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第05 讲 同角三角函数的基本关系式
课程标准
学习目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推
导及应用；
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化
简、求值与恒等式证明。
1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核
心素养；
2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算
等核心素养。
知识点01 同角三角函数基本关系式
1、平方关系
（1）公式：
（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系
（1）公式：
（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)
关系式都成立，即与角的表达形式无关，如
成立，但是
就不一定
成立．
（2）
是
的简写，读作“
的平方”，不能将
写成
，前者是
的正弦的平
方，后者是
的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
对一切
恒成立，而
仅对
成立．
【即学即练1】（24-25 高一上·天津·月考）已知
，
是第二象限角，则
=
【答案】
【解析】由
，
是第二象限角，得
，
所以
.
知识点02 常用等价变形
1、平方关系变形
2、商数关系变形
【解读】使用变形公式
，
时，“±”由
的终边所在的象限来确
定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．
【即学即练2】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，则
．
【答案】
【解析】由
两边平方得：
.
故答案为：
.
题型01 sinα、cosα、tanα 知一求二
【典例1】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）已知
，求
，
的值；
（2）已知
，
，求
的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】利用同角公式和弦切互化公式，结合不同象限角的三角函数符号来求值即可.
【详解】因为
，且
，所以
是第二或第三象限的角．
当
是第二象限角时，有
，
．
当
是第三象限角时，同理有
，
．
由已知得
由①得
，代入②得
，
所以
．又
，所以
，所以
．
【变式1】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）若
，θ 是第三象限角， 则
（ ）
A．
B．
C．4
3
D．
【答案】C
【分析】根据平方关系求得
，再结合正切公式运算求解即可.
【详解】因为
θ 是第三象限角，则
，
所以
.
故选：C.
【变式2】（23-24 高二下·云南·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由
，
，
得
，
所以
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）已知
是第三象限角，且
，则
.
【答案】
【分析】利用三角函数同角基本关系式求解即可.
【详解】因为
，且
是第三象限角，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·北京·阶段练习）已知
，且
则
.
【答案】
【分析】根据同角关系即可求解.
【详解】由
可得
，
由于
，故
，
故
，
故答案为：
.
题型02 根据条件等式求正余弦
【典例2】（23-24 高一上·福建泉州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可.
【详解】由题意
，所以
，
化简得
，因为
，所以
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式1】（23-24 高三上·福建泉州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系和
范围即可解出
，则得到答案.
【详解】因为
，则
，结合
，
解得
，则
，
故选：C.
【变式2】（23-24 高三上·安徽六安·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出
、
，即可得解.
【详解】因为
，
所以
，
即
，即
，
显然
，所以
，则
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·上海·期末）若
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】由已知条件结合平方和关系
求出
和
即可求
.
【详解】因为
，所以
，
又
即
，
故由平方和关系
得
即
，
所以
即
，故
，
所以
.
故答案为：
.
题型03 根据平方关系求参数
【典例3】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
，则实数k 的值为 .
【答案】0 或1
【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可
【详解】由于
，
．根据题意得到：
，即
，解得
.
满足
,则k 的值为0 或1.
故答案为：0 或1.
【变式1】（24-25 高三上·河南安阳·期中）当
时，若存在实数
，使得
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．6
B．10
C．12
D．16
【答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值.
【详解】因为
，所以
.
由
，得
.
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以实数
的最小值为16.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若
，
，则
．
【答案】0 或
【分析】根据
，代入整理求解得出
的值，进而得出
的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以，
，
整理可得，
，解得
或
.
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
.
综上所述，
或
.
故答案为：0 或
.
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
，则
．
【答案】
或
【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值.
【详解】由
，可得
或
，
当
时，
，
，故
；
当
时，
，
，故
.
故答案为：
或
【变式4】（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
，
，其中
，求
的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得
的可能取值，根据
为第二象限角求得
的值.
【详解】解：由
，
易得
，
解得
或1.
