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第07 讲 正弦函数的性质与图像
课程标准
学习目标
1. 掌握
的周期性、奇偶
性、单调性和最值；
2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题；
3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象。
1.了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几
何法”作出正弦函数的图象，重点提升直观想象核心
素养；
2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调
区间和最值，并能利用正弦函数的图象与性质解决相
关问题，重点提升数学运算核心素养。
知识点01 正弦函数的性质
1、定义域与值域：
定义域为
，值域为
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
2、奇偶性：
正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
3、周期性：
(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝
f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T 称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
的正数就称为f(x)的最小正周期．
4、单调性：
在
上单调递增，在
上单调递减（k ∈Z ）；
5、正弦函数的零点：
正弦函数
的零点是
【即学即练1】
1．（23-24 高一上·陕西西安·期末）使得函数
为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可.
【详解】由
的图象与性质可知
时，函数单调递减，且函数值为负数.
故选：C
2．（24-25 高一上·天津南开·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．曲线
关于直线
对称
C．曲线
关于点
对称
D．曲线
关于直线
对称
【答案】B
【分析】将
化简，根据正弦函数的性质求解判断即可.
【详解】由
，
A：因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，错误；
B，D：因为
的对称轴为
，
，故B 正确，D 错误；
C：因为
的对称中心为
，
，错误.
故选：B
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程
；对称中心
（k ∈Z ）
3、五个关键点：
,
,
,
,
【解读】（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平
滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练2】（24-25 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数
，
(1)用五点法画函数
的图象；
(2)讨论函数
图象与直线
（为常数）的交点个数.
【答案】(1)图象见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象；
（2）先根据
图象再分情况数形结合得出个数即可.
【详解】（1）由题意，列表：
0
1
0
-1
0
1
2
1
1
根据五点，作图：
（2）
其图象如图：
观察图象得：当
或
时，有0 个交点；
当
或
时，有1 个交点；
当
或
时，有2 个交点；
当
时，有3 个交点.
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【典例1】（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）列表描点连线五点作图画
在
上的图像.
【分析】利用五点法列表求值，再描点画图即可.
【详解】(1)列表:
描点作图：
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）
用“五点法”作出函数的简图？
【答案】答案见解析
【分析】根据正弦函数图象的列表、描点、连线即可得结论.
【详解】列表：
0
0
1
0
0
1
0
1
2
1
描点连线，其图象如图所示．
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)
，
；
(2)
，
.
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用“五点法”按照列表、描点、连线的过程画出函数图象；
（2）列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像.
【详解】（1）因为
，
列表：
描点、连线，函数图象如下图所示：
（2）因为
的定义域为R，关于原点对称，
，故
为偶函数，
解：列表
x
0
0
1
0
1
0
作图：先作出
的图像，又原函数是偶函数，
图像关于y 轴对称，即可作出
的图像.
题型02 正弦函数的单调性
【典例2】下列关于函数
，
的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在
上单调递增，在
上单调递减
B．在
上单调递增，在
上单调递减
C．在
及
上单调递增，在
上单调递减
D．在
上单调递增，在
及
上单调递减
【答案】C
【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.
【详解】解：
，
当
时，函数y 单调递增；当
时，函数y 单调递减；当
时，函数y 单调递增．
故只有C 正确．
故选：
【变式1】（23-24 高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】对于ABC：
，
，
均在区间
上单调递减，错误；
对于D：
在区间
上单调递增，正确；
故选：D.
【变式2】函数
的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
的图象与性质得
的单调减区间.
【详解】由
的图象与性质，
的单调减区间为
，
，所以D 符合题意.
故选：D.
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：
(1)
；
(2)
；
【详解】（1）函数
的递增区间为
，
，
递减区间为
，
，
则函数
的递增区间为
，
，
递减区间为
，
，
（2）因为求
的单调增区间即求
的单调减区间，
因为求
的单调减区间即求
的单调增区间，
所以
的单调递增区间为
，
；
单调递减区间为
，
.
题型03 含sinx 函数的奇偶性
【典例3】（24-25 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
，则“
”是“函数
是偶函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义计算求参，再根据充分不必要条件定义判断即可.
【详解】当
时，
，可得
，所以
是偶
函数；
函数
，因为
是偶函数，所以
，
所以
，所以
，即
，不能得出
;
故“
”是“函数
是偶函数”的充分不必要条件.
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·吉林长春·期末）下列函数是奇函数且在区间
上是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可；
【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在
内为增函数，又
，故A 正确；
对于B，
，不是奇函数，故B 错误；
对于C，
为偶函数，故C 错误；
对于D，
在区间(0,1)上是减函数；故D 错误；
故选：A.
【变式2】（23-24 高一上·四川凉山·期末）已知函数
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】设
与
相加可得答案.
【详解】因为
，所以
，
设
，
可得
，解得
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
，若
，
则
．
【答案】
【分析】由题设知函数
为奇函数，再利用奇函数特征代入计算即得.
