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第05 讲 两角和与差的正弦、正切
课程标准
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行
化简求值；
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆
用、变形用。
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；
2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角
函数的求值、化简、计算等；
3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了
解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用
方法.
知识点01 两角和与差的正弦
1、公式与简记：
:sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
:sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
2、对两角和与差正弦公式的理解
（1）公式中的角
，
都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即
；
（3）注意公式的你想运用和变形运用
①公式的逆用：如
；
②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，
如
；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换，
如
，
等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。
3、辅助角公式
对于形如
的式子，可变形如下：
=
由于上式中
和
的平方和为1，故令
，
则
=
=
其中
角所在象限由
的符号确定，
角的值由
确定，
或由
和
共同确定．
【即学即练1】（24-25 高一上·上海·期末）已知
，且
都是第二象限角，则
.
知识点02 两角和与差的正切
1、公式与简记
:
.
:
.
注意：
公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。
2、两角和与差正切公式的变形
（1）
（2）
当
为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1 与切的乘积的和（或差）时常用变形（2）
【即学即练2】 （24-25 高一上·贵州毕节·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 求特殊角和与差的正弦值
【典例1】（24-25 高一下·高一随堂测试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 逆用两角和与差的正弦公式
【典例2】（24-25 高一上·福建三明·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·宁夏银川·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·河南洛阳·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式3】（（24-25 高一上·河南商丘·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 利用和差正弦公式给值求值
【典例3】（24-25 高一下·辽宁·期中）若
，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知角
的终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·云南昆明·期中）角
的终边上有一点
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高三上·贵州黔西·阶段练习）已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一下·四川宜宾·期中）设
，
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 利用和差正弦公式给值求角
【典例4】（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角
，
满足
，
，且
，
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知
为三角形的两个内角，
，
则
=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【变式3】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知
，
．若
，
，则
的值是 ．
【变式4】（24-25 高一上·上海·期末）已知
，且
的终边与
的终边关于
轴对称，则
.
题型05 辅助角公式的应用
【典例5】（24-25 高一上·全国·课后作业）定义行列式运算
，则
的最
大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·广东梅州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·北京·期中）函数
的图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 求特殊角和差的正切值
【典例6】（24-25 高一下·全国·随堂练习）
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·全国·阶段测试）
．
题型07 和差正切公式的逆用及变形
【典例7】（23-24 高一上·河南·期末）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·四川成都·期中）式子
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】（23-24 高一下·江西·期末）
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式4】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
题型08 利用和差正切公式给值求值
【典例8】（24-25 高一上·河北沧州·期末）已知
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·河南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·山西吕梁·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
题型09 利用和差正切公式给值求角
【典例9】（2025 高三·全国·专题练习）若
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）已知
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·广东深圳·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）已知
，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 和差公式的综合应用
【典例10】（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【变式1】（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）已知角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式3】（24-25 高一下·重庆渝中·开学考试）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
的顶点与
重合，始边与
轴的非
负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高一下·江西赣州·阶段练习）求值
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
6．（24-25 高一上·新疆昌吉·期末）已知
，
都是锐角，
则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一上·湖南长沙·期末）计算：
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
8．（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一上·福建厦门·期末）已知
，
分别为第一、第三象限角，且
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知
，
，下列选
项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一下·江苏镇江·阶段练习）已知
，且
，则以下结论正确
的是（ ）
A．
B．
有最大值
C．
有最大值
D．
有最小值
三、填空题
12．（24-25 高一上·广西河池·期末）在
中，若
，则
的值为 .
13．（24-25 高一上·天津南开·期末）已知
、
为锐角，
，
，则
.
14．（24-25 高一上·云南昆明·期末）已知
，
，
，
，
则
的值为 ．
四、解答题
15．（24-25 高一上·重庆长寿·期末）已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
16．（24-25 高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系
中，以
轴非负半轴为始边作角
与
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
．
(1)若
，求点
的坐标；
(2)若
，求
．
17．（24-25 高一上·贵州黔西·期末）已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
18．（24-25 高一上·广西柳州·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)若
且
，求
的值.
19．（24-25 高一上·河南开封·期末）如图，正方形
的边长为1，
，
分别为边
，
上的点（
，
不与点
重合），已知
．
(1)求证：
的周长为定值，并求出该定值；
(2)求
面积的最小值．
