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第10 章：复数章末重点题型复习
【题型一：复数的概念及应用】
2
例1．（23-24 高一下·广西来宾·期中）复数
（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】B
【解析】复数
的虚部为
，即虚部为
.故选：B.
变式1-1．（23-24 高一下·吉林四平·月考）复数
虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】复数
虚部是
.故选：A.
变式1-2．（23-24 高一下·甘肃白银·期中）复数
的实部与虚部之和为（ ）
A．
B．
C．8
D．6
【答案】B
【解析】因为
，所以
的实部与虚部之和为
．故选：B.
变式1-3．（23-24 高一下·广东梅州·月考）给出下列命题：
①若
R，则
是纯虚数；
②若
R 且
，则
；
③若
C，则复数
的实部为a，虚部为b；
④i 的平方等于
.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【解析】对于复数
（
R），当
且
时为纯虚数，
在①中，若
，则
不是纯虚数，①错误；
在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；
在③中，只有当
R 时，复数
的实部才为a，虚部为b，③错误；
在④中，i 的平方等于
，④正确.故选：D
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【题型二：根据复数类型求参数】
例2．（23-24 高一下·贵州贵阳·月考）复数
是实数，则
.
【答案】
【解析】根据题意
且
，
所以
且
，即
，所以
或
（舍）.
变式2-1．（23-24 高一下·重庆·月考）若复数
（为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值
为 ．
【答案】2
【解析】由于复数
（为虚数单位）是纯虚数，
所以
，解得
.
变式2-2．（22-23 高一下·河北邯郸·期中）已知复数
.
（1）若z 为实数，求m 的值.
（2）若z 为纯虚数，求m 的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意得
，得
，即
.
（2）由题意得
，得
，即
.
变式2-3．（22-23 高一下·山西朔州·月考）在复平面内，复数
．分别求出满
足下列条件的复数．
（1）在虚轴上；
（2）在实轴负半轴上；
（3）在直线
上．
【答案】（1）
或
；（2）
；（3）
【解析】（1）若复数对应的点在虚轴上，则
，
4
即
或
．此时
或
．
（2）若复数z 对应的点在实轴负半轴上，
则
，解得
，即
．
（3）若复数对应的点在直线
上，
则
，得
，即复数
．
【题型三：复数与复平面坐标对应】
例3．（23-24 高一下·重庆·期中）若复数满足
，则在复平面内复数对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】复数
在复平面内对应的点为
，其位于第二象限.故选：B
变式3-1．（23-24 高一下·山东泰安·期中）当
时，复数
在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以复数
在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.
变式3-2．（23-24 高一下·四川成都·期中）（多选）复数
在复平面内对应的点位于第四
象限，则实数
的值可能是（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】BC
【解析】由题意对应的点的坐标为
，该点在第四象限，
则
，解得
，故选：BC．
5
变式3-3．（23-24 高一下·安徽安庆·月考）已知复数
（是虚数单位），若所对
应的点在复平面的第二象限内，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知
，解得
．
【题型四：利用复数相等求参数】
例4．（23-24 高一下·黑龙江绥化·月考）已知
，其中
是实数，则
.
【答案】0
【解析】因为
，
所以
，解得x=2, y=−2，所以
.
变式4-1．（23-24 高一下·广西南宁·期中）若实数
，
满足
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为实数
，
满足
，
所以
，则
.故选：B
变式4-2．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数
，
，并且
，则
．
【答案】
【解析】由题意
，所以
，
从而
，
注意到
的取值范围是
，所以
的取值范围是
.
6
变式4-3．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）若复数z 满足
，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚
部为 .
【答案】
【解析】令
，
所以
，可得
，其虚部为
.
【题型五：复数模的计算】
例5．（23-24 高一下·广东东莞·月考）复数
，则
．
【答案】
【解析】复数
，则
.
变式5-1．（23-24 高一下·贵州贵阳·月考）已知
，则
（ ）
A．4
B．1
C．2
D．不确定
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
所以
，故选：C.
变式5-2．（23-24 高一下·湖南衡阳·月考）已知满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】设
，则
，
即
，由于
，故
，解得
，
7
则
，故选：D
变式5-3．（23-24 高一下·广西南宁·月考）在复平面内，已知复数
满足
，且
，
则
.
【答案】
【解析】设
对应的复数为
，
对应的复数为
，
则
对应的复数为
，
对应的复数为
，
因为
，且
，
所以
为等腰直角三角形，且
.
作正方形AOBC，如图所示，则
对应的复数为
，故
.
