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第12 讲 平面与平面垂直
课程标准
学习目标
1.理解二面角的概念、会求二面角的大小；
2.了解平面与平面垂直的意义；
3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直
关系问题.
1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培
养直观想象的核心素养；
2.借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推
理、数学抽象的核心素养.
知识点01 二面角
1、二面角的概念
（1）概念：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线
出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
（2）图示及记法：
棱为，面分别为
和
的二面角记作
或
或
或
.
2、二面角的平面角：
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（1）定义：在二面角
的棱上任取一点
，以
为垂足，分别在半平面
和
内作垂直于棱的
射线
和
，则射线
和
所成的角称为二面角的平面角。
（2）图示：
（3）范围：
（4）规定：
①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小。平面角是直角的二
面角称为直二面角.
②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4 个二面角中，不大于90°的角的
大小。
【即学即练1】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）在正方体
中，平面
与平面ABCD
所成锐二面角的大小为 ．
知识点02 平面与平面垂直定义与判定
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）图形语言：
（3）符号语言：α⊥β.
2、面面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：
【即学即练2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD
垂直的平面是（ ）
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A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PCD
知识点03 面面垂直的性质定理
（1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：
（4）作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
（5）垂直问题转化关系
【即学即练3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，平面
平面
，
，
，
是正三角形，O 为
的中点，则图中直角三角形的个数为 .
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题型01 面面垂直命题的辨析
【典例1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b 与平面
，
，
，下面能使
成立的条件
是（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）直线
平面
，
平面
，则
与
的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．以上均有可能
【变式2】（24-25 高二上·上海·期末）已知
表示两个不同的平面，
是一条直线且
，则
是
的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）对于直线
，
和平面
，
，能得出
的一个条件是
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式4】（24-25 高一下·云南昭通·期中）（多选）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平
面，下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
题型02 面面垂直的证明
【典例2】（24-25 高一下·天津·期中）如图，四棱锥
的底面是菱形，
底面ABCD，O、E 分
别是AD、AB 的中点，
，
，
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(1)求证：
平面PAD；
(2)求证：平面
平面POE；
【变式1】（20-21 高一下·全国·课后作业）在四棱锥
中，已知
底面
，且底面
为矩形，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四面体
中，
是正三角形，
是直角三
角形，
，
．证明：平面
平面
.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课堂例题）在正方体
中，求证：平面
平面
．
【变式4】（24-25 高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.求证：平面
平面
.
【变式5】（24-25 高一上·专题训练）如图，在斜三棱柱
中，侧面
是菱形，
，在平面
中，
，且
.
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求证：平面
平面
题型03 面面垂直证线面垂直
【典例3】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥
中，底面
是
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，G 为AD 边的中点.求证：
平面
.
【变式1】（2025 高一·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝
4，AD＝CD＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形
中，已知
，
，
，
，E 为对角线
的中点，现将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
．求证：
(1)直线
平面
；
(2)平面
平面
．
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【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱
中，已知
为正三角形，
分别是
，
的中点，平面
平面
，
．求证：
平面
．
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，侧面
底面
．
与
是否互相垂直？请
证明你的结论．
题型04 求二面角
【典例4】（24-25 高一下·全国·课后作业）四边形ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．求：
（1）二面角A-PD-C 的平面角的度数;
（2）二面角B-PA-D 的平面角的度数;
（3）二面角B-PA-C 的平面角的度数;
（4）二面角B-PC-D 的平面角的度数.
【变式1】（24-25 高一·全国·课堂练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD 与底面ABCD 所成的二
面角A1－BD－A 的正切值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）已知三棱锥
的三个侧面与底面全等，且
，
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，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .
【变式3】如图，
是
的直径，
垂直于
所在的平面，
是圆周上的一点，且
，求二
面角
的大小．
【变式4】（24-25 高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥
中，底面边长为2，高为4．
(1)求直线
与平面
所成角的正切值；
(2)求二面角
的余弦值．
【变式5】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形
是正方形，
平面
．若
，求平面
与平面
所成的二面角的大小．
题型05 已知二面角求值
【典例5】（24-25 高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角
平面角的大小为
，其棱l 上有
A、B 两点，
、
分别在这个二面角的两个半平面内，且都与
垂直.已知
，
，则
（ ）
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A．4
B．8
C．
D．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，
为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为
，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为
C．
的面积为
D．
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）把正方形
沿对角线
折成直二面角，则
是
（ ）
A．正三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【变式3】（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱
的体积为8，二面角
的大
小为
，且
，
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知腰长为
的等腰直角
，现沿斜边
上的高
翻
折，使得二面角
的大小为
，则点B 到
的距离为 ．
题型06 面面垂直相关的探索性问题
【典例6】（24-25 高一下·浙江·期中）已知四棱锥P－ABCD 中，△PBC 为正三角形，底面ABCD 为直角
梯形，
，
，
，
．
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设F 为BC 中点，问：在线段AD 上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF 成立．若存在，求出
AE 的长；若不存在，请说明理由；
【变式1】（24-25 高一下·全国练习）如图，在直三棱柱
中，M 为棱
的中点，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)在棱
上是否存在点N，使得平面
平面
？如果存在，求此时
的值；如果不存在，
请说明理由.
