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7.2.4 诱导公式
课程标准
学习目标
掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求
值、化简以及简单三角恒等式的证明。
（1）了解三角函数诱导公式的意义和作用；
（2）理解诱导公式的推导过程；
（3）能运用有关诱导公式解决一些三角函数的
求值、化简和证明问题。
知识点01 诱导公式①~④
1、诱导公式①：角
与
的三角函数值之间的关系
（1）语言表示：终边相同的角，同角三角函数值相等；
（2）式子表示：
；
；
（3）角
的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；
【即学即练1】（2023·四川成都·高一校联考期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
， 故选：D
2、诱导公式②：角
与
的三角函数值之间的关系
（1）终边关系：角
与角
的终边关于
轴对称
（2）图示：
（3）公式表示：
；
；
【即学即练2】（2023·浙江温州·高一校联考期中）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，故选：D.
3、诱导公式③：角
与
的三角函数值之间的关系
（1）终边关系：角
与角
的终边关于
轴对称；
（2）图示：
（3）公式表示：
；
；
【即学即练3】（2023·湖南株洲·高一统考期中）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
故选：D
4、诱导公式④：角
与角
的三角函数值之间的关系
（1）终边关系：角
与角
的终边关于原点对称
（2）图示
（3）公式表示：
；
；
【即学即练4】（2023·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.故选：B.
5、诱导公式的记忆规律
“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角
(
为常整数)的三角函数值：
当
为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；
当
为偶数时，函数名不变，然后α 的三角函数值前面加上当视α 为锐角时原函数值的符号.
【即学即练5】（2023·江苏·高一专题练习）计算：
＝ ．
【答案】1
【解析】
．
知识点02 诱导公式⑤~⑧
1、诱导公式⑤：角
与角
的三角函数值之间的关系
（1）
与
的终边关于角
的终边所在的直线（即直线
）对称；
（2）图示：
（3）公式表示：
；
2、诱导公式⑥：
；
3、诱导公式⑦：
；
4、诱导公式⑧：
；
【即学即练6】（2023·高一课时练习）已知
是方程
的根，且
为第三象限角，求
的值．
【答案】
【解析】因为
是方程
的根，所以
或
，
因为
，所以
因为
为第三象限角，所以
所以
【题型一：利用诱导公式给角求值】
例1．（2023·福建龙岩·高一长汀县第一中学校考阶段练习）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知
；
所以
，故选：A
变式1-1．（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）
的值是( )
A．
B． C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
变式1-2．（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误．故选：AC.
变式1-3．（2023·全国·高一专题练习）计算：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）0；（2）0
【解析】（1）
.
（2）
.
【方法技巧与总结】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
【题型二：利用诱导公式给值求值】
例2．（2023·山东菏泽·高一曹县一中校考阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，所以
.故选：B
变式2-1．（2023·江苏南京·高一期末）已知
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又
为第三象限角，所以
，
所以
.故选：D.
变式2-2．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知
，求
，
的值.
【答案】
，
或
，
【解析】因为
，
所以
，
当
时，
，
，则
；
当
时，
，
，则
；
综上所述，
，
或
，
变式2-3．（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）已知
，则下列各式中值为
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A，
，故A 错误；
对B，
，故B 错误；
对C，
，故C 正确；
对D，
，故D 错误.故选：C
【方法技巧与总结】
条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【题型三：利用互余互补关系求值】
例3．（2023·全国·高一专题练习）已知
为第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知，
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
.故选：B.
变式3-1．（2023·福建厦门·高一松柏中学校考阶段练习）已知
则
．
【答案】
【解析】令
，则
，
，
因为
，所以
，所以
.
变式3-2．（2023·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）已知
，
，
则
．
【答案】
【解析】
，
，故
，
，则
，
故
，
．
变式3-3．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）求解下列各式的值
（1）已知
，求
的值.
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，所以
（2）由
，
所以
【方法技巧与总结】
观察互余、互补关系：如－α 与＋α，＋α 与－α，－α 与＋α 等互余，＋θ 与－θ，＋θ 与－θ 等互补，遇到
此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
【题型四：诱导公式综合化简计算】
例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
，
，故
，
故
.
（2）
.
变式4-1．（2023·全国·高一专题练习）化简：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）－1
【解析】（1）由题化简原式得：
（2）由题化简原式得：
变式4-2．（2023·河南驻马店·高一校考阶段练习）化简：
（1）
；
（2）
；
（3）已知
，求
的值.
【答案】（1）0；（2）
；（3）
【解析】（1）由诱导公式可得，
.
（2）由诱导公式可得，
.
（3）由
可得
，
.
变式4-3．（2023·高一课时练习）设
，化简：
【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式，可得
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
，
综上可得，
【方法技巧与总结】
用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
【题型五：利用诱导公式证明恒等式】
例5．（2023·全国·高一专题练习）求证：
＝－1.
【答案】证明见解析
【解析】左边
，
右边
，
左边
右边，所以原等式成立．
变式5-1．（2023·全国·高一专题练习）（1）求证：
＝
；
（2）求证：
＝－tan θ.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）右边
左边.