【题型六：复数加减乘除计算】
例6．（23-24 高一下·安徽安庆·月考）已知i 是虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
.故选：A
变式6-1．（23-24 高一下·云南昆明·月考）设复数
在复平面内的对应点关于实轴对称，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】设
，则
在复平面内对应的点为
，
又复数
在复平面内的对应点关于实轴对称，
则
在复平面内对应的点为
，所以
，
所以
，解得
，
又
，解得
，所以
.故选：A.
变式6-2．（23-24 高一下·福建莆田·月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
变式6-3．（23-24 高一下·云南昆明·月考）已知复数
.
（1）若
，求
；
（2）若
，且
是纯虚数，求
.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】（1）∵复数
，
∴
.
（2）设
，
∵
，∴
①.
又∵
，
∴
②，
由①②联立，解得
或
，
∴
或
.
9
【题型七：复数的乘方运算】
例7．（23-24 高一下·福建泉州·月考）已知为虚数单位，若复数z 满足
，则z 的虚部为
．
【答案】
【解析】因为
，
由
可得
，故z 的虚部为
.
变式7-1．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知为虚数单位，则
．
【答案】1
【解析】
.
变式7-2．（23-24 高一下·吉林四平·月考）设复数
，
，则
.
【答案】1
【解析】
，
则
，
所以
.
变式7-3．（23-24 高一下·湖南衡阳·月考）若复数
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
又
，
，
，所以
，
所以
10
.
【题型八：共轭复数综合问题】
例8．（22-23 高一下·新疆喀什·期末）设复数
，则的共轭复数的模为（ ）
A．7
B．1
C．5
D．25
【答案】C
【解析】复数
的共轭复数为
，则其模
，故选：C.
变式8-1．（23-24 高二上·广东江门·月考）设
，
，是虚数单位，若复数
与
互为共轭复
数，则实数复数
，
的值为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】因为复数
与
互为共轭复数，所以
，故选：B.
变式8-2．（23-24 高一下·山东·期中）（多选）若复数满足
，则（ ）
A．为纯虚数
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】设复数
在复平面内对应的点为
，
因为
，即点
到点
与到点
的距离相等，
可知点
的轨迹为虚轴，即
.
对于选项A：若
，则
，故A 错误；
对于选项B：因为
在复平面内对应的点
轨迹为虚轴，
可知点
到点
与到点
的距离相等，即
，故B 正确；
对于选项C：因为
，故C 正确；
对于选项D：因为
，可知当且仅当
时，
，
11
例如
，
，两者就不相等，故D 错误；故选：BC.
变式8-3．（23-24 高一下·湖南邵阳·月考）（多选）设
，
，
为复数，
．下列命题正确的是
（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A：令
，
，
则
，
，
，
，
，
所以
，故A 正确；
对于B：由复数模的概念可知，
不能得到
，
例如
，
，则
，但
不成立，故B 错误；
对于C：由
，可得
，
因为
，所以
，即
，故C 正确；
对于D：令
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
，故D 正确.故选：ACD
【题型九：复数范围内的解方程问题】
例9．（22-23 高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知
（i 是虚数单位）是关于x 的方程
的一个
根，则
（ ）
A．9
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】由题意将
代入方程
中，得
，即
，
故
，故选：B
变式9-1．（22-23 高一下·江苏常州·期末）已知复数是方程
的一个根，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，即
.
从而
，解得
.所以
.故选：B.
变式9-2．（22-23 高一下·山东枣庄·月考）已知
，
为关于
的实系数方程
的两个虚根，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，
∴方程
的两个虚根为
，
或
，
，
不妨取
，
，则
，
，
∴
.故选：B
变式9-3．（2024 高一下·江苏·专题练习）已知复数
，i 为虚数单位.
（1）求
；
（2）若复数z 是关于x 的方程
的一个根，求实数m，n 的值.
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【答案】（1）
；（2）
；
【解析】（1）因为复数
，
所以
（2）因为复数z 是关于x 的方程
的一个根，
所以
，
可得
，即
，
所以
,解得
.
【题型十：复数的三角形式及其运算】
例10．（2024 高一下·全国·专题练习）把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，由
对应的点在第一象限，且
，
故
，即
；
（2）
，由
对应的点在第四象限，且
，
故
，即
.
变式10-1．（22-23 高一下·江西宜春·月考）已知复数的模为2，辐角为
，则
．
【答案】
【解析】因为复数的模为2，辐角为
，
14
所以
，
所以
，所以
.
变式10-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）将复数
所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所
得向量对应的复数是－
，则角
的最小正值是 ．
【答案】
【解析】∵
，
∴将复数
所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角
，
所得向量对应的复数为:
，
∴
，所以
，
取得最小正值
．
变式10-3．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
（1）
；
（2）
（运用复数的三角形式计算）．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
．
（2）∵
，
，
，
，
，
15
∴
．