【变式2】（23-24 高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形
与正三角形
所在平面互相垂直，
是
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在一点N，使面
面
？并证明你的结论.
【变式3】（24-25 高一下·山东·期中）如图，在三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2
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，M，N 分别为BC，AB 的中点．
(1)求证：MN//平面PAC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PAM；
(3)在AC 上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME 的长；若不存在，请说明理由．
【变式4】（24-25 高二上·辽宁·开学考试）三棱柱
被平面
截去一部分后得到如图所示几
何体，
平面
，
，
，
为棱
上的动点（不包含端点），平面
交
于点
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)试问是否存在点
，使得平面
平面
？并说明理由．
一、单选题
1．（2025 高一·全国·课后作业）已知
，则过与
垂直的平面（ ）
A．有1 个
B．有2 个
C．有无数个
D．不存在
2．（23-24 高一下·青海·期末）已知m，n 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列结论正确的
是（ ）
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A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，
那么这两个二面角（ ）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）已知平面
平面
，点
，则过点
且垂直于平面
的直线
（ ）
A．只有一条，不一定在平面
内
B．有无数条，不一定在平面
内
C．只有一条，一定在平面
内
D．有无数条，一定在平面
内
5．（23-24 高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥
中，平面
平面
，
则（ ）
A．
平面
B．
∥平面
C．
与平面
相交但不垂直
D．平面
平面
6．（2025 高一下·全国·专题练习）在空间四边形
中，
，那么必有（ ）
A．平面
⊥平面
B．平面
⊥平面
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C．平面
⊥平面
D．平面
⊥平面
7．（23-24 高一下·湖南·期末）已知在三棱锥
中，
，且
为等边三
角形，则二面角
的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．（23-24 高一下·浙江衢州·期末）如图，
是圆
的直径，
垂直于圆
所在的平面，
为圆周上不与点
重合的点，
于
，
于
，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面
平面
B．
平面
C．
平面
D．平面
平面
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1 的正方体
中，P 为线段
上的动点，则下列结论正确的有（ ）
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A．平面
平面
B．
的取值范围是
C．点P 到平面
的距离是定值
D．
11．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2 的正方体
中，点
为
的中点，
则（ ）
A．四棱锥
的体积为8
B．二面角
的大小为
C．直线
与底面
所成的角的大小为
，则
D．异面直线
与
所成的角的大小为
，则
三、填空题
12．（24-25 高一·全国·假期作业）如图所示，三棱锥
中，平面
底面ABC，且
，
则
是 三角形．
13．（24-25 高二上·四川广安·期中）如图所示，
，
分别在平面
和平面
内，在
与
的交线上
取线段
，
，
，
，
，
，则二面角
的大小为 .
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14．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥
中，
底面ABCD，且底面各边都
相等，
，M 是
上的一动点，当点M 满足 时，平面
平面
．
（只要填写一个你认为正确的条件即可）
四、解答题
15．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，
AB⊥AD，CD⊥AD. 求证：平面PDC⊥平面PAD.
16．（24-25 高一上·江西宜春·期末）已知四边形
为直角梯形，
，
，
为
等腰直角三角形，平面
平面
，E 为
的中点，
，
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
17．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形
中，
，
，
为
的中点，将
沿直线
折起到
的位置，使平面
平面
．
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(1)证明：平面
平面
；
(2)设
为线段
的中点，求点
到平面
的距离．
18．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形
中，
，
，
为
上一点，且
．将
沿
折起，使得平面
平面
，如图2，点
是线段
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)过
点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①
平面
；②
．请说明理由．
19．（24-25 高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD 中，
，
，
，
，
，边AD 上一点
满足
．现将
沿BE 折起到
的位置，使平面
平面BCDE，如图所示．
(1)求证：
；
(2)求四棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
