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第05 讲 两角和与差的正弦、正切
课程标准
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行
化简求值；
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆
用、变形用。
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；
2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角
函数的求值、化简、计算等；
3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了
解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用
方法.
知识点01 两角和与差的正弦
1、公式与简记：
:sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
:sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
2、对两角和与差正弦公式的理解
（1）公式中的角
，
都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即
；
（3）注意公式的你想运用和变形运用
①公式的逆用：如
；
②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，
如
；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换，
如
，
等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。
3、辅助角公式
对于形如
的式子，可变形如下：
=
由于上式中
和
的平方和为1，故令
，
则
=
=
其中
角所在象限由
的符号确定，
角的值由
确定，
或由
和
共同确定．
【即学即练1】（24-25 高一上·上海·期末）已知
，且
都是第二象限角，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】由
，
都是第二象限角，
得
，
所以
.
故答案为：
知识点02 两角和与差的正切
1、公式与简记
:
.
:
.
注意：
公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。
2、两角和与差正切公式的变形
（1）
（2）
当
为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1 与切的乘积的和（或差）时常用变形（2）
【即学即练2】 （24-25 高一上·贵州毕节·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式可求得
的值.
【详解】因为
，则
.
故选：B.
题型01 求特殊角和与差的正弦值
【典例1】（24-25 高一下·高一随堂测试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
∴
．故选：C
【变式1】计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D．
【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
题型02 逆用两角和与差的正弦公式
【典例2】（24-25 高一上·福建三明·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由诱导公式有
，利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
【变式1】（24-25 高三上·宁夏银川·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】
,
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·河南洛阳·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值.
【详解】
.
故选：C.
【变式3】（（24-25 高一上·河南商丘·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
和
分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到
答案.
【详解】
两边平方得，
①，
两边平方得，
②，
式子①+②得
，
即
，即
，
所以
.
故选：B
题型03 利用和差正弦公式给值求值
【典例3】（24-25 高一下·辽宁·期中）若
，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据和差角公式即可求解.
【详解】由于
，
，
所以
，
则
．
故选：B
【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的基本关系式与和差公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知角
的终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求出
，
，再利用两角和的正弦公式求出
的值即可.
【详解】由角
的终边上一点
，
则
，
，
则
，
故选：C.
【变式3】（24-25 高一下·云南昆明·期中）角
的终边上有一点
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据终边上的点求三角函数，再利用诱导公式和两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由题意角
的终边上有一点
，则
，
故
，
故
，
故选：A
【变式4】（23-24 高三上·贵州黔西·阶段练习）已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件求出
及
的值，令
，按两角和的正弦公式
展开求值即可.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
，因为
，
所以
，
所以
．
故选：B．
【变式5】（24-25 高一下·四川宜宾·期中）设
，
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
，再利用同角三角函数关系与两角差的正弦公式计算即可
【详解】因为
，故
，
，故
故选：C
题型04 利用和差正弦公式给值求角
【典例4】（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角
，
满足
，
，且
，
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知可得
，
，
，
，则
，应用余弦倍角公式可
得
、
，再应用正弦和角公式求
，即可确定角的大小.
【详解】由
，
，则
，
，
由
，
，则
，
，
所以
，
，
，
，
而
，故
.
故选：C
【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题设条件可求
的值，求出
的值后可求
的值.
【详解】由已知可得
，
解得
，∴
，
∵
，
，
.故
，
故选：C.
【变式2】（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知
为三角形的两个内角，
，
则
=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到
、
，再用凑角求解.
【详解】∵
为三角形的两个内角，且
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
，
，∴
【变式3】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知
，
．若
，
，则
的值是 ．
【答案】
/
【分析】先结合
的范围求出
. 再根据已知条件求出
，再利用二倍角公式求出
和
，然后利用两角差公式求出
，最后根据
、
的范围确定
的值.
【详解】因为
，所以
.
已知
，
.
由两角和公式
.
可得
.
因为
，则
.
已知
，可
.
，
.
又因为
，
，所以
，
.
.
可得
.
因为
，
，则
,所以
，又
，所以
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·上海·期末）已知
，且
的终边与
的终边关于
轴对称，则
.
【答案】
【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出
的余弦值与
的正弦值，从而可求
，可得
，再利用
的终边与
的终边关于
轴对称可得结果.
【详解】
，
，
.
因为
的终边与
的终边关于
轴对称，
所以
，
故答案为：
题型05 辅助角公式的应用
【典例5】（24-25 高一上·全国·课后作业）定义行列式运算
，则
的最
大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】由辅助角公式化简，再结合正弦型三角函数求最值即可.
【详解】由行列式运算可得
，
当
时，原式取得最大值为2．
故选：D
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简即可.
【详解】
．
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·广东梅州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得
，即可由诱导公式求解.
【详解】由
得
，故
，
故选：B
【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将
化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为
，
所以
.