【详解】令
，则
的定义域为
，
因为
，
所以函数
为奇函数，
由
得，
.
故答案为：
.
题型04 正弦函数的值域与最值
【典例4】（24-25 高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的基本性质可求得原函数的值域.
【详解】因为
，则
，故
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解正弦函数的值域，得到
，进而利用补集和交集概念求出答案.
【详解】
，故
或x>1)，
故
或x>1)
，
即
.
故选：B
【变式2】函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由正弦函数性质可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
；
时，
；
时，
，
所以函数
，
的值域是
.
故选：B.
【变式3】（23-24 高一下·上海·期中）函数
最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据
即可求解.
【详解】因为
，
所以当
时，函数
有最大值为
.
故答案为：3.
【变式4】（24-25 高一·上海·随堂练习）函数
，
的值域是 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到
，进而求得函数的值域.
【详解】当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
所以值域为
，
综上所以
．
图象为：
故答案为：
【变式5】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解法一：
因为
，所以
∴
或
，∴
或
故
的值域为
解法二：由
，得
，易知
，
所以
，则
，解得
或
故
的值域为
．故选：B．
题型05 由正弦函数图象解不等式
【典例5】（24-25 高一上·全国·课后作业）在
上，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π]上，函数
的定义域满足
，
即
，结合图象，知道
．
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·上海·课后作业）在
内，不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，作出正弦函数的图象，再结合图象求解不等式.
【详解】画出
，
的草图如下：
当
时，由
，得
，又
，
观察图象，当
时，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
【变式2】（23-24 高一下·上海徐汇·期中）函数
的定义域为
【答案】
【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【详解】
由题意得：
，
解得：
或
，
故函数的定义域是
，
故答案为：
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）当
时，求使
有意义的x 的取值范围．
【答案】
或
【分析】由题意只需解不等式
即可，结合三角函数、对数函数性质即可得解.
【详解】要使该式有意义，
需满足
，
即
，作出正弦函数图象，如图所示．
由图象知
的定义域为
．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课前预习）求函数
的定义域．
【答案】
．
【分析】由被开方数非负得不等式，先利用同角三角函数关系将余弦化正弦，再把
看作整体解不等式，
然后借助正弦函数图象可得.
【详解】要使函数有意义，需满足
，
即
，
解得
，由正弦函数的图象，可得
．
题型06 利用单调性比较大小
【典例6】（23-24 高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小：
(1)
和
；
(2)
和
.
【答案】(1)
.
(2)
【分析】(1)利用正弦函数
在
上的单调性比较大小；
(2)利用正弦函数在
在
上的单调性比较大小.
【详解】（1）因为
，
正弦函数
在区间
上是增函数,
所以
.
（2）
，
，又
，
正弦函数
在区间
上是增函数,
所以
，即
.
【变式1】（24-25 高一上·全国·随堂练习）下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据诱导公式得到
和
，再结合正弦函数的单调性可得到
从而可确定答案．
【详解】因为
，
，
由正弦函数的单调性得
，即
.
故选：A
【变式2】令
，
，判断a 与b 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
.
故选：B
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
与
；
(2)
与
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有
，
，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】（1）由
，函数
在
上单调递增，
所以
.
（2）由于
，
，
因为函数
在
上单调递增，
由
可得
，所以
，
所以
.
题型07 正弦函数的零点问题
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的图象与直线
交点的个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】画出
的图象，观察其与直线
的交点个数即可.
【详解】
的图象如图所示，
由图可知其与直线
有2 个交点.
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·广东茂名·期中）（多选）函数
的图像与直线
（
为常
数）的交点可能有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】ABD
【分析】画出函数
，
的图象，再利用数形结合判断交点个数.
【详解】首先画出函数
，
的图象，
当
时，有0 个交点；当
时，有1 个交点；当0<a<1时，有3 个交点；当
时，有1 个交点；
当
时，有0 个交点.
故选：ABD
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）设
为常数，若满足
，且
的
的值只有一
个，则实数
的值为 .
【答案】0 或2
【分析】画出
在
的图像，再结合
与
只有一个交点，即可得到答案.
【详解】令
，在
上，取五个关键点，列表如下：
0
π
1
0
1
2
1
图象如图所示：
因为若满足
，且
的
的值只有一个，
所以直线
与函数
的图象在
上只有1 个交点，
结合图象可知，
或
.
