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第07 讲 三角恒等变换的应用
课程标准
学习目标
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正
弦、余弦和正切公式的过程；
2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正
确运用这些公式进行简单的三角函数式的
化简、求值和恒等式证明；
3.能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行
恒等变换，推导出积化和差与和差化积公
式。
1.能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等
变换的基本思想方法；
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及
三角恒等式的证明和一些简单的应用。
知识点01 半角公式
1、半角公式
＝±
，
＝±
，
其中根号前的正负号，由角
所在象限确定。
2、半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到：
；
所以
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。
【即学即练1】 （24-25 高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos
＝m，那么cos
等于（ ）
A．
B．－
C．－
D．
【答案】B
【分析】先分析
的范围，确定象限，利用cos2
＝
求解即可.
【详解】由于cos
＝2cos2
－1，可得cos2
＝
.又3π<α<4π，所以
<
<π.所以
cos
<0.所以cos
＝－
.
故选：B
知识点02 积化和差与和差化积
1、积化和差
2、和差化积
3、积化和差公式的推导
积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如：
，①
，②
①+②，得
，则
①-②，得
，则
同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案.
【详解】
.
故选：C.
知识点03 万能公式
1、万能公式
；
；
万能公式的好处在于把角
的三角函数式转化为用
表示的式子。若设
，则三角函数
式可转化为关于的有理代数式。
2、万能公式的推导
或
【即学即练3】（24-25 高一上·山西吕梁·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解
【详解】
，
故选：A
题型01 利用半角公式求值
【典例1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
的范围，然后利用半角公式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
所以
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
是第三象限的角，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是第三象限的角，得到
，并根据
和辅助角公式得到
，
由半角公式求出答案.
【详解】
是第三象限的角，故
，
故
，
因为
，
，
则
，
，
若
，
，
，
，
此时
，满足要求，故
，
若
，
，
，
，
此时
，不合要求，舍去，
，D 正确.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·湖南岳阳·阶段练习）若
为第三象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的关系求出
，再由半角公式求
.
【详解】
为第三象限角，且
，则
，
得
，
故选：A
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角
是第二象限角，且终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据已知条件求出
和
的值，再利用
求解即可.
【详解】∵角
是第二象限角，且终边经过点
，
∴
，
，
∴
.
故选：C．
【变式4】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
题型02 万能公式的应用
【典例2】（2025·上海高一·随堂训练）若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】结合二倍角公式化简可求
，再结合万能公式可求
.
【详解】因为
，
，所以
且
，
解得
，所以
.
故选：D
【变式1】（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】由万能公式可得
，根据已知得方程求
即可.
【详解】由
，
所以
，则
，
由
，则
.
故选：A
【变式2】（23-24 高一下·陕西西安·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得
的值.
【详解】
.
故选：A.
【变式3】（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知
，则
．
【答案】
/
【分析】先用诱导公式将题目化简，然后运用切换弦进行化简，代入数据可得.
【详解】∵
∴
故答案为：
【变式4】已知
，且角
是第二象限的角，则
.
【答案】
【分析】利用三角万能置换公式，结合角所在象限即可求出
．
【详解】由
，解得
因为
是第二象限的角，则
所以
，则
，故
故答案为：
题型03 积化和差与和差化积公式应用
【典例3】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令
代入左边，
根据公式展开即可验证.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于 C，因为
，故C 正确；
对于D，因为
，故D 错误.
故选：C
【变式1】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知角
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用积化和差公式得到
，代入求值即可.
【详解】
，
由积化和差得
，
即
，
故
，解得
.
故选：C
【变式2】（ 2025 北京通州区期末测试）
．
【答案】
/
【分析】直接根据和差化积公式即可得结果.
【详解】
，
故答案为：
.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）设
是
的三个内角，则
的最大值为
．
【答案】
/
【分析】利用三角函数积化和差公式以及余弦函数和二次函数最值，即可求出结果.
【详解】令
，视
为常量，
，
为变量，
则
，
显然
，
在变化中取相等的值时，
取最大值，
因此有
．
又当
，即
时，
取得最大值
，即有
．
所以
，
（当且仅当
时，等号成立）．
故答案为：
【变式4】（24-25 高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，
的始边为x 轴的非负半
轴，终边与单位圆的交点分别为
为线段AB 的中点，射线OM 与单位圆交于点C，则以下结论正确
的有 .
①
；
②
；
③点
的坐标为
；
④点
的坐标为
【答案】①②③
【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；
由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.