故选：A
【变式4】（23-24 高一下·北京·期中）函数
的图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两角和的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
令
，解得
，
所以函数的对称中心为
，
，
当
可得其一个对称中心为
.
故选：D
题型06 求特殊角和差的正切值
【典例6】（24-25 高一下·全国·随堂练习）
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用和差角的正切及二倍角的正切公式计算即得.
【详解】
.
故选：A
【变式1】（2024·全国·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：利用诱导公式及降幂公式计算可得；解法二：首先利用两角差的正切公式求出
，
即可得解.
【详解】解法一：
．
解法二：
，
则
.
故选：B．
【变式2】（24-25 高一下·全国·阶段测试）
．
【答案】
【解析】
.
【变式3】（23-24 高一下·江苏镇江·期中）若
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
.故选：D
题型07 和差正切公式的逆用及变形
【典例7】（23-24 高一上·河南·期末）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得.
【详解】
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高三上·四川成都·期中）式子
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式来求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】借助两角和的正切公式计算即可得.
【详解】由
，得
，
故
.
故选：B．
【变式3】（23-24 高一下·江西·期末）
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以有
，
故选：D．
【变式4】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得
，
则原式可化为
，故D 正确.
故选：D.
题型08 利用和差正切公式给值求值
【典例8】（24-25 高一上·河北沧州·期末）已知
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可.
【详解】因为
，所以
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．所以
，
所以
，则
．
故选：A.
【变式1】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式可求得
的值.
【详解】因为
，则
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高一下·河南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用差角正切公式求值即可.
【详解】
.
故选：D
【变式3】（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用角的变换
，代入两角差的正切公式即可求解.
【详解】
．
故选：B.
【变式4】（24-25 高三上·山西吕梁·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用两角和与差的三角函数，将
，然后两边同除以
，再利用
求解.
【详解】由
，
得
，
两边同除以
，
得
所以
，
故选：A．
题型09 利用和差正切公式给值求角
【典例9】（2025 高三·全国·专题练习）若
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用两角和正切公式计算化简得出角
，计算判断即可.
【详解】由题意得
，
所以
，
所以
的值可能为
．
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）已知
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系及角的范围得到
，从而利用正切和角公式得到
，得
到答案.
【详解】由
且
可知
为锐角，
为钝角，
故
，
，
，
，
.
故选：B
【变式2】（24-25 高一上·广东深圳·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换的应用可得
，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】由
，
得
，所以
，
又
，所以
，
即
，
整理得
，即
，
所以
一个钝角一个锐角，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）已知
，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正切和角公式得到
，并得到
，得到答案.
【详解】
，
又
，
，
故
，故
，
故
.
故选：C
题型10 和差公式的综合应用
【典例10】（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】根据两角和与差的正、余弦公式，结合同角的商数关系和两角差的正切公式化简计算即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
．
又
，即
，
得
，解得
，
所以
.
故选：D．
【变式1】（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）已知角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一，根据条件，通过构角
，得到
，即可求解；法二，利用
余弦的和角公式，得到
，再利用条件和平方关系，直接求出
，
代入即可求解.
【详解】法一：因为
，所以
，
整理得
，所以
，又
，
则
，
法二：
，所以
，
即
①，又
，
，
解得
或
，
代入①式，得到
，化简得
，
故选：A.
【变式2】（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用两角差的正切公式结合给定条件建立方程，求解
即可.
【详解】因为
，所以
，
故
，
因为
，
所以
，解得
，
则
，故C 正确.
故选：C．
【变式3】（24-25 高一下·重庆渝中·开学考试）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据两角和的正切公式得
，再缩小
的
范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】解：法一：由题意得
，
因为
，
则
，
又因为
，
则
，则
，
则
，联立
，解得
．
法二：因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
，
，
则
，
故选：A．
一、单选题
1．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可.
【详解】
，
故选：C.
2．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
的顶点与
重合，始边与
轴的非
负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得
的值，结合两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为角
的终边经过点
，
所以
，
所以
.
故选：C.
3．（22-23 高一下·江西赣州·阶段练习）求值
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案.
【详解】
.
故选：A．
4．（23-24 高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设正方体边长为1，由图可得
，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】设正方体边长为1，由图可得
，
则
且
，
所以
.
故选：B.
5．（2025·广东·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.
【详解】由于
，
那么
，
，则
，
故选：C．
6．（24-25 高一上·新疆昌吉·期末）已知
，
都是锐角，
则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用同角平方和为1 公式和两角差正弦公式求值即可.
【详解】因为
，
都是锐角，所以
，
又因为
所以
则
，
故选：C.
7．（24-25 高一上·湖南长沙·期末）计算：
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】A
【分析】先将
换成
，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可.
【详解】原式
.
故选：A.
8．（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.
【详解】
，则
，则
，
整理得到
.
因此
.故B 错误，D 正确.
