文档文本内容
第07 讲 平面的基本事实与推论
课程标准
学习目标
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表
示方法；
2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号
语言描述空间点、直线、平面之间的位置
关系；
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三
个基本事实，并能解决空间线面的位置关
系问题.
1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、
符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三
个基本事实和三个推论的地位与作用
2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共
面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语
言之间的转换
3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力.
知识点01 平面的基本事实
1、基本事实1
（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
（2）图形：
（3）符号表示：A，B，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α 使A，B，C∈α
（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法
2、基本事实2
（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
（2）图形：
（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内
3、基本事实3
（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）图形：
（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l 且P∈l
（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点
【即学即练1】（2025 高一·全国·专题练习）设平面
与平面
相交于直线,直线
，直线
,
,则M
（用符号表示）．
【答案】
【分析】利用平面的基本性质即得.
【详解】因为
，直线
，直线
，
所以
，又平面
与平面
相交于直线，
所以点
在直线上，即
.
故答案为：
.
知识点02 平面基本事实的推论
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（ ）
A．过空间中任意三点有且仅有一个平面B．两两相交的三条直线必在同一平面内
C．相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．若空间四点不共面，则任意三点不共线
【答案】D
【分析】当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面可判断A；由平面的性质可判断BD；由空间两条
直线的位置关系可判断C.
【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A 错误；
对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B 错误；
对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C 错误；
对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D 正
确．
故选：D．
题型01 平面的基本性质及辨析
【典例1】（24-25 高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳
了，这用到了（ ）
A．三点确定一个平面
B．不在同一直线上的三点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
【答案】B
【分析】根据平面基本事实可得正确的选项.
【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线，
它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了，
故选：B.
【变式1】（24-25 高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不
共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪
些是使三条直线确定一个平面的充分条件（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项.
【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确；
②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误；
③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确.
故选：D
【变式2】（24-25 高一·辽宁·期末）能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间的三点
B．一个点和一条直线
C．两条相交直线
D．无数点
【答案】C
【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可.
【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A 不正确；
对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B 不正确；
对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C 正确；
对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D 不正确
故选：C．
【变式3】（24-25 高一·江苏·课后作业）已知
为平面，A，B，M，N 为点，a 为直线，下列推理错误
的是（ ）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈
，M∈β，N∈
，N∈β⇒
C．A∈
，A∈β⇒
D．A∈
，B∈
，M∈
，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M 不共线⇒
，β 重合
【答案】C
【分析】由平面的性质可知，
为经过A 的一条直线而不是A.
【详解】
，A∈β，
由基本事实可知
为经过A 的一条直线而不是A.
故
的写法错误.
故选：C
【变式4】（24-25 高二上·山西太原·阶段练习）两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【答案】C
【解析】根据平面的基本性质判断．
【详解】两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面
相交或重合．
故选：C．
【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3 中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，
属于基础题．
题型02 空间位置的画法
【典例2】（24-25 高一下·福建宁德·期中）如图所示，点
，线
，面
之间的数学符号语言关系为
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据点与线、点与面的属于关系，结合线面包含关系进行判断即可.
【详解】由图可知：
，
故选：B
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可．
【详解】对于A：点
在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A 正确；
对于B：直线在平面
外，则直线与平面
平行（没有交点），或直线与平面
相交（有一个交点，
记为
），
则所对应的图形如下所示：
故B 错误；
对于C：由B 可知C 正确，故C 正确；
对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，
三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D 中没有三线平行的情形，
故D 错误.
故选：AC
【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α 且P∉β.
(3)a
α， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可.
【详解】（1）如图(1)所示．
（2）如图(2)所示．
（3）如图(3)所示．
（4）如图(4)所示．
【变式4】（2024 高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面
与平面
交于
，平面
与平面
交于
.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解.
【详解】符号语言表示：平面
平面
，平面
平面
.
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点
在平面
与平面
的交线上，直线
分别在平面
内，
图形语言表示如图②所示．
题型03 空间点共线问题
【典例3】（24-25 高一下·安徽·阶段练习）如图，在正方体
中，
为棱
的中点．设
与平面
的交点为
，则（ ）
A．三点
共线，且
B．三点
不共线，且
C．三点
共线，且
D．三点
不共线，且
【答案】A
【分析】利用平面基本事实证明点O 在直线
上，再借助正方体性质说明
可得线段比例
式，即可求得答案.
