文档文本内容
1
第06 讲 幂函数
课程标准
学习目标
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
的图象，了解他们的变化情况．
3．掌握五种幂函数的性质并会应用．
1．通过幂函数概念的学习，体现数学抽象等核心素
养．
2．借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻
辑推理等核心素养．
知识点01 幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
【即学即练1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 常见幂函数的图象与性质
2
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0
，＋
∞
)
( －
∞
，
0)
∪
(0
，＋
∞
)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增；
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减；
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1
，
1)
【即学即练2】已知幂函数
的图象过
，那么
在
上的最大值为 .
知识点03 幂函数的特征
幂函数随着
的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
；
（2）
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
上是增函数．特别地，当
时，幂函
数的图象下凸；当
时，幂函数的图象上凸；
（3）
时，幂函数的图象在区间
上是减函数．在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图
象在
轴右方无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴．
【即学即练3】（2024·高一·全国·随堂练习）函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 幂函数的概念
【典例1】现有下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1】（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
是幂函数，则实数
的值为 ．
【变式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 求幂函数的解析式
【典例2】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数
为偶函数在
上单调递减，则
的解析
式可以为
写一个即可)
【变式1】若幂函数
过
点，则此函数的解析式为 .
【变式2】已知幂函数
的图象关于y 轴对称，则
．
【变式3】（23-24 高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数
的图象经过点
，求
．
【变式4】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数
满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
题型03 定义域问题
【典例3】（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数
的图象过点
，则
的定义域是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【变式1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
中，定义域是
的有 个．
【变式2】（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·高一·湖北·期中）函数
的定义域是（ ）
A．(−∞,1]
B．
C．
D．
题型04 值域问题
【典例4】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数
的值域为 .
【变式1】若幂函数
的图象过点
，则
的值域为 ．
【变式2】函数
的值域为 .
【变式3】（2024·高一·全国·课后作业）函数
，其中
，则其值域为 .
【变式4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出
的图象，并注明定
义域．
（2）求函数
的值域．
【变式5】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数
，且在区间(0,+∞)内函数
图象是上升的．
（1）求实数k 的值；
5
（2）若存在实数a，b 使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b 的值．
题型05 幂函数的图像
【典例5】幂函数y＝x2，y＝x－2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
【变式1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】数
在第一象限的图象如图所示，若
，则
．
【变式3】已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数
则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】已知幂函数
，其图像与坐标轴无交点，则实数m 的值为 ．
【变式6】已知幂函数
（
且
互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且
B．q 为偶数，p 为奇数，且
C．q 为奇数，p 为偶数，且
7
D．q 为奇数，p 为偶数，且
题型06 图像过定点问题
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数
的图象恒过定点
，若点
在一次函数
的图象上，其中
，
，则
的最小值为 .
【变式1】（2024·高一·上海徐汇·期末）当
时，函数
的图象恒过定点A，则点A 的坐标为
．
【变式2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数
取何值，函数
恒过的定点坐标是
．
【变式3】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数
取何值，函数
恒过的定点坐标是
．
题型07 利用单调性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调
递减，则满足
的
的取值范围为 ．
【变式1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数
满足条件
，则实数a
的取值范围是 .
【变式2】（2024·高一·全国·期中）若
，则实数
的取值范围为 .
8
【变式3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数
的图象过点
，若
，则
的取值范围是 .
【变式4】（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数
在
上是减函数，
.
若
，则实数
的取值范围为
题型08 比较大小问题
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数
且
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若
，
，
，则a、b、c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·高一·重庆·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数
的图象过点
是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
【变式4】函数
是幂函数，对任意
，且
，满足
，若
，且
，
，则
的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
题型09 奇偶性问题
【典例9】 已知幂函数
的图象过点
，则下列关于
的说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
的定义域为
D．
在
上单调递增
【变式1】已知幂函数
在区间(0,+ ∞)上是单调增函数，且
的图象关于y 轴
对称，则m 的值为（ ）．
A．
B．0
C．1
D．2
【变式2】函数
，若
，则实数
的范围是 ．
【变式3】已知幂函数f ( x)= x
α(α ∈R)的图象经过点
，且
，则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
题型10 幂函数性质的综合运用
【典例10】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数
为偶函数，
．
(1)求
的解析式；
10
(2)若
对于
恒成立，求
的取值范围．
【变式1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数
的图象过点
.
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式2】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知
是定义在R 上的函数，满足：
，
，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的表达式；
(3)若函数
在区间
（
）上的值域为
，求
的值．
【变式3】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数
满足：
①
在
上为增函数，
②对
，都有
，
求同时满足①②的幂函数
的解析式，并求出
时，
的值域.
题型11 与幂函数有关的新定义问题
【典例11】（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数
在
上的最大值记为
，最小值
记为
，且满足
，则称函数
是在
上的“美好函数”.
(1)函数①
；②
；③
，哪个函数是在
上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数
.
①函数
是在
上的“美好函数”，求
的值；
②当
时，函数
是在
上的“美好函数”，求的值.
【变式1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为
的函数
，如果存在区间
，同
时满足：①
在
上是单调函数；②当
时，
，则称
是该函数的“优美区
间”.
11
(1)求证：
是函数
的一个“优美区间”；
(2)求证：函数
不存在“优美区间”；
(3)已知函数
有“优美区间”
，当
取得最大值时求
的值.
一、单选题
1．（23-24 高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线；
B．幂函数
的图象都经过
和
两个点；
C．若幂函数
的图象关于原点成中心对称，则
在区间
上是严格增函数；
D．幂函数的图象不可能在第四象限．
2．（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
是幂函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
3．（23-24 高一上·福建福州·期中）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为1
C．
的最小值为1
D．
的最小值为0
5．（23-24 高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数
，
，
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12
6．（23-24 高一上·江西新余·期末）若幂函数
图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高一上·吉林延边·期末）已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数
图象与函数
图象有三个交点，
分别为
，则
（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
二、多选题
9．（24-25 高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（22-23 高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数
图象经过点
，则下列命题正确的有
（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
11．（23-24 高一上·云南昆明·期末）若函数
同时满足：①对于定义域上的任意
，恒有
；②对于定义域上的任意
，当
时，恒有
，则称函数
为
“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13
12．（23-24 高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点
，那么
的解析式为 ．
13．（23-24 高三上·上海静安·期中）函数
的定义域为 .
14．（23-24 高一下·北京·开学考试）若函数
在定义域内的某区间M 上是增函数，且
在M 上是减
函数，则称函数
在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是
①若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
②若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
③若
，则
为R 上的“弱增函数”
④若
在区间
上是“弱增函数”，则
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点
．
(1)求幂函数解析式；
(2)求证：幂函数在区间
上是严格增函数．
16．（23-24 高一下·上海·期中）已知幂函数
为奇函数，且在区间
上是严格减
函数.
(1)求函数
的表达式；
(2)对任意实数
，不等式
恒成立，求实数t 的取值范围.
17．（23-24 高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数
的图象过点
(1)解不等式：
；
(2)设
，若存在实数
，使得g(x)<0成立，求实数
的取值范围．
18．（23-24 高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数
在
上单调递减.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求x 的取值范围；
(3)若对任意
，都存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围.
19．（22-23 高一上·山东聊城·期末）若在函数
的定义域内存在区间
，使得
在
上单调，
且函数值的取值范围是
（
是常数），则称函数
具有性质
．
14
(1)当
时，函数
否具有性质
?若具有，求出
，
；若不具有，说明理由；
(2)若定义在
上的函数
具有性质
，求
的取值范围．
