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第六章 平面向量初步章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积
B．距离
C．拉力
D．质量
【答案】C
【分析】由向量的定义即可判断
【详解】A，B，D 只有大小，C 既有大小又有方向
故选:C
2．（21-22 高一下·天津·阶段练习）向量
，化简后等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.
【详解】
.
故选：D.
3．（24-25 高二上·重庆九龙坡·期中）若
，
，
且向量
，
不共线，
则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【答案】A
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，
，
则
共线，又因为有公共点
，则A、B、D 三点共线，故A 正确；
对B，因为
，故
不共线，则A、B、C 三点不共线，故B 错误；
对C，因为
，故
不共线，则B、C、D 三点不共线，故C 错误；
2
对D，
，因为
，
故
不共线，则A、C、D 三点不共线，故D 错误.
故选：A.
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）对于任意两个向量
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
与
共线，则存在唯一的实数
，使得
D．若
，
满足
，且
与
同向，则
【答案】B
【分析】根据向量的加法与减法法则，判断出A、B 两项的正误；根据向量共线的条件，判断出C 项的正
误；根据向量的定义得到两个向量不能比较大小，从而得出D 项的正误．
【详解】A．根据平面向量的加法法则，可知
，故错误，不符合题意；
B．根据平面向量的减法法则，可知
，故正确，符合题意；
C．若
与
共线，
为零向量且
不是零向量，则不存在实数
，使得
成立，故错误，不符合题意；
D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以两个向量不能比较大小，
因此“若
，
满足
，且
与
同向，则
”是假命题，故错误，不符合题意；．
故选：B．
5．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知向量
，
，若
与
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得
.
【详解】由
，
可得
，
若若
与
平行可知
，
解得
.
故选：A
6．（24-25 高三上·浙江·期中）在
中，D 是BC 上一点，满足
，M 是AD 的中点，若
，则
（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
【详解】由题可知，
，
,
所以有
，所以
，得
.
故选：C
7．（22-23 高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形
中，
，且
，点P 在线段
上运动，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设
，可得
，进而可得
，
然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则
，
4
∴
，
设
，
，
∴
，
又
，
∴
，
解得
，
∴
，
即
的最小值为
.
故选：B.
8．（23-24 高一下·山东东营·期末）如图，已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
，
5
，
设
，
，
，解得
，
所以
.
故选：A.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·宁夏固原·开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若向量
共线，则
必在同一条直线上
B．若
为平面内任意三点，则
C．若点
为
的重心，则
D．已知向量
，若
，则
【答案】BC
【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判
断C，由向量共线的坐标运算判断D.
【详解】对于A，若向量
，
共线，只需两个向量方向相同或相反即可，
则A，B，C，D 不必在同一直线上，故A 错误；
对于B，由向量线性运算性质知
，故B 正确；
对于C，若点
为
的重心，设
中点为
，则
，
由重心性质知
，所以
，故C 正确；
对于D，因为向量
，
，所以
，
化简得
，故D 错误.
故选：BC.
10．（22-23 高三上·海南儋州·开学考试）已知M 为
的重心（三角形三条中线的交点），D 为BC 的
中点，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】BC
【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答.
【详解】如图，
为
的重心，D 为BC 的中点，
因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A 不正确；
，则
，B 正确；
，C 正确.
，D 不正确；
故选：BC
11．（23-24 高一下·福建漳州·期中）在
中，点
满足
，过点
的直线与
所在的直
线分别交于点
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到
，进而利用基本不等式与“1”的
妙用即可得解.
【详解】如图所示，因为
，则
，即
，
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所以
，故A 错误；
又因为
，
所以
，故C 正确；
因为
三点共线，则
，
所以
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，故D 错误；
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，故C 正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D 满足
，则
.
【答案】3
【分析】先对等式进行变形，将其转化为与
和
有关的形式，然后再求
的值.
【详解】已知
，根据向量的减法法则
，
则
.因为
，又
，所以
，移项可得
.
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由于
，那么
，所以
.
故答案为：.
13．（23-24 高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD 中，
，三个顶点
.则顶点
的坐标 .
【答案】
【分析】在梯形
中，
，
．得到
，设点D 的坐标为
，根据向量相等
得到方程组，可得答案.
【详解】解：∵在梯形
中，
，
，
，
，
．
∴
．设点D 的坐标为
．
则
，
．
∴
，即
，
∴
解得
故点
的坐标为
．
故答案为：
．
14．（23-24 高一下·江苏·阶段练习）已知
所在平面内一点
满足
，则
．
【答案】5
【分析】取
的中点
，则
，进而可得.
【详解】如图，取
的中点
，则
，
故
，故
、
、
三点共线，
故
，
故答案为：5
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）设
，
是不平行的向量，且
，
．
(1)若向量
与
共线，求实数
的值；
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(2)若
，用
，
的线性组合表示
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；
（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；
【详解】（1）因为向量
与
共线，所以设
，
即
，
所以
，
（2）设
，
又因为
，
由向量基本定理，得
，解得
所以
．
16．（24-25 高一上·河北保定·期中）如图，在
中，
，
．设
，
．
(1)用
，
表示
，
；
(2)若
为
内部一点，且
．求证：
，
，
三点共线．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出
，进而得到
；
（2）计算出
，结合（1）可得
，证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
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，
（2）
，且有公共点M
，
，
三点共线.
17．（23-24 高一下·江西吉安·期末）在平行四边形
中，
，
，
和
交于点
P．
(1)若
，求x 的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）以
为基底表示出
，再利用
求解即可；
（2）由（1）得出
和
，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）依题意可得
，
又
，
，
所以
，解得
．
（2）由（1）可得
，则
，即
．
因为
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
．
18．（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在
中，AD 是BC 边上的中线.M 为BD 的中点，G 是AD
上一点，且
，直线EF 过点G，交AB 于点E，交AC 于点F.
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(1)试用
和
表示
，
(2)若
，
，求
的最小值.
【答案】(1)
，
(2)3
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将
用
表示，再根据E，F，G 三点共线，可得
的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，
为
的中点，所以
，
又
为
的中点，所以
；
，即
，
；
故
，
.
（2）由
，
，
，
得
，
，
所以
，
因为E，F，G 三点共线，则
，
则
，
当且仅当
，即
，
时取等号所以
的最小值3.
19．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）如图，四边形ABCD 为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四
边形），满足
，AD 的中点为E，
．
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(1)若三角形ABD 为等边三角形，求四边形ABCD 的面积
(2)求筝形ABCD 的面积的最大值
【答案】(1)
；
(2)8.
【分析】（1）直接利用三角形的面积公式即可求得答案；
（2）建立坐标系，利用向量法结合基本不等式即可得出筝形ABCD 的面积最大值.
【详解】（1）△ABD 为正三角形，且中线
，则
，
又
，
，
.
（2）以点O 为坐标原点，建立如右图所示的直角坐标系．
设
，
则
．
因为
，所以
，
即
，当且仅当
时，取等号．
筝形ABCD 的面积为
即当
时，筝形ABCD 的面积最大为8.