【详解】在正方体
中，连接
，如图，
，故
共面，
连接
，平面
平面
，
因为M 为棱
的中点，则
平面
，
而
平面
，即
平面
，又
，则
平面
，
因AM 与平面
的交点为O，则
平面
，
于是得
，即
三点共线，
由
，
为棱
的中点，可得
且
，故
于是
得
，即
，
所以三点
共线，且
.
故选：A
【变式1】（23-24 高二·上海·课堂例题）如图，在正方体
中，已知
是
的中点，且直
线
交平面
于点
，点
的位置关系是 ．
【答案】共线
【分析】根据图示可得三点
，
，
在平面
与平面
的交线上，则可得答案.
【详解】∵
，
平面
，∴
平面
，
∵
为
中点，∴
为
中点，
∴
，
平面
，∴
平面
.
∴
是平面
和平面
的公共点；
同理可得，点
和
都是平面
和平面
的公共点，
∴三点
，
，
在平面
与平面
的交线上，
即
，
，
三点共线.
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）已知
三边所在直线分别与平面α 交于
三点，求证：
三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】∵
是不在同一直线上的三点
∴过
有一个平面
又
,且
，所以
，
设
，则
同理可证：
，
所以
三点共线
【变式3】（2025 高一上·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C 与平面
ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即
平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可.
【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．
∴BD1⊂平面A1BCD1．
同理BD1⊂平面ABC1D1．
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1．
又∵A1C⊂平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1．
∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．
【变式4】（2024 高一下·全国·专题练习）已知
与
所在平面相交，并且
交于一
点.若
，求证:
共线.
【答案】证明见解析.
【分析】先证明平面
与平面
相交于
,再根据线面关系证明
在直线
上,即可证明
三点共线.
【详解】因为
,
所以平面
平面
,
因为
平面
,
平面
,且
,
所以
,
即
三点位于同一直线
上.
题型04 空间线共点问题
【典例4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体
中，E，F 分别是AB，AD 上的
点，G，H 分别是BC，CD 上的点，且四边形
是以EF，GH 为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC
相交于同一点．
【答案】证明见解析
【分析】先设两腰EG，FH 的延长线相交于一点
，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点.
【详解】
四边形
是梯形，
其两腰所在直线必相交．
设两腰EG，FH 的延长线相交于一点
，
平面ABC，
平面ACD，
平面ABC，
平面ACD．
又
平面
平面
，
，故直线EG，FH，AC 相交于同一点．
【变式1】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，点H，G 分别是AD，CD 的中点，
E，F 分别是边AB，BC 上的点，且
．求证：直线
相交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】连接EF，GH，先证明
，且
，从而得到EH 与FG 相交，设交点为P，再证明
，进而即可结论．
【详解】如图所示，连接EF，GH，
由H，G 分别是AD，CD 的中点，则
，且
，
又
，则
，且
，
所以
，且
，所以EH 与FG 相交，设交点为P，
又
，
平面ABD，则
平面ABD，
同理
平面BCD，
又平面
平面
，则
，
所以直线
相交于一点．
【变式2】（2024 高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体
中，
分别为
的中
点．求证：
三线交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接
，可证明
四点共面，结合基本事实3 即可证明.
【详解】连接
，
因为
为
的中点，
为
的中点，所以
且
.
又因为
且
，所以
且
，
所以
四点共面，
设
.又
平面
平面
，
所以点
为平面
与平面
的公共点．
又因为平面
平面
，
所以根据基本事实3,得
，
即
三线交于一点．
【变式3】（24-25 高一·北京·期中）空间四边形
中，
分别在
上，且满足
，
．
求证：
三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】由题意可证
且
，则四边形
为梯形，设
，可证
，得
证
三线共点．
【详解】
，
，
，
，
，又
，
，
，
四边形
为梯形，
设
，则
，而
平面ABD，所以
平面ABD ，
又
，
平面BCD，所以
平面BCD，
而平面
平面
，
，
三线共点．
题型05 空间点共面问题
【典例5】（24-25 高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N 为正方体的两个顶点，P，Q 分
别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q 四点共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图形及平行公理判断即可.
【详解】对于A：显然
、
、
在正方体的上底面，且三点不共线，
不在正方体的上底面，
所以
、
、
、
四点不共面，故A 错误；
对于B：
如图，
，即
、
、
、
四点共面，即
、
、
三点共面，且三点不共线，
又
平面
，所以
、
、
、
四点不共面，故B 错误；
对于C：显然
、
、
在正方体的下底面，且三点不共线，
不在正方体的下底面，
所以
、
、
、
四点不共面，故C 错误；
对于D：
如图，连接
，则
，又
，所以
，
所以
、
、
、
四点共面，故D 正确.