【详解】
，①正确；
依题意，知
为
的中点，
，②正确；
又
为劣弧
的中点，
，
又
，点
的坐标为
，③正确：
为
的中点，
，则点
的坐标为
，
，
，
点
的坐标为
，④错误.
故答案为：①②③.
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
．
【答案】
/
【分析】运用和差化积恒等公式，结合同角三角函数关系式计算即可.
【详解】由
得
①，
由
得
②，
得
．
故答案为：
.
题型04 三角恒等变换的化简问题
【典例4】（24-25 高一上·全国·课后作业）以
表示
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
转化为
，根据万能公式
和
计算.
【详解】
．
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·安徽芜湖·开学考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.
【详解】
.
故选：A
【变式2】（23-24 高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算
，并从
以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得.
【详解】
故选：A
【变式3】（多选）（24-25 高一上·湖南益阳·期末）下列式子化简后等于
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍
角公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，故B 正确；
对于选项C：因为
，故C 正确；
对于选项D：因为
，故D 错误；
故选：ABC.
【变式4】（多选）（24-25 高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
D．
=
【答案】BD
【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案.
【详解】A.
，选项A 错误.
B.
，选项B 正确.
C.
，选项C 错误.
D.
，选项D 正确.
故选：BD.
题型05 三角变换中的求值问题
【典例5】（23-24 高一下·广东佛山·期中）定义：
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得到方程，得到
，并根据三角恒等变换得到
，利用同角三角
函数关系求出正切值.
【详解】
，
故
，
，故
，即
，
故
，
所以
，
故
，
.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·四川成都·期中）求值
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可.
【详解】因为
；
；
，
所以
.
故选：D.
【变式2】（2024·辽宁大连·一模）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得
，结合
可得
，进而
可得
.
【详解】由
得
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，结合
，且
，
得
，
所以
.
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·河南南阳·阶段练习）已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换的知识先求得
对应的三角函数值
，进而求得
.
【详解】因为
，
，所以
，
所以
，
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
则
，
故
（
）.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
故选：D.
【变式4】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】由
可得
，即
，
所以
，
故选：B
题型06 三角形中的恒等变换
【典例6】（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）在
中，下列等式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.
【详解】对于选项A：由平方差公式可知
，故A 正确；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
即
，
所以
，故C 正确；
对于选项D：因为
，则
所以
，故D 错误；
故选：D.
【变式1】（24-25 高一·上海·假期作业）在
中，若
，则这个三角
形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为
所以
所以
所以
因为
，所以
，即
所以三角形为等腰三角形；
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·湖北武汉·期末）在
中，
为它的三个内角，且满足
，
，则
.
【答案】
/
【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得
，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求
得结果.
【详解】由题意可知，将
两边同时平方得
将两式相加得
，即
，所以
可得
或
；
又因为
，得
，
由余弦函数单调性可得
，所以
不合题意；
因此
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高一下·上海·假期作业）在
中，若
，则
是 三角形；
【答案】等腰
【分析】根据两角和差的余弦公式结合二倍角余弦公式化简已知等式，可得
，即可推出
，即得答案.
【详解】由
，得
，
所以，
，即
，
由于
为三角形内角，故
，
所以
，即
，
则
是等腰三角形，
故答案为：等腰
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接使用半角公式
（或逆用二倍角公式
得到半角公式）即
可.
【详解】
.
故选：C.
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）若
是第三象限角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得
，
，由半角公式即可求解.
【详解】由已知及正弦公式得，
，
是第三象限角，
．
．
故选：A.
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得.
【详解】依题意，
，则
，
又
，则
所以
.
故选：B
4．（23-24 高三下·河北张家口·开学考试）已知
，
是第四象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得
，即可根据同角关系得
，进而即可由半角公式求解.
【详解】由
可得
，故
，
由于
是第四象限角，故
，
∴
．
故选：D．
5．（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用和差化积公式，即可求值.
【详解】
．
故选：A.
6．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解.
【详解】由
，
可得：
，
即
，又
，
结合平方差公式可得：
.
故选：C
7．（24-25 高一下·上海徐汇·开学考试）在
中，若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.
【详解】由
,
所以：
.
因为
为三角形内角，所以
.
所以
为等腰三角形.
故选：A
8．（23-24 高三上·湖北·期中）已知
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件可得
，然后化为
，利用均值不等式可得出答案.