由
，所以
①当
时，
，
，不合题意，舍去；
②当
时，
，
，符合题意.
综上，
.
题型04 正余弦齐次式的应用
【典例4】（24-25 高一上·广东惠州·阶段练习）已知
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【分析】根据弦切互化求出
，即可代入求解.
【详解】
，解得
，故
.
故选：C
【变式2】（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）已知函数
（
且
）的图象经过定点
A，且点A 在角θ 的终边上，则
（ ）
A．
B．0
C．7
D．
【答案】D
【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可.
【详解】对于函数
（
且
），当
时，
，即
，
因为点A 在角θ 的终边上，
所以
，
于是
，
故选：D
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若
，则
.
【答案】1
【分析】利用同角的三角函数关系式，将弦的齐次式化成正切，代入计算即得.
【详解】由
.
故答案为：1.
【变式4】（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知
，求
及
的值.
【答案】
；
.
【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】由
，得
；
.
题型05 sinα·cosα、sinα±cosα 知一求二
【典例5】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，
所以
.故选：A.
【变式1】（23-24 高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α 为锐角，且
则下列选项中正确
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为
，所以
，而α 为锐角，所以
，故A 错误；
由
，两边平方可得
，故C 正确；
因为α 为锐角，
所以
，故D 正确；
由
，故B 错误.故选：CD
【变式2】（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设
，已知
，
是方程
的两根，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于
，
的方程，结合同角三角函数的关系，完
全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意，
，
是方程
的两根，则
，
由
，得
，即
，
解得
，则
，解得
，故A 错误；
对于B，
，
因为
，所以
，又
，所以
，
则
，因此
，故B 正确；
对于C，由
，解得
，
则
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确；
故选：BD.
【变式3】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由题意知
，平方求得
，结合
，化简得到
，进而逐项判定，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
可得
，
因为
，所以
，所以
，则
，
又由
，所以
，故D 正确；
联立方程组
，解得
，故A、B 正确，
由
，故C 错误.
故选：ABD.
题型06 三角函数式的化简求值
【典例6】（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化切为弦利用同角三角函数的平方关系化简得
，然后根据角的范围判断
，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，又
，
，则
，
所以
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
的关系和题中条件即可求得
的值，进而得到
的值.
【详解】因为
，
且
，
设
，则
且
，
∴
，
∴
，即
，解得
（舍）或
，
∴
，即
异号，
∴
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解.
【详解】易知
，
故
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平方关系配方和开方，结合角的象限可确定符号，即可得解.
【详解】因为
，则
，
故原式
，
故选：D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）化简：
，其中
是第二象限角；
（2）化简：
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系以及象限符号即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的关系化简计算即可.
【详解】（1）因为
是第二象限角，所以
，
则
；
（2）
.
题型07 三角函数式的证明
【典例7】（23-24 高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；
（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.
【详解】（1）左边
右边.
则恒等式成立.
（2）右边
左边.
则恒等式成立.
【变式1】（23-24 高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【详解】（1）证明：左边=
=右边.
（2）证明：左边=
=右边.
【变式2】（24-25 高一·全国·随堂练习）求证：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用平方差公式及
证明.
（2）利用提取公因式及
证明.
（3）利用通分，因式分解等式的运算结合
证明.
【详解】（1）
.
故
成立.
（2）
故
成立.
（3）
.
故
成立.
【变式3】（23-24 高一上·江苏·课后作业）求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵
，
∴
＝
.
【变式4】（24-25 高一·全国·单元测试）求证:
.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形
式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以
，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式
的分子相乘，再化简计算得出结果.
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
一、单选题
1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）若
，则
=（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出
.
【详解】由
，得
，所以
.
故选：B
2．（25-26 高一上·全国·课后作业）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可.
【详解】因为
，
所以
．
故选：B
3．（2024 高三·全国·专题练习）若
，α 为第四象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角的三角函数的平方关系可求解.