故选：D
【变式1】（24-25 高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，
，
，
，分别是所在棱的中点，则这四个
点共面的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①③④
【答案】A
【分析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④.
【详解】对于①，分别连接
，
在长方体中，因为
，
，
，分别是所在棱的中点，
所以
，
，则
，所以
四点共面.
对于②，设
为所在棱的中点，分别连接
，
由A 的讨论可得
，故
四点共面，
同理可得
，故
，同理可得
，
，
故
平面
，
平面
，所以
六点共面.
对于③，连接
，因为
，
，
，分别是所在棱的中点，
所以
，
，
故
，所以
四点共面.
对于④，连接
，因为
平面
，
平面
，且
不过点，
所以
为异面直线，
所以
四点不共面.
故选：A.
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在四棱锥
中，底面四边形
为
梯形，
．设
，
，
，
的中点分别为
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
四点共面
D．四边形
是梯形
【答案】BCD
【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可.
【详解】由题意知
，且
，所以
，故
错误；
又
，
，所以
，又
，
所以
四点共面，且四边形
是梯形．故
正确．
故选：
.
【变式3】（24-25 高二上·上海·期中）在正方体
中，
、
分别为
与
的中点，
求证：
、
、
、
四点共面
【答案】证明见解析
【分析】可得
，
，所以可得
，即可求证.
【详解】
连接
，
因为
，可知
为平行四边形，
则
，
因为
、
分别为
与
的中点，由中位线可知
，
所以
，
所以
、
、
、
四点共面.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形
和四边形
都是梯形，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)证明：四边形
是平行四边形；
(2)
，
，
，
四点是否共面？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)共面，理由见解析
【分析】（1）利用中位线的性质及平行四边形的判定定理证明即可；
（2）利用平行四边形的判定定理与性质定理得出
即可判断.
【详解】（1）由
，
分别为
，
的中点，
可得
，
又
，
，
所以
，
四边形
为平行四边形．
（2）
，
，
，
四点共面，
理由如下：由题意易知
，
四边形
为平行四边形，
．
由（1）知
，
，
与
共面．
又
，
，
，
，
四点共面．
题型06 空间直线共面问题
【典例6】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，
，
，
．求证：直线，
，
在同一平面内．
【答案】证明见解析
【分析】方法一：由
，可得和
确定一个平面
，再由
，
，可得
，
，从
而可得
，进而可得结论，
方法二：由
，可得和
确定一个平面
，由
，可得
，
确定一个平面
，然后证两
平面重合即可
【详解】证明 方法一（纳入平面法）
∵
，∴和
确定一个平面
．
∵
，∴
．又∵
，∴
．同理可证
．
∵
，
，∴
．∴直线，
，
在同一平面内．
方法二（辅助平面法）
∵
，∴和
确定一个平面
．
∵
，∴
，
确定一个平面
．
∵
，
，∴
．∵
，
，∴
．
同理可证
，
，
，
．
∴不共线的三个点
，
，
既在平面
内，又在平面
内，
∴平面
和
重合，即直线，
，
在同一平面内．
【变式1】（19-20 高一下·全国·课后作业）如图，已知直线
直线1 与
都相交，求证：过
有且只有一个平面.
【答案】证明见解析
【解析】根据
，可确定一个平面，由
在平面内可证明在平面内，或
确定一个平面α，直线
确定一个平面β，证明两平面重合亦可.
【详解】证法1：纳入法
共面.
证法2：同一法
，
确定一个平面α.
，∴直线
确定一个平面β.
又
.
∴平面α 与β 重合，故直线
共面.
【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于中档题.
【变式2】如图，在三棱锥
中，
，
分别为
与
的重心，
，
分别为
，
的
中点.求证：
，
，
三线共面.
【答案】证明见解析
【解析】连接
，
.由三棱锥的性质，知
三点不共线，则
确定一个平面
.
所以
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
.