【详解】
，即
；
即
，故
令
，则
（当且仅当
时等号成立）
故选：B．
二、多选题
9．（23-24 高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值判
断D.
【详解】由和差化积公式
，得
，故A 错误；
根据半角公式
，得
，故B 正确；
由积化和差公式
，得
，故C 正确；
当
时，等式左边有意义，右边无意义，故D 错误.
故选：BC.
10．（23-24 高一下·辽宁·期中）下列等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，以及积化和差公式，逐项运算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 错误；
对于B 中，由
，所以B 正确；
对于C 中，由
，所以C 正确；
对于D 中，由
，所以D 正确.
故选：BCD.
11．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）在
中，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
为等腰直角三角形
B．若
，则
为锐角三角形
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
为正三角形
【答案】CD
【分析】先给出
，
作为A，B 选项的反例，然后用三角恒等变换方法证明C 选项正确，用
三角函数知识证明D 正确.
【详解】对于A，B 选项，当
，
时：
此时
，但由
知
不是等腰直角三角形，故A 错误；
此时
，
，故
.
但由
知
不是锐角三角形，故B 错误；
对于C，若
，则
，
所以
，从而
为钝角三角形，故C 正确；
对于D，若
，则有
.
故每个不等号两边都相等，从而
.
而
，故
，所以
.
这就得到
，所以
为正三角形，故D 正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于三角恒等变换的灵活使用.
三、填空题
12．（24-25 高一上·上海·课后作业）若
，则
，
，
.
【答案】
/0.8
【分析】先利用二倍角公式及同角关系式求出
，进而求出正切值.
【详解】
；
；
.
故答案为：
，
，
13．（23-24 高一下·上海·阶段练习）设
，化简
的结果是 .
【答案】
【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简.
【详解】
，
因为
，所以
，
从而
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试）计算
.
【答案】2
【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化
简分子，求得结果.
【详解】分母
，
分子
，
所以原式
.
故答案为：2.
四、解答题
15．（2024 高一下·上海·专题练习）（1）证明：
；
（2）化简：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案；
（2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案.
【详解】（1）证明：左边
右边，得证；
（2）原式
．
16．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知
，
，
，
.
(1)求
的值：
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式化简
，得
，根据半角
公式化简
，得
，再得
，根据二倍角的余弦公式可得
；
（2）先得
和
，再由两角和的正切公式可得结果.
【详解】（1）由
，得
，
即
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，即
，所以
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，
又因为
，
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
.
17．（24-25 高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系
中，角
的顶点为坐标原点，始边为
轴
的非负半轴，终边与单位圆交于点
．
(1)求
；
(2)
的值．
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由三角函数定义可得
，后由两角和的正切公式可得答案；
（2）由诱导公式化简，后由
可得答案；
（3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可.
【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得
，
即
，所以
；
（2）由诱导公式，结合题意可得：
，
又
，则
（3）根据半角公式
，则
，
由
，即
，可得
.
又因为
，把
代入可得
.
即
，
，
，则
.
，且
终边与单位圆交点
，终边在第一象限，
则
，则
，
则
终边落在第一象限，则
，则
，
；
则
的值为
.
18．（2025·全国·模拟预测）已知
，且
.
(1)求
和
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
及
得到
，根据半角公式求出
，结合同角三角函数
关系得到
；
（2）先求出
，从而求出
，利用凑角法求出
的值，得到答案.
【详解】（1）因为
，所以
.
又
，所以
，故
.
因为
，
所以
，
则
.
（2）由已知条件，得
.
又
，所以
.
由
，得
.
所以
.
因为
，
，所以
，所以
.
19．（24-25 高二上·安徽·开学考试）对于集合
和常数
，定义：
为集合A 相对的
的“正弦标准差”．
(1)若集合
，
，求A 相对的
的“正弦标准差”；
(2)若集合
，是否存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是
一个与
无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是一个与
无关的定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案；
（2）利用三角恒等变换化简，从而
，平方相加，得到
，结合
，
求出
，从而消元，结合
得到
，得
到
，求出
，
.
【详解】（1）
，
其中
.
（2）存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是一个与
无关的定值，理由如下：
，
只需
，则
，
即
，整理得
，
因为
，
，
所以
，
，
，
则
，
所以
，则
，
所以
，
即
，
整理得
，故
，
因为
，所以
，
，
则
，
，
检验，将
，
代入
得
，满足要求，
故存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是一个与
无关的定值，
此时
.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧，
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