【详解】因为
，
为第四象限角，所以
.
故选：D.
4．（23-24 高一下·河南南阳·阶段练习）已知
为第二象限角，则
的值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】先根据角所在象限得到
，
，进而化简求值．
【详解】
是第二象限角，
，
，故
．
故选：B．
5．（23-24 高一上·上海·期末）若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值.
【详解】因为
，则
，所以，
.
故选：D.
6．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合
计算，并且需要分类讨论．
【详解】
且
，
，
又
，
，
解得：
或
，
当
，则
，则
；
当
，则
（舍去）；
故选：C．
7．（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知可得
，可求得
，进而可求
的值.
【详解】因为
，所以
，又
，所以
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：A.
8．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）已知
，且
为第三象限角，则
（ ）
A．2
B．3
C．
或3
D．2 或
【答案】A
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系以及角的范围计算可得结果.
【详解】易知
，
整理可得
，解得
或
，
又
为第三象限角，可得
，即
，
（舍去）；
故选：A
9．（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，代入化简求解.
【详解】原式
.
故选：A
二、多选题
10．（24-25 高一下·河南南阳·期中）
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】BD
【分析】根据角所在的象限分类讨论即可.
【详解】因为
，
所以
且
，
若
在第一象限，则
，故原式
，
若
在第二象限，则
，原式
，
若
在第三象限，则
，原式
，
若
在第四象限，则
，原式
故选：BD
11．（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若α 为第一象限角，则
【答案】AD
【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由
三角函数的符号可判断C.
【详解】对于A，
，A 正确，,；
对于B，
，B 不正确，；
对于C，∵
的范围不确定，∴
的符号不确定，故C 不正确．
对于D，∵α 为第一象限角，
∴原式
，D 正确．
故选：AD.
12．（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）设
，已知
，
是方程
的两根，则
下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于
，
的方程，结合同角三角函数的关系，完
全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意，
，
是方程
的两根，则
，
由
，得
，即
，
解得
，则
，解得
，故A 错误；
对于B，
，
因为
，所以
，又
，所以
，
则
，因此
，故B 正确；
对于C，由
，解得
，
则
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确；
故选：BD.
三、填空题
13．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
的终边过点
，则
.
【答案】
【分析】由三角函数的定义求得
，然后将齐次式化简求解即可.
【详解】由题得
，
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
，则
.
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，
又
，
则
，故
.
故答案为：
.
15．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）已知
，且
，则
．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】由
可知
，
又
，即
，
则
，
所以
，
故
.
故答案为：
.
四、解答题
16．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知
是关于
的方程
的两个根．
(1)求实数
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算
，根据韦达定理结合同角三角函数的关系式，可得
，求解可得答案；
（2）根据同角三角函数的关系式化简，代入数据计算即可．
【详解】（1）∵
是关于
的方程
的两个根，
∴
，解得
或
，
由韦达定理得
，
∵
，
解得
或
（舍），
故
．
（2）
．
17．（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知
，
在第二象限，求
，
的值；
（2）已知
，求
的值；
【答案】（1）
，
；（2）
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解；
（2）利用正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】（1）因为
，
在第二象限，
所以
，
；
（2）因为
，
所以
.
18．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知角
的终边经过点
，求
值.
（2）已知
，计算
的值.
（3）已知
，求
（结果用
表示）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）首先根据题意得到
，再根据
求解.
（2）根据已知条件得到
，再根据
求解.
（3）根据已知条件得到
，再根据
求解.
【详解】由角
的终边经过点
，可知
，
则可得
.
（2）由
，化简得
，因此
.
所以
.
（3）
，
所以
.
19．（24-25 高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：
.
（2）已知
是第三象限角，且
是方程
的一个实根，求
的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用平方关系计算可得；
（2）依题意可得
，再求出
，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】（1）
；
（2）因为
是第三象限角，所以
，
又
是方程
的一个实根，由
，解得
，
，
所以
，
所以
.
