文档文本内容
第06 讲 诱导公式
课程标准
学习目标
掌握诱导公式并运用其进行三角函数
式的求值、化简以及简单三角恒等式的证
明.
1.了解三角函数诱导公式的意义和作用；
2.理解诱导公式的推导过程；
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求
值、化简和证明问题.
知识点01 诱导公式
1.诱导公式
公式一：
sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的
值相等．
【即学即练1】（23-24 高一下·陕西渭南·期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可.
【详解】
.
故选：C.
公式二：
（1）角π＋α 与角α 的终边关于原点对称．如图所示．
（2）公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
公式三：
（1）角－α 与角α 的终边关于x 轴对称．如图所示．
（2）公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
公式四：
（1）角π－α 与角α 的终边关于y 轴对称．如图所示．
（2）公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
【即学即练2】（24-25 高一上·江苏扬州·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解即可.
【详解】
.
故选：D.
公式五：
（1）角－α 与角α 的终边关于直线y＝x 对称，如图所示．
（2）公式：sin
＝cos α，cos
＝sin α.
公式六：
（1）公式：sin
＝cos α，cos
＝－sin α.
（2）公式五与公式六中角的联系＋α＝π－
.
公式七：sin
=-cos
α
：cos
=sin
α
公式八：sin
=-cos
α
,：cos
=-sin
α
【即学即练3】（24-25 高一上·云南玉溪·阶段练习）
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
2.诱导公式的记忆
诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角
(
为常整数)的三角函数
值：
当
为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当
为偶数时，函数名不变，然后α 的三角函数值前面加上当
视α 为锐角时原函数值的符号.
知识点02 诱导公式的应用策略
1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
2.利用诱导公式求值与求解解题策略
（1）条件求值问题的策略
①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函
数值逆向求角．
（3）观察互余、互补关系：如－α 与＋α，＋α 与－α，－α 与＋α 等互余，＋θ 与－θ，＋θ 与－θ 等互
补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
【即学即练4】（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助诱导公式化简即可得.
【详解】
.
故选：A.
题型01 给角求值
【典例1】（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】
.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·江苏·阶段练习）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意利用诱导公式求解即可.
【详解】
.
故选：.
【变式2】（24-25 高三上·北京·阶段练习）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简计算即得.
【详解】因
.
故选：A.
【变式3】（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）求值：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.
【详解】
，
故选：A
【变式4】（23-24 高一上·江苏扬州·期中）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可.
【详解】
.
故选：B.
题型02 给值求值
【典例2】（24-25 高一上·江苏·阶段练习）已知
，且
是第四象限角，那么
的值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用诱导公式和平方关系，即可求解.
【详解】因为
，得到
，又
是第四象限角，
所以
，得到
，
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）若
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断
的范围，从而求出
，再由诱导公式计算可得.
【详解】因为
是第四象限角，所以
，
则
，为第一或第四象限角，
又
，所以
，
所以
.
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.
【详解】易知
.
故选：D
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果.
【详解】由
，可得
，
易知
所以
，所以
．
故选：C
题型03 利用诱导公式求值、化简
【典例3】（24-25 高三上·天津河西·期中）化简：
.
【答案】
【分析】利用诱导公式对原式化简即可得出结果.
【详解】易知
.
故答案为：
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
．
(1)化简
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）根据诱导公式将所求角转化为已知角求解即可.
【详解】（1）
，
，
则
；
（2）由（1）得，
，则
，
又
，
故
．
【变式2】（24-25 高一上·天津武清·阶段练习）已知
是第三象限角，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值；
（2）利用诱导公式求解.
【详解】（1）因为
是第三象限角，且
，
所以
，所以
（2）
【变式3】（24-25 高一上·江苏常州·阶段练习）已知
，且
在第三象限，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）借助同角三角函数基本关系计算即可得；
（2）借助诱导公式化简后，将弦化切后，计算即可得.
【详解】（1）已知
，且
在第三象限，
所以
， .
则
；
（2）原式
.