故答案为：
或
【变式3】（24-25 高一·上海·随堂练习）若函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】作出
在
上的图像，由
有两个零点，得
与
在
上有两个交点，由此建立关于a 的不等式，解之即可得到实数a 的取值范围．
【详解】令
得
．
作出
在
上的图像，
如图所示．
要使函数
在
上有两个零点，
需满足
，所以
．
故答案为：
．
一、单选题
1．（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】B
【分析】将
，
代入解析式，得出函数值不等于0，利用排除法即可判断．
【详解】解：由题意，
，
时，
；
故
、
、
错误，
B．
，
，
，故符合题意；
故选：B．
2．（24-25 高一·上海·随堂练习）下面关于正弦函数
的性质中，错误的是（ ）．
A．最小正周期是2π；
B．值域是
；
C．是偶函数；
D．定义域是实数集R．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐个分析判断
【详解】根据
的图象直接可得其函数性质．
，如图：
根据图象，可得
的定义域为R，
值域是
，图象关于原点对称，是奇函数，
所以ABD 正确，C 错误．
故选：C．
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的简图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用排除法分析判断即可
【详解】因为当
时，
，
所以排除B，C，D，
故选：A．
4．（23-24 高一下·江西景德镇·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】对于函数
，
令
，即
，解得
，
所以函数的定义域为
.
故选：A
5．（24-25 高一上·四川泸州·期末）函数
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】整理可得
，结合正弦函数性质分析求解即可.
【详解】因为
，则
，
可得：
，当且仅当
时，等号成立，
所以函数
取得最小值时，
.
故选：C.
6．（24-25 高三上·山东枣庄·期中）若函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由
，构造奇函数
，再根据奇函数的性质
即可得解.
【详解】
，
令
，
因为函数
的最大值为
，最小值为
，
所以函数
的最大值为
，最小值为
，
因为
，
所以函数
是奇函数，
所以
，即
，所以
.
故选：B.
7．（24-25 高一上·天津西青·期末）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．
【详解】函数
的零点转化为
与
的图象的交点的横坐标，
因为零点分别为
，
在坐标系中画出
与
的图象如图：
可知
，满足
，
故选：A
8．（23-24 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的
值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题可得
，观察函数图象得出
的最大值和最小值即可判断.
【详解】
的定义域为
，值域为
，
则
，则观察
函数图象可得，
的最大值为
，
的最小值为
，
，故可能是
.
故选：ABC.
二、多选题
9．（23-24 高一下·陕西·阶段练习）函数
图象与直线
（为常数）公共点的个数可
能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】ABC
【分析】作出三角函数的图象与直线，数形结合可得.
【详解】如图，作出函数
的图象，随直线
的变化，公共点的个数可能是
.
故选：ABC.
10．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为1
B．
在
上是增函数
C．
为
的一个周期
D．
在
上有两个零点
【答案】AC
【分析】利用数形结合即可作出判断.
【详解】作出函数
图象，如图：
根据图象可知：
的最大值为1，故A 正确，
在
上是减函数，故B 错误，
为
的一个周期，故C 正确，
在
上有三个零点，故D 错误，
故选：AC.
11．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是
的最小正周期
C．
在区间
上单调递增
D．
的值域为
【答案】ACD
【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在
时
的值域判断D.
【详解】A，由
可知
，
，定义域为
，
故定义域关于原点对称，又
，所以函数为偶函数，故A 正确；
B，取
，则
，
，即
，
所以
不是函数的周期，故B 错误；
C，当
时，
，令
且为减函数，
而
在
时单调递减，
所以由复合函数的单调性知，
单调递增，故C 正确；
D，由
为偶函数，只需研究
时
的值域，
当
时，
，
因为
，
即
时，
是函数的一个周期，
当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
当
时，
，
令
，则
在
上是增函数，所以
，
当
时，
，所以
，
综上
的值域为
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．函数
在
上的递增区间为 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的单调区间即可求解.
【详解】因为
在
上的递增区间为
，
所以函数
在
上的递增区间为
，
故答案为：
.
13．（24-25 高一上·上海·期末）若关于
的方程
在
上有解，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【分析】分
和
两种情况讨论，
时显然不成立，
时，
，根据
可
求得
的取值范围.
【详解】当
时，显然不成立.
当
时，
，又
，所以
，
当
时，无解；当
时，解得
；
所以
.
故答案为：
14．（24-25 高一上·天津·期末）设函数
，若[x]表示不超过x 的最大整数，则函数
的值域是 .
【答案】
【分析】先将分式化简变形，再根据正弦函数的值域来确定
的取值范围，最后根据取整函数得到结果.
【详解】
，
因为
，所以
，
则
，即
，
所以
，则
，
根据取整函数的定义可得函数
的值域是
，
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）
，
用“五点法”作出函数的简图
【答案】图像见解析
【分析】根据五点作图法，先列表，再描点连线即可得到图象.
【详解】列表：
0
0
1
0
0
0
描点，并用光滑曲线连接起来，如图所示．
16．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知集合
，
.
(1)当
时，设全集
，求
；
(2)若
，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意化简集合
，再根据并集和补集运算求解即可；
（2）由题意可知
，结合包含关系列式求解即可.
【详解】（1）因为
，
当
时，则
，可得
，
所以
.
（2）若
，则
，
可得
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
