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第07 讲 平面的基本事实与推论
课程标准
学习目标
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表
示方法；
2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号
语言描述空间点、直线、平面之间的位置
关系；
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三
个基本事实，并能解决空间线面的位置关
系问题.
1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、
符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三
个基本事实和三个推论的地位与作用
2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共
面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语
言之间的转换
3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力.
知识点01 平面的基本事实
1、基本事实1
（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
（2）图形：
（3）符号表示：A，B，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α 使A，B，C∈α
（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法
2、基本事实2
（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
（2）图形：
（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内
3、基本事实3
（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）图形：
（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l 且P∈l
（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点
【即学即练1】（2025 高一·全国·专题练习）设平面
与平面
相交于直线,直线
，直线
,
,则M
（用符号表示）．
知识点02 平面基本事实的推论
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（ ）
A．过空间中任意三点有且仅有一个平面B．两两相交的三条直线必在同一平面内
C．相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．若空间四点不共面，则任意三点不共线
题型01 平面的基本性质及辨析
【典例1】（24-25 高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳
了，这用到了（ ）
A．三点确定一个平面
B．不在同一直线上的三点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
【变式1】（24-25 高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不
共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪
些是使三条直线确定一个平面的充分条件（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【变式2】（24-25 高一·辽宁·期末）能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间的三点
B．一个点和一条直线
C．两条相交直线
D．无数点
【变式3】（24-25 高一·江苏·课后作业）已知
为平面，A，B，M，N 为点，a 为直线，下列推理错误
的是（ ）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈
，M∈β，N∈
，N∈β⇒
C．A∈
，A∈β⇒
D．A∈
，B∈
，M∈
，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M 不共线⇒
，β 重合
【变式4】（24-25 高二上·山西太原·阶段练习）两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
题型02 空间位置的画法
【典例2】（24-25 高一下·福建宁德·期中）如图所示，点
，线
，面
之间的数学符号语言关系为
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α 且P∉β.
(3)a
α， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【变式4】（2024 高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面
与平面
交于
，平面
与平面
交于
.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
题型03 空间点共线问题
【典例3】（24-25 高一下·安徽·阶段练习）如图，在正方体
中，
为棱
的中点．设
与平面
的交点为
，则（ ）
A．三点
共线，且
B．三点
不共线，且
C．三点
共线，且
D．三点
不共线，且
【变式1】（23-24 高二·上海·课堂例题）如图，在正方体
中，已知
是
的中点，且直
线
交平面
于点
，点
的位置关系是 ．
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）已知
三边所在直线分别与平面α 交于
三点，求证：
三点共线．
【变式3】（2025 高一上·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C 与平面
ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
【变式4】（2024 高一下·全国·专题练习）已知
与
所在平面相交，并且
交于一
点.若
，求证:
共线.
题型04 空间线共点问题
【典例4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体
中，E，F 分别是AB，AD 上的
点，G，H 分别是BC，CD 上的点，且四边形
是以EF，GH 为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC
相交于同一点．
【变式1】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，点H，G 分别是AD，CD 的中点，
E，F 分别是边AB，BC 上的点，且
．求证：直线
相交于一点．
【变式2】（2024 高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体
中，
分别为
的中
点．求证：
三线交于一点．
【变式3】（24-25 高一·北京·期中）空间四边形
中，
分别在
上，且满足
，
．
求证：
三线共点．
题型05 空间点共面问题
【典例5】（24-25 高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N 为正方体的两个顶点，P，Q 分
别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q 四点共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，
，
，
，分别是所在棱的中点，则这四个
点共面的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①③④
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在四棱锥
中，底面四边形
为
梯形，
．设
，
，
，
的中点分别为
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
四点共面
D．四边形
是梯形
【变式3】（24-25 高二上·上海·期中）在正方体
中，
、
分别为
与
的中点，
求证：
、
、
、
四点共面
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形
和四边形
都是梯形，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)证明：四边形
是平行四边形；
(2)
，
，
，
四点是否共面？为什么？
题型06 空间直线共面问题
【典例6】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，
，
，
．求证：直线，
，
在同一平面内．
【变式1】（19-20 高一下·全国·课后作业）如图，已知直线
直线1 与
都相交，求证：过
有且只有一个平面.
