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第06 讲 倍角公式
课程标准
学习目标
1.会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公
式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式；
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角
恒等变换并能灵活地将公式变形运用。
1.掌握二倍角公式及其变形应用；
2.掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切
的区别与联系；
3.通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数学运算
的核心素养。
知识点01 倍角公式
1、倍角公式
（1）二倍角的正弦（
）：sin2α=2sinα cosα ；变形
（2）二倍角的余弦（
）：cos2α=cos2α−sin2α =2cos2α−1=1−2sin2α .
（3）二倍角的正切（
）：
2、对倍角公式的理解
（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如
是
的二倍角，
是
的二倍角等。“倍”是描
述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想；
（2）由任意角的三角函数的定义可知，
，
中的角
是任意的，但要使
有意义，需要
；
（3）一般情况下，
，
，
【即学即练1】 （24-25 高一上·云南昆明·期末）已知
，则
.
知识点02 倍角公式的变形
1、升幂公式：
，
2、降幂公式：
，
【即学即练2】 （24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）求值
．
题型01 利用二倍角正弦公式求值
【典例1】（24-25 高一上·广东深圳·期末）已知角α 的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高二上·辽宁·学业考试）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·高一·随堂测试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高三下·辽宁·阶段练习）已知
，
，则
.
【变式4】（24-25 高一上·上海·课后作业）形如
的式子叫做行列式，其运算法则为
.
已知
，则
.
题型02 逆用二倍角正弦公式
【典例2】（24-25 高一下·广西·期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式1】（23-24 高一下·山东日照·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一·专题训练）
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·甘肃·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 利用二倍角余弦公式求值
【典例3】（24-25 高一上·新疆吐鲁番·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·安徽芜湖·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·广东深圳·期末）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·浙江宁波·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·河南濮阳·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高三下·广东广州·开学考试）若
，
是第三象限角，
则
.
题型04 逆用二倍角余弦公式
【典例4】（24-25 高一上·广西柳州·期末）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【变式1】（2024 高二上·北京·学业考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·广东惠州·期末）若
，θ 为第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知cos
2(
π
4 +α)= 4
5 ，则sin 2α =（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．1
5
D．−1
5
题型05 利用二倍角正切公式求值
【典例5】（24-25 高一下·河北沧州·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·广东茂名·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·广东深圳·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 逆用二倍角正切公式
【典例6】（24-25 高一上·天津西青·期末）求值：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·广东肇庆·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·全国·随堂练习）
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·贵州黔南·阶段练习）已知
，则
.
题型07 二倍角公式的综合应用
【典例7】（24-25 高一上·陕西西安·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·广西来宾·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【变式3】（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）设
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·福建福州·期末）若
，
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·浙江湖州·期末）已知
，则
的值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
一、单选题
1．（24-25 高一上·广西玉林·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·浙江绍兴·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·江苏镇江·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．（24-25 高一下·浙江杭州·开学考试）公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十
边形的作图，发现了0.618 就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一下·浙江宁波·开学考试）已知
，
且
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
二、多选题
9．（2025 高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·云南曲靖·期末）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
D．
=
三、填空题
12．（24-25 高一上·贵州黔西·期末）已知角
的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点
，
则
．
13．（24-25 高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知
，则
．
14．（24-25 高一上·江苏无锡·期末）若
，且
，则
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·安徽·开学考试）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
16．（24-25 高一上·宁夏石嘴山·期末）已知
(1)求
的值；
(2)求
的值.
17．（24-25 高一上·河北秦皇岛·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
和
的值.
18．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末）已知
(1)求
的值；
(2)求
的值.
19．（24-25 高一下·黑龙江绥化·开学考试）已知
．
(1)求
在
的值域；
(2)若
，求
的值．