题型04 利用诱导公式证明等式
【典例4】（24-25 高一上·上海·课堂例题）证明：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】左边
右边，
所以
．
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）求证：当
或3 时，
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当
时，左边=
；
当
时，左边=
；
综上，
或
有原等式恒成立.
【变式2】（24-25 高一·全国·专题练习）求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边=
=–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式3】（24-25 高一·全国·专题练习）求证：
【答案】证明见解析
【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明
【详解】左边＝
＝右边，所以原等式成立．
题型05 利用诱导公式求角
【典例5】（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）（多选）已知
，
则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据题意利用诱导公式可得
，结合角的范围分析求解.
【详解】因为
，则
，可得
，
且
，所以
或
【变式1】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知角
终边上
点坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、
求值——同角三角函数基本关系
【分析】先确定角
的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【详解】
，
即
的终边在第二象限，
又
，且
，
所以
.
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用诱导公式可得
，即可得结果.
【详解】因为
，
且
，所以
.
故选：C.
【变式3】已知sin(π＋θ)＝－
cos(2π－θ)，|θ|＜
，则θ 等于( )
A．－
B．－
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式对题中所给的式子进行化简，之后根据同角三角函数关系式，得到
，结合角的范围，得出角的大小.
【详解】
，
可得
，
即
，所以
，故选D.
题型06 三角函数的定义与诱导公式的综合
【典例6】（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角α 的顶点与原点重合，始边
与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点
，则
．
【答案】
【分析】由三角函数的定义求出
的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】由条件得
.
则
.
故答案为：
【变式1】（24-25 高一上·陕西榆林·阶段练习）已知角
的终边经过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】(1)先求出
，再由三角函数定义
求解即可；
(2)根据诱导公式将
化简为
，再将分子分母同时除以
化为
，
将
代入求值即可.
【详解】（1）由题意，角
的终边经过点
，设
，
所以
，
.
（2）由（1）可得
，
由诱导公式可知，
，
将上式分子分母同时除以
可得
.
【变式2】（24-25 高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以
为始边作角
与
，它们
的终边分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据三角函数的定义求出
，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可；
（2）由
可得
，
，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即
可求解.
【详解】（1）因为点
在单位圆上且
，所以
且
，解得
，
即
，
由三角函数定义知，
，
故原式
.
（2）由题意
，
故
.
【变式3】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系
中，锐角
的顶点是坐标原点，始
边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点
．将角
的终边按逆时针方向旋转
得到角
．
(1)求
；
(2)求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据点
在单位圆上得到
，由三角函数的定义可得
，根据诱导公式计算
即可；
（2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可．
【详解】（1）∵点
在单位圆上，∴
，
∵
为锐角，则
，∴解得
．
∴
，
∴
，
．
（2）
．
题型07 诱导公式与方程的综合问题
【典例7】（24-25 高一上·河南南阳·阶段练习）已知角
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】切化弦，然后可得
，再结合平方关系式和诱导公式可得.
【详解】因为
，所以
.
因为
，所以
0，所以
，解得
或
.
因为
，所以
，
，所以
，即
，
可得
，所以
.
故选：A.
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先用诱导公式将条件化简得
的值，再将所求式用诱导公式化简并转化成关于
的
二次齐次分式，进而化为关于
的表示式，整体代入即可求值.
【详解】因为
，所以
，所以
，
则
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）已知
为锐角，且
，
，则
.
【答案】
/
【分析】由题可得
①，
②，联立得
，再求
的值.
【详解】由
，
可得
，即
①．
由
，
可得
②．
①
②得
，
∴
，即
．
∵
，∴
，
又
为锐角，∴
．
故答案为：
．
题型08 三角形中的诱导公式问题
【典例8】（24-25 高一上·山东济南·阶段练习）（多选）在
中，下列关系式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据三角形中
及诱导公式化简求值即可.
【详解】
中，
.
A 项，
，故A 错误；
B 项，
，故B 正确；
CD 项，
，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）在△ABC 中，下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角形中角之间的关系，结合诱导公式化简即可.