根据三角形重心的性质，知
，
，所以
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，
，
三线共面.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．不共面的四点中任意三点不共线
B．若点
，
，
，
共面，点
，
，
，
共面，则
，
，
，
，
共面
C．若直线
，
共面，直线
，共面，则直线
，不一定共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】AC
【分析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案．
【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A 为真命题；
若点
，
，
，
共面，点
，
，
，
共面，则
，
，
，
，
可能不共面，
比如面
与面
相交于
所在直线，而
均不在该直线上，故B 为假命题；
若直线
，
共面，直线
，共面，则直线
，可能不共面，
比如若
相交，且
、
不相交，则此时
异面，故C 为真命题；
依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D 为假命题；
故选：AC．
题型07 截面问题
【典例7】（2025·江西·一模）如图，正方体
的棱长为1，
，
分别为
，
的中点，
在
上，且
，平面
与棱
所在直线交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正方体的性质可得平面
与平面
平行，利用面面平行的性质定理可得平面
与它们的交线
平行，
然后作平行线找到点
的位置，利用三角形相似即可求出
的值.
【详解】
在正方体中，根据正方体的性质可得平面
与平面
平行，
利用面面平行的性质定理可得平面
与它们的交线
平行，
所以过点
作直线
的平行线
与
延长线交于一点，
此交点即为平面
与棱
所在直线交点
，连接
，如图所示.
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
，
分别为
，
的中点，所以
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：
.
【变式1】（2024 高一下·全国·专题练习）（多选）在正方体
中，点
是棱
上的动点，
则过
三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形
B．矩形
C．等腰梯形
D．正方形
【答案】ABC
【分析】分点
与点
，
重合及点
不与点
重合，分别作出平面
，即可得答案.
【详解】解：当点
与点
重合时，截面图形为等边三角形
，如图（1）；
当点
与点
重合时，截面图形为矩形
，如图（2）；
当点
不与点
重合时，当
分别为
的中点，
则截面图形为等腰梯形
，不可能为正方形，如图（3）．
故选：ABC.
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，
过
，
，
作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
【答案】 等腰梯形
/
【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，
，
，
，
因为
，
，故
，且
．
则截面
为梯形，且为等腰梯形，
，可得梯形的高为
，所以梯形的面积为
．
故答案为：等腰梯形；
.
【变式3】（24-25 高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，四棱锥
的所有棱长都为2，E 为线段SA 的
中点，过C，D，E 三点的平面与SB 交于点F，则四边形DEFC 的周长为 .
【答案】
【分析】先根据线面平行的性质定理得出线线平行，再根据图形特征计算边长即可求出周长.
【详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以
.
因为
平面SAB，
平面SAB，所以
平面SAB.
因为
平面CDE，平面
平面
，所以
，则
.
因为E 为SA 的中点，所以F 为SB 的中点，所以
.
因为
是边长为2 的等边三角形，所以
，且
，
同理可得
，因此四边形DEFC 的周长为
.
故答案为：
【变式4】（2025·全国·高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5 条
B．6 条
C．7 条
D．8 条
【答案】B
【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案．
【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、
六边形，如图所示，
因此截面边数最多有6 条．
故选：B．
一、单选题
1．（24-25 高二上·上海金山·期末）若点A 与直线能够确定一个平面，则点A 与直线的位置关系是
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由平面的基本定理判断即可.
【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D 正确，
故选：D.
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么
这三条直线能确定的平面个数是（ ）
A．1 或2
B．3 或4
C．1 或2 或3
D．1 或3 或4
【答案】C
【分析】分三种情况讨论即可求解.
【详解】如图，在正方体
中，
①
，
，直线
，
与
可以确定1 个平面（平面
）；
②
，
，直线
，
与
可以确定2 个平面（平面
和平面
）；
③三条直线
，
，
交于一点
，它们可以确定3 个平面（平面
，平面
和平面
）．
故选：C.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形一定是平面图形
B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面
C．一个平面的面积可以为
D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6 个平面
【答案】D
【分析】利用平面图形的定义以及公理2 的推论可判断ABC 三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分
析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数.
【详解】四边相等的四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A 为假命题；
空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B 为假命题；
平面是无限延展的，所以平面不计算面积，故C 为假命题；
相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6 个平面，故D 为真命题．
故选：D．
4．（23-24 高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
【答案】D
【分析】根据平面的性质判断即可.
【详解】如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线.
故选：D.
5．（23-24 高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（ ）
A．一条直线和直线外一点
B．对边相等的四边形
C．两条相交直线
D．两条平行直线
【答案】B
【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．
【详解】对选项A：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A 错误．
对选项B：对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面，故B 正确．
对选项C：经过两条相交直线有且只有一个平面，故C 错误．
对选项D：经过两条平行直线有且只有一个平面，故D 错误；
故选：B.
