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第05 讲 同角三角函数的基本关系式
课程标准
学习目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推
导及应用；
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化
简、求值与恒等式证明。
1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核
心素养；
2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算
等核心素养。
知识点01 同角三角函数基本关系式
1、平方关系
（1）公式：
（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系
（1）公式：
（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)
关系式都成立，即与角的表达形式无关，如
成立，但是
就不一定
成立．
（2）
是
的简写，读作“
的平方”，不能将
写成
，前者是
的正弦的平
方，后者是
的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
对一切
恒成立，而
仅对
成立．
【即学即练1】（24-25 高一上·天津·月考）已知
，
是第二象限角，则
=
知识点02 常用等价变形
1、平方关系变形
2、商数关系变形
【解读】使用变形公式
，
时，“±”由
的终边所在的象限来确
定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．
【即学即练2】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，则
．
题型01 sinα、cosα、tanα 知一求二
【典例1】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）已知
，求
，
的值；
（2）已知
，
，求
的值．
【变式1】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）若
，θ 是第三象限角， 则
（ ）
A．
B．
C．4
3
D．
【变式2】（23-24 高二下·云南·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）已知
是第三象限角，且
，则
.
【变式4】（24-25 高一上·北京·阶段练习）已知
，且
则
.
题型02 根据条件等式求正余弦
【典例2】（23-24 高一上·福建泉州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三上·福建泉州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高三上·安徽六安·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·上海·期末）若
，且
，则
．
题型03 根据平方关系求参数
【典例3】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
，则实数k 的值为 .
【变式1】（24-25 高三上·河南安阳·期中）当
时，若存在实数
，使得
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．6
B．10
C．12
D．16
【变式2】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若
，
，则
．
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
，则
．
【变式4】（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
，
，其中
，求
的值.
题型04 正余弦齐次式的应用
【典例4】（24-25 高一上·广东惠州·阶段练习）已知
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【变式2】（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）已知函数
（
且
）的图象经过定点
A，且点A 在角θ 的终边上，则
（ ）
A．
B．0
C．7
D．
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若
，则
.
【变式4】（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知
，求
及
的值.
题型05 sinα·cosα、sinα±cosα 知一求二
【典例5】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α 为锐角，且
则下列选项中正确
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设
，已知
，
是方程
的两根，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 三角函数式的化简求值
【典例6】（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）化简：
，其中
是第二象限角；
（2）化简：
.
题型07 三角函数式的证明
【典例7】（23-24 高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)
；
(2)
．
【变式1】（23-24 高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)
；
(2)
.
【变式2】（24-25 高一·全国·随堂练习）求证：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式3】（23-24 高一上·江苏·课后作业）求证：
.
【变式4】（24-25 高一·全国·单元测试）求证:
.
一、单选题
1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）若
，则
=（ ）
A．
B．5
C．
D．
2．（25-26 高一上·全国·课后作业）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）若
，α 为第四象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·河南南阳·阶段练习）已知
为第二象限角，则
的值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
5．（23-24 高一上·上海·期末）若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
7．（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）已知
，且
为第三象限角，则
（ ）
A．2
B．3
C．
或3
D．2 或
9．（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（24-25 高一下·河南南阳·期中）
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
11．（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若α 为第一象限角，则
12．（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）设
，已知
，
是方程
的两根，则
下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
的终边过点
，则
.
14．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
，则
.
15．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）已知
，且
，则
．
四、解答题
16．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知
是关于
的方程
的两个根．
(1)求实数
的值；
(2)求
的值．
17．（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知
，
在第二象限，求
，
的值；
（2）已知
，求
的值；
18．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知角
的终边经过点
，求
值.
（2）已知
，计算
的值.
（3）已知
，求
（结果用
表示）
19．（24-25 高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：
.
（2）已知
是第三象限角，且
是方程
的一个实根，求
的值.