，则
，
.则
.
且
.解得
.同理得
，则
，
因此得
，则
.故AC 错误.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高一上·福建厦门·期末）已知
，
分别为第一、第三象限角，且
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据同角基本关系式求出
，
，从而逐项判断.
【详解】已知
为第一象限角，且
，
则
，所以
，
同理
为第三象限角，则
，
所以
，
，C 正确，D 错误，
，A 错误；
，B 正确.
故选：BC
10．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知
，
，下列选
项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到
；B 选项，根据同角三角函数平
方关系得到
，去掉不合要求的解；C 选项，利用凑角法求解；D 选项，在C 选项的基础上，
得到
，利用正弦差角公式计算出答案.
【详解】A 选项，由
，得
，故A 正确；
B 选项，由
，得
，
因为
，所以
，
又
，其中
，
若
，则
，则
，与
矛盾，
所以
，故B 错误；
C 选项，
，故C 正确；
D 选项，由
及
，得
，
故
，故D 正确．
故选：ACD
11．（23-24 高一下·江苏镇江·阶段练习）已知
，且
，则以下结论正确
的是（ ）
A．
B．
有最大值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】AC
【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】对于A，因为
，
又
，
所以
，则
，故A 正确；
对于BCD，令
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
，
，即
时取等号，
所以
有最大值
，故C 正确，BD 错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用
这一式子，结合正弦函数的和差公式
得到
，从而得解.
三、填空题
12．（24-25 高一上·广西河池·期末）在
中，若
，则
的值为 .
【答案】2
【分析】利用三角形内角和可求得
，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.
【详解】在三角形ABC 中，因为
，
所以
.
故答案为：
.
13．（24-25 高一上·天津南开·期末）已知
、
为锐角，
，
，则
.
【答案】
【分析】由
求出
，利用正切和角公式求出
，结合
、
为锐角，得
到
.
【详解】因为
，
为锐角，
则
，
，
可得
，
且
、
为锐角，则
，所以
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·云南昆明·期末）已知
，
，
，
，
则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】先根据
和
的范围，确定
和
的范围，求出
和
；再由
，结合两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
.
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·重庆长寿·期末）已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式得
，根据同角三角函数关系得到
；
（2）由两角和的余弦函数公式可得.
【详解】（1）由
，得
，故
.
（2）
.
16．（24-25 高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系
中，以
轴非负半轴为始边作角
与
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
．
(1)若
，求点
的坐标；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）依据题意求出
，再结合任意角三角函数的定义与诱导公式求解即可.
（2）利用两角和差的正余弦公式求出
，再结合同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）因为点
在单位圆上且
，
所以
且
，解得
，即
，
由三角函数的定义知，
，
因为
，且
，所以
，
所以
，
，故
．
（2）因为
，
，
解得
，故
．
17．（24-25 高一上·贵州黔西·期末）已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)
，
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数
的周
期和单调递增区间；
（2）先求
的范围，进一步即可求解函数
在区间
上的最值.
【详解】（1）
最小正周期
，
由
，
，
得
，
，
单调递增区间为
；
（2）
，
，
，
在
上最大值为1（当
时取到），
最小值为
（当
时取到）.
18．（24-25 高一上·广西柳州·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)若
且
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知可得
，再由商数关系得
，最后应用和角正切公式、诱导公式求
的值；
（2）根据已知得
，再由
及差角正弦公式求
的值.
【详解】（1）
，
，
；
.
（2）
，
，
，
由（1）知：
，则
.
19．（24-25 高一上·河南开封·期末）如图，正方形
的边长为1，
，
分别为边
，
上的点（
，
不与点
重合），已知
．
(1)求证：
的周长为定值，并求出该定值；
(2)求
面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析，2；
(2)
.
【分析】（1）法一：设
，
，
，
，应用和角正切公式得
并变形代入
的周长为
化简即可证；法二：延长
至点
，
使
，连接
，证明
得
，进而得到
，即
可证结论；
（2）法一：由
，结合
，应用基本不等式及一元
二次不等式的解法得
，即可求最值；法二：设
，
，结合三角形全等有
，由和角正切公式得
，应用基本不等式求得
，即可求最值.
【详解】（1）法一：设
，
，
，
，则
，
，
因为
，所以
，变形得
①，
的周长为
②，
将①变形得
代入②，
所以
，
又
，所以
，
所以
的周长为定值2；
法二：延长
至点
，使
，连接
，
易得
，则
，
，
，
所以
，则
，
的周长为
.
（2）法一：
，
由①得
，当且仅当
时取等号③，
将③变形得
，
，
所以
或
（舍去），
所以
，
所以
面积的最小值为
，
法二：设
，
，则
，
，
由第一问知
，
，
所以
，
因为
，所以
，展开得
，
由基本不等式变形可得
，解得
，
所以
，所以
面积的最小值为
.