6．（24-25 高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体
中，E、F 分别为
、
的中
点，则下列直线中与直线
相交的是（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】A
【分析】先确定两直线共面，再确定不平行，根据共面直线的位置关系，不是平行就是相交.
【详解】
A 选项，E、F 分别为
、
的中点，所以
，即
，所以
四点共面，因为
，
所以
与
相交，故A 正确.
B 选项，因为
平面
，
平面
，所以
与
无交点，故B 错误.
C 选项，因为
平面
，
不过点
，所以
与
异面，无交点，故C 错误.
D 选项，因为
平面
，
平面
，所以
与
无交点，故D 错误.
故选：A.
7．（24-25 高二下·江西南昌·期末）在空间四边形
的边
、
、
、
上分别取点E、F、G、
H，若
与
相交于一点M，则M（ ）
A．一定在直线
上；
B．一定在直线
上；
C．可能在直线
上，也可能在直线
上；
D．不在直线
上，也不在直线
上．
【答案】A
【分析】由公理2 知，不共线的三点确定一个平面，由于
是空间四边形，故
，
确定平面
，
，
确定平面
，再由公理1，3 可得
的位置．
【详解】由于
是空间四边形，故
，
确定平面
，
，
确定平面
．
，
，
，
面
，
面
，
，
面
，
面
面
面
故选：A．
8．（23-24 高一下·福建·期末）如图，在棱长为4 的正方体
中，
为棱
的中点，
为
棱
的中点，设直线
与平面
交于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】先作出直线
与平面
的交点
，进而求得
的长度.
【详解】在平面
中，延长
交
于P，连接
，交
于Q，
在
中，
则
又在
中，
则
.
故选：C
二、多选题
9．（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形
中，点
，
分别是边
的中点，
点
，
分别是边
，
上的点，且
，有以下结论正确的是（ ）
A．
与
平行；
B．
与
共面；
C．
与
的交点
可能在直线
上，也可能不在直线
上；
D．
与
的交点
一定在直线
上．
【答案】BD
【分析】如图所示．连接
，
，依题意，可得
，
，即可得出
共面，又
，可得
与
必相交，从而可判断出选项A 和B 的正误；设交点为
，可得点
在平面
与平面
的交线上，又
是这两个平面的交线，即可得出点
一定在直线
上，从
而判断出选项C 和D 的正误，即可求解．
【详解】如图所示．连接
，
，
依题意，可得
，
，
所以
，
所以
共面，所以选项B 正确，
因为
，
所以四边形
是梯形，
与
必相交，所以选项A 错误，
设
与
的交点为
，
因为点
在
上，故点
在平面
上．
同理，点
在平面
上，
所以点
在平面
与平面
的交线上，
又
是这两个平面的交线，所以点
一定在直线
上，故选项C 错误，选项D 正确，
故选：BD．
10．（23-24 高一下·广西·期末）如图，在三棱柱
中，
分别为
的中
点，则下列说法正确的是（ ）
A．
四点共面
B．
C．
三线不共点
D．
【答案】AB
【分析】连接
，证得
且
，可得判定A 正确、B 正确；延长
相交于点
，
结合平面的性质，可判定C 不正确；由
和
时，得到
，可判定D 错误．
【详解】对于A、B 中，如图所示，连接
，
因为
是
的中位线，所以
，且
，
又因为
，且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，且
，所以
为梯形，
所以
四点共面，所以A、B 正确；
对于C 中，如图所示，延长
相交于点
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
，所以
，
所以
三线共点，所以C 不正确；
对于D 中，因为
，当
时，
，
又
，则
，所以D 错误．
故选：AB
11．（23-24 高一下·山东德州·期末）棱长为2 的正方体
中，用一平面去截，则下列说法正
确的是（ ）
A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形
B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形
C．若E 为
的中点，平面
截正方体所得截面面积为
D．过棱
，
，
的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为
【答案】ABD
【分析】A 选项，当截面为三角形时，根据余弦定理得到
，
为锐角，得到A 正确；B
选项，假设截面为直角梯形，根据线面垂直和线面平行得到矛盾；C 选项，作出截面，得到平面
截正
方体所得截面面积；D 选项，作出辅助线，得到五边形
即为过棱
，
，
的中点作正方体
的截面，并求出各边长，得到答案.
