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第06 讲 祖暅原理与几何体的体积
课程标准
学习目标
1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式；
2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求
简单几何体的体积.．
1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了
解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题；
2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简
单的实际问题.
知识点01 祖暅原理
1、祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。
2、祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两
个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。
3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课后作业）祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算
原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行
于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下
四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，
则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④
知识点02 柱、锥、台、球的体积公式
名称
体积
柱体
锥体
台体
球
其中
,
分别表示上、下底面的面积，
表示高，
表示球的半径。
【即学即练2】（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台
的上、下底面的边长分别为2 和
4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 柱体体积的有关计算
【典例1】（24-25 高三上·浙江金华·期末）以边长为1 的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到
的几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二上·重庆·期末）已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·广东·期末）某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触
地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为
300 的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（ ）
A．
立方厘米
B．
立方厘米
C．
立方厘米
D．
立方厘米
【变式3】（23-24 高一下·天津河西·期中）已知正三棱柱
的所有棱长均为
，且其体积为
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式4】（23-24 高一下·陕西西安·期中）一个长方形容器
中盛有水，侧面
为正方
形，且
．如图，当面
水平放置时，水面的高度恰好为
，那么将面
水平放置时，
水面的高度等于 ．
题型02 锥体体积的有关计算
【典例2】（23-24 高一下·云南曲靖·期末）已知圆锥的母线为
，侧面展开所成扇形的圆心角为
，
则此圆锥体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
，若
，则该四棱锥的体积为（ ）
A．48
B．18
C．16
D．8
【变式2】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为
，其底面三角形的斜二测直观图面
积为
，则三棱锥的高为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【变式3】（24-25 高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为
，且它们的体积相等，则
圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·安徽合肥·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 台体体积的有关计算
【典例3】（24-25 高三下·山东青岛·开学考试）《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，
高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2 的正方形，下底为边长为4 的正方形，高
为5”，则这个棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．100
D．140
【变式1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为
4km，侧棱长为
，则该水库的最大蓄水量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台
的高为6，且
，
，
则该正六棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为
的圆锥形封闭透
明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的
，则当
圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ）
A．
B．2dm
C．3dm
D．
题型04 球体体积的有关计算
【典例4】（24-25 高一下·全国·期末）一个平面截一球得到直径为6 的圆面，球心
到这个圆面的距离为
4，则这个球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）把直径分别为
的三个铁球熔成一个大铁球，则这
个大铁球的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）已知球的半径为
，且该球的表面积与体积的数值之比为
，
则
的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【变式3】（24-25 高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为
，则该球的体积是（ ）cm³
A．64π
B．144π
C．288π
D．216π
【变式4】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）如图，过球
的一条半径
的中点
，作垂直于该半径的平
面，所得截面圆的半径为
，则球
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高三下·山西·阶段练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是
圆心角为
的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
题型05 组合体的体积问题
【典例5】（24-25 高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆
台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积
为
，则瓶子的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·湖南张家界·期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技
创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022 年5 月，“极目一
号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032 米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪
录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 米，高19 米，若将它近似看作一个半球、一个圆
柱和一个圆台的组合体，如图2 所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（ ）
（参考数据：
，
，
，
）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·安徽阜阳·期末）如图所示，三棱台
的体积为
，
，沿
平面
截去三棱锥
，则剩余的部分几何体的体积为 .
【变式3】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在直角梯形
中，
，在梯形
内，挖去一个以
为圆心，以2 为半径的四分之一
圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕
所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面
积与体积.
【变式4】（23-24 高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球长方体和正四棱台构成．
､
已知球的半径为
，长方体的长宽和高分别为
､
，正四棱台的上下底面边长和高分别为
､
．
(1)求下部分正四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积．（结果取整数，
取3）
题型06 几何体的内切球问题
【典例6】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，在该圆
锥内有一个体积为V 的球，则该球的体积V 的最大值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为
，且该圆锥内切球（球与
圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2 和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均
相切，则这个球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为
的正四棱锥铁块磨制成一个
球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为
.