所以原等式成立．
（2）左边
右边.
所以原等式成立．
变式5-2．（2023·高一课时练习）求证：
＝
．
【答案】证明见解析
【解析】左边
.
右边
.
∴左边＝右边，故原等式成立．
变式5-3．（2023·全国·高一专题练习）（1）求证：
；
（2）设
，求证
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）左边=
=右边，所
以原等式成立.
（2）方法1：左边=
=
=
=右边，所以原等式成立.
方法2：由
，得
，
所以，等式左边=
=
=
=右边，等式成立.
【方法技巧与总结】
利用诱导公式证明恒等式的方法
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更
论证的方法。常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，
善于从中选择巧妙简捷的方法。
【题型六：三角形中的诱导公式运用】
例6．（2023·河南焦作·高一校考阶段练习）（多选）在中，
，
，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】在
中，
，
，故
，则
，
，
而
，故A 正确；
因为
，故B 正确；
因为
，故C 错误；
因为
，故D 错误；故选：AB．
变式6-1．（2023·新疆伊犁·高一江苏中学校考阶段练习）（多选）在
中，下列关系不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
，A 选项错误.
，B 选项正确.
，C 选项错误.
，D 选项错误.故选：ACD
变式6-2．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）（多选）在
中，下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A,
,A 正确;
对于B,
,B 错误;
对于C,
, C 正确;
对于D,
, D 错误.故选:AC.
变式6-3．（2023·四川泸州·高一校考期末）在
中，已知
，
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，可得
因为
，所以
，
亦可得
，
由
，则
，解得
.
（2）原式
．
【方法技巧与总结】
在三角形中使用诱导公式进行化简运算时需注意三角形内角和为
。
一、单选题
1．（2023·山东淄博·高一淄博第六中学校考阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.故选：B
2．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
故选：D.
3．（2023·全国·高一期末）已知
为第二象限角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，因为
为第二象限角，
所以
，所以
，故选：C.
4．（2023·山西太原·高一外国语学校校联考阶段练习）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，
.故选：C
5．（2023·全国·高一专题练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
.故选：C.
6．（2023·河南驻马店·高一校联考期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.故选：B．
7．（2023·全国·高一假期作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
．故选B．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知在平面直角坐标系中，点
在角
终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，所以原式
.故选：B.
二、多选题
9．（2023·江苏无锡·高一泰州中学校联考阶段练习）质点
和
在以坐标原点
为圆心，半径为1 的圆
上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.
的角速度大小为
，起点为圆
与
轴正半轴的交点，
的角
速度大小为
，起点为角
的终边与圆
的交点，则当
与
重合时，
的坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】点
的初始位置
，锐角
，
设时刻两点重合，则
，即
，
此时点
，
即
，
，
当
时，
，故A 正确；
当
时，
，即
，故C 正确；
当
时，
，即
，故D 正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B 错误，故选：ACD.
10．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）设
，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对选项A：
，正确；
对选项B：
，正确；
对选项C：
，正确；
对选项D：
，错误；故选：ABC.
11．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知
，则正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依题意，
，所以
，A 选项错误；
，B 选项正确；
，C 选项正确.
，D 选项错误.故选：BC
12．（2023·河南洛阳·高一校联考阶段练习）已知角
和
的终边关于x 轴对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为角
和
的终边关于x 轴对称，可得
.
对于A，由
，A 正确；
对于B，由
，B 错误；
对于C，由
，C 正确；
对于D，由
，D 错误.故选：AC
三、填空题
13．（2023·四川乐山·高一峨眉第二中学校校考阶段练习）计算
的结果是
．
【答案】
【解析】根据三角函数的诱导公式，可得：
原式
.
14．（2023·天津·高一校考阶段练习）
的值为 ．
【答案】0
【解析】
.
15．（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）已知
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设
，则
．
【答案】3
【解析】由
，得
，即
，
故
.
四、解答题
17．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）化简
【答案】
【解析】原式
．
18．（2023·广东江门·高一校考阶段练习）已知
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
.
（2）若
是第三象限角，且
，有
则
，
，所以
.
19．（2023·天津武清·高一杨村第一中学校考阶段练习）已知
.
（1）化简
；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）3.
【解析】（1）
.
（2）因为
，所以
，
∴
.
20．（2023·广东广州·高一天河中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，锐角
的顶点是坐标原点，
始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点
．将角
的终边按逆时针方向旋转
得到角
．
（1）求
；
（2）求
的值；
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）
，
为锐角，故
，解得
，
，
，
，
.
（2）
.
21．（2023·江西·高一吉安三中校考期末）求证：当
或3 时，
.
【答案】证明见解析
【解析】当
时，左边=
；
当
时，左边=
；
综上，
或
有原等式恒成立.
22．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）在
中，已知
，
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，可得
因为
，所以
，
亦可得
，
由
，则
，解得
，
则
，所以
；
（2）原式
.