【变式2】如图，在三棱锥
中，
，
分别为
与
的重心，
，
分别为
，
的
中点.求证：
，
，
三线共面.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．不共面的四点中任意三点不共线
B．若点
，
，
，
共面，点
，
，
，
共面，则
，
，
，
，
共面
C．若直线
，
共面，直线
，共面，则直线
，不一定共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
题型07 截面问题
【典例7】（2025·江西·一模）如图，正方体
的棱长为1，
，
分别为
，
的中点，
在
上，且
，平面
与棱
所在直线交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024 高一下·全国·专题练习）（多选）在正方体
中，点
是棱
上的动点，
则过
三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形
B．矩形
C．等腰梯形
D．正方形
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，
过
，
，
作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
【变式3】（24-25 高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，四棱锥
的所有棱长都为2，E 为线段SA 的
中点，过C，D，E 三点的平面与SB 交于点F，则四边形DEFC 的周长为 .
【变式4】（2025·全国·高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5 条
B．6 条
C．7 条
D．8 条
一、单选题
1．（24-25 高二上·上海金山·期末）若点A 与直线能够确定一个平面，则点A 与直线的位置关系是
（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么
这三条直线能确定的平面个数是（ ）
A．1 或2
B．3 或4
C．1 或2 或3
D．1 或3 或4
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形一定是平面图形
B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面
C．一个平面的面积可以为
D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6 个平面
4．（23-24 高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
5．（23-24 高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（ ）
A．一条直线和直线外一点
B．对边相等的四边形
C．两条相交直线
D．两条平行直线
6．（24-25 高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体
中，E、F 分别为
、
的中
点，则下列直线中与直线
相交的是（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
7．（24-25 高二下·江西南昌·期末）在空间四边形
的边
、
、
、
上分别取点E、F、G、
H，若
与
相交于一点M，则M（ ）
A．一定在直线
上；
B．一定在直线
上；
C．可能在直线
上，也可能在直线
上；
D．不在直线
上，也不在直线
上．
8．（23-24 高一下·福建·期末）如图，在棱长为4 的正方体
中，
为棱
的中点，
为
棱
的中点，设直线
与平面
交于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
二、多选题
9．（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形
中，点
，
分别是边
的中点，
点
，
分别是边
，
上的点，且
，有以下结论正确的是（ ）
A．
与
平行；
B．
与
共面；
C．
与
的交点
可能在直线
上，也可能不在直线
上；
D．
与
的交点
一定在直线
上．
10．（23-24 高一下·广西·期末）如图，在三棱柱
中，
分别为
的中
点，则下列说法正确的是（ ）
A．
四点共面
B．
C．
三线不共点
D．
11．（23-24 高一下·山东德州·期末）棱长为2 的正方体
中，用一平面去截，则下列说法正
确的是（ ）
A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形
B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形
C．若E 为
的中点，平面
截正方体所得截面面积为
D．过棱
，
，
的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为
三、填空题
12．（24-25 高一上·陕西宝鸡·期中）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边
形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序
号是 .
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）空间5 点，其中有4 点共面，这5 个点最多可以确定 个平面．
14．（23-24 高一下·安徽·期末）在正方体
中，
分别是
的中点，
，则
过点
的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
四、解答题
15．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，
为空间四边形，点
、
分别是
、
的中点，点
、
分别在
、
上，且
，
．求证：
(1)
、
、
、
四点共面；
(2)
、
必相交且交点在直线
上．
16．（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体
中，点
、
分别是
、
的
中点．求证：
(1)直线
和
在同一平面上；
(2)直线
、
和
交于一点．
17．（23-24 高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱
内接于圆柱，圆柱底面半径为2，
圆柱高为4.若
，
分别为
，
中点.
(1)求证：
、
、
、
四点共面；
(2)若从圆柱中把该正三棱柱
挖掉，求剩余几何体的表面积.
18．（2025 高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱
中，
，
，E 为
的
中点，经过BE 的截面与棱
，
分别交于点F，G，直线BG 与EF 不平行．证明：直线BG，EF，
共点.
19．（23-24 高一下·云南大理·期中）如图，四边形
和四边形
都是梯形，
，
且
分别为
的中点.
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求证：
四点共面.
