且S ＝55，S ＝210.
n n 10 20
(1)求数列{a }的通项公式；
n(2)设b ＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b，b ，b 成等比数列？若存在，请说明理由．
n 1 m k
解：(1)设等差数列{a }的公差为d，则S ＝na ＋d.
n n 1
由已知，得
即解得
所以a ＝a＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
n 1
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b，b ，b 成等比数列，则b＝bb.
1 m k 1 k
因为b ＝＝，
n
所以b＝，b ＝，b＝，
1 m k
所以2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－