【变式4】（24-25 高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥
中，底面正三角形的边长为
，侧棱
长为
，若球
与三棱锥内切，则该三棱锥
的内切球的表面积为
题型07 几何体的外接球问题
【典例7】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
，则三棱柱
外接球的表面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为
，侧面积为
，则该三棱锥的外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为
，上下底面边长分别为
和
，所
有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥
的四个面均为直角三角形，
平面
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 祖暅原理的应用
【典例8】（24-25 高一下·云南昭通·阶段练习）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语
言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的
面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半
径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为
R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面
去截这两个几何体时，所截得的截面面
积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面
去截半径为R 的半球，
且球心到平面
的距离为
，则平面
所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积
是 ．
【变式1】（23-24 高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6 世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学
家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处
的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦
列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为
，高皆
为
的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面
上，以平行于平面
的平面于距平面
任
意高
处可横截得到
及
两截面，可以证明
总成立.据此，
为
，
为
的椭球体的体
积是
.
【变式2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏
晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何
体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果
两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，
下底面边长为2，高为3 的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为
．
【变式3】（23-24 高一下·浙江·期中）祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.
“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更
详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面
的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为
的球体，平
面
与球相交，截面为圆
，延长
，交球于点
，则
垂直于圆
（
垂直于圆
内的所有直
线）.
(1)若圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为
，求圆锥DB 的表面积和体积；
(2)如图平面
上方与球体之间的部分叫球冠，若
，请你利用祖暅原理求球冠的体积.
一、单选题
1．（2025 高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油
，已知它的两底面边长分
别为
和
，则它的深度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河北衡水·三模）艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近
似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2 倍，圆锥的母线长为
，则该圆锥的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·江西吉安·期末）某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下
底面半径和母线长分别为
，
，
（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为
， 则该圆台石墩的质量约为（
取3）（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体
交于同一顶点的三条棱的中点分别记为
，如图1 所示，然后截去以
为底面的正三棱锥，截后
几何体如图2 所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3 所示的半正多面体模型．若原正方体
的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）
A．108
B．162
C．180
D．189
6．（24-25 高一·山东·期末）在
中，
，
，以BC 所在的直线为轴，其余两边旋转
一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为
，则该正方体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·江苏镇江·三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底
面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体
体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4 的正方体中，
，
，过
三点可做一截面，类似地，可做8 个
形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，该几何体是一个半正多面体
B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为
C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为
D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
10．（23-24 高一下·甘肃·期末）我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、
堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体
，按平面
斜切
一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱
锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥
称为阳马，余下的三棱锥
称为鳖臑，已知长方体中
中
，
，
，按以上操作得到鳖臑，
则关于该鳖臑下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥
由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体
B．三棱锥
由四个直角三角形组成的四面体
C．该鳖臑
的最长棱长
D．该鳖臑
的体积为4
11．（2025·云南昆明·模拟预测）“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算
球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方
盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：
“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算
出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1 为棱长为
的正方体截得的“牟合方
盖”的八分之一，图2 为棱长为
的正方体的八分之一，图3 是以底面边长为的正方体的一个底面和底
面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（ ）
A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形
B．图2 中阴影部分的面积为
C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为
D．由棱长为
的正方体截得的“牟合方盖”体积为
三、填空题
12．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台
的上下底面分别是边长为2 和4 的
正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ．
13．（23-24 高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接
而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为
4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 .
14．（24-25 高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱
的下底面圆
的内接正三角形
的边长为3，
为圆柱上底面圆
上任意一点，若三棱锥
的体积为
，则圆柱
的外接球的体积
．
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，梯形
中，
，
，
，
，
，在平面
内过点
作
，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知正三棱锥
的高为2，
，其内部有一个球与它的四
个面都相切，求：
(1)正三棱锥
的表面积；
(2)正三棱锥
内切球的表面积与体积．
17．（24-25 高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部
挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为
，高为
，圆锥母线为
.
(1)计算该模型的体积.（结果精确到
）
(2)现需使用油漆对500 个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30 元，总费用是多少？（结果精确到1
元）
18．（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱
的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三
角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积
；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
19．（24-25 高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10
毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10 毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学
家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．
不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、
深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？
(1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因；
(2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸）
(3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1 毫米，宋代一寸约为现
代31.2 毫米）