【详解】在
中，有
，
，故A 错误；
，故B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果.
【详解】由
，可得
，
易知
所以
，所以
．
故选：C
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）在
中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据诱导公式化简判断各个选项即可.
【详解】对于A，在
中，有
，
∴
，A 选项正确；
对于B，
，B 选项正确；
对于C，
，C 选项错误；
对于D，
，D 选项错误；
故选：AB.
一、单选题
1．（24-25 高三上·四川攀枝花·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
.
故选：B.
2．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用整体代换法诱导公式化简计算即得.
【详解】由
，则
.
故选：A.
3．（24-25 高一上·福建三明·阶段练习）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】若
，则
.
故选：D.
4．（24-25 高一上·天津北辰·阶段练习）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得
，再结合同角三角函数关系式进行化简运算.
【详解】由诱导公式可得
，即
；
所以
，
故选：C.
5．（2024 高三·全国·专题练习）若
，且
是第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得
，再次利用诱导公式可求得结果.
【详解】
，
，又
是第三象限角，
，
.
故选：C.
6．（2024 高一·全国·专题练习）已知
，则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式一一判断即可.
【详解】对于A：
，故A 错误；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：D
7．（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）计算
（ ）
A．
＋1
B．1
C．
－1
D．－
+1
【答案】A
【分析】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.
【详解】原式
.
故选：A.
8．（2024·广东佛山·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得
，然后利用诱导公式求解.
【详解】解：因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B
二、多选题
9．（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知角
和
的终边关于
轴对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题意
，然后根据诱导公式逐项判断即可.
【详解】因为角
和
的终边关于x 轴对称，可得
.
对于A，由
，A 正确；
对于B，由
，B 错误；
对于C，由
，C 正确；
对于D，由
，D 错误.
故选：AC
10．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）若
，则
终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AC
【分析】利用诱导公式化简，根据三角函数值在各象限的符号判断.
【详解】∵
，∴
，
∴
终边可能在第一象限或第三象限.
故选：AC.
11．（24-25 高一上·江苏扬州·期末）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先根据同角三角函数的关系求出
，再根据诱导公式逐一判断即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（24-25 高一上·天津津南·阶段练习）
的值是 .
【答案】
/
【分析】应用诱导公式及特殊角函数值求结果.
【详解】
.
故答案为：
13．（24-25 高一上·吉林松原·阶段练习）化简：
【答案】
【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果
【详解】
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知
，
，则
.
【答案】
【分析】利用
，结合诱导公式可求值.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）化简
；
（2）证明：
.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用二倍角公式、切化弦及诱导公式化简即可.
（2）将等式的左边切化弦，通分并逆用差角的正弦公式、二倍角公式及诱导公式推理论证得右边.
【详解】（1）原式
.
（2）左边
右边.
所以原等式成立.
16．（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）已知
．
(1)若角
的终边过点
求
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再由终边上的点有
，即可得答案；
（2）由题设有
，应用平方关系及齐次式化弦为切求值.
【详解】（1）
，
若角
终边过点
，则
，所以
；
（2）若
，则
，
所以
．
17．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）化简：
；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值；
（2）利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】（1）原式
；
（2）因为
，
，
所以，
.
18．（24-25 高一上·江苏·阶段练习）（1）已知
，且
，求
的值．
（2）已知
，若
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式列式计算即得.
（2）利用诱导公式及同角公式计算得解.
【详解】（1）由
，两边平方得
，
即
，解得
，
所以
.
（2）由
，得
，又
，则
，
所以
.
19．（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）（1）已知
，求
的值；
（2）若
、
是方程
的两个根，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用诱导公式结合弦化切化简可得所求代数式的值；
（2）由题意可得
，列出韦达定理，由
结合韦达定理可求得
的值.
【详解】（1）因为
，则
；
（2）因为
、
是方程
的两个根，
则
，可得
，
由韦达定理可得
，
，
因为
，
所以，
，解得
，合乎题意，故
.