【详解】A 选项，如图，截面为三角形，
设
，则
，
由于
，故
，
为锐角，
同理
为锐角，
故截面一定为锐角三角形，A 正确；
B 选项，如图，截面
是梯形，
，
与
不平行，
假设梯形
为直角梯形，其中
⊥
，
因为
⊥平面
，
平面
，
所以
⊥
，
因为
，
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
⊥平面
，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
，矛盾，假设不成立，
当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形，B 正确；
C 选项，取
的中点
，连接
，
则可得平面
截正方体所得截面即为平行四边形
，
因为若E 为
的中点，由勾股定理得
，
故平行四边形
为菱形，
其中
，
，
故平面
截正方体所得截面面积为
，C 错误；
D 选项，直线
交
的延长线于点
，连接
分别交
，
于点
，
连接
，则五边形
即为过棱
，
，
的中点作正方体的截面，
取
的中点
，连接
，
其中
，
，
，
故
，
，故
，
同理可得
，
其中
，
，
故截面多边形的周长为
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是
找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点
找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后
借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
三、填空题
12．（24-25 高一上·陕西宝鸡·期中）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边
形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序
号是 .
【答案】①②③
【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误，
对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误，
对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3 个平面；故③错误，
对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确，
故答案为：①②③
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）空间5 点，其中有4 点共面，这5 个点最多可以确定 个平面．
【答案】7
【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6 条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五
个点都会形成一个面，因此有6 个面，再加上4 点确定的面总共是7 个面．
【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线，
同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6 条线，
由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6 个面，
再加上4 点确定的面总共是7 个面．
故答案为：7.
14．（23-24 高一下·安徽·期末）在正方体
中，
分别是
的中点，
，则
过点
的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
【答案】
【分析】过
且过
的平面与面
的交线平行于
即为
，由此能求出过点
的平面截
该正方体所得的截面
的周长．
【详解】
正方体
中，
分别是棱
的中点，
．
平面
平面
，
平面
，
由正方体的棱长为4，
所以截面是以
为腰，
为上底，
为下底的等腰梯形，
故周长为
．
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，
为空间四边形，点
、
分别是
、
的中点，点
、
分别在
、
上，且
，
．求证：
(1)
、
、
、
四点共面；
(2)
、
必相交且交点在直线
上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面；
（2）结合面面位置关系可得证.
【详解】（1）
连接
、
，
，
由
，
分别为
，
中点，则
，
又
，
，则
，
，
、
、
、
四点共面.
（2）
由
，
，
易知
，
又
，
分别为
，
中点，即
，
，
结合（1）的结论可知，四边形
是梯形，因此直线
、
不平行，
设它们交点为
，
平面
，同理
平面
，
又平面
平面
，因此
，
即
、
必相交且交点在直线
上．
16．（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体
中，点
、
分别是
、
的
中点．求证：
(1)直线
和
在同一平面上；
(2)直线
、
和
交于一点．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解.
【分析】（1）连结
，根据点
分别是
的中点，利用平行关系的传递性得到
∥
即可;
（2）易得
与
相交，设交点为P，则能得到
平面
，
平面
，结合平面
平面
，即可得证；
【详解】（1）如图，连结
.
∵点
分别是
的中点，∴
.
∵四边形
为平行四边形，∴
，
∴
，
∴
四点共面，即
和
共面．
（2）证明：正方体
中，
∵点
分别是
的中点，∴
且
∵四边形
为平行四边形，∴
，且
∴
∥
且
∴
与
相交，设交点为P，
∵
，
平面
，∴
平面
；
又∵
，
平面
，∴
平面
，
∵平面
平面
，∴
，
∴
三线交于点P.
17．（23-24 高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱
内接于圆柱，圆柱底面半径为2，
圆柱高为4.若
，
分别为
，
中点.
(1)求证：
、
、
、
四点共面；
(2)若从圆柱中把该正三棱柱
挖掉，求剩余几何体的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证
、
、
、
四点共面，只需证明
，利用中位线定理及平行的传递性即可证
明；
（2）令
，由正弦定理
求得
，分别求出所以圆柱的侧面积
，圆柱的底面积
，正三棱
柱的侧面积
，正三棱柱的底面积
，根据剩余几何体的表面积
即可求解.
【详解】（1）由于
，
分别为
，
中点，所以
，
又
，所以
，
所以
、
、
、
四点共面；
（2）令
，则
，解得
，
所以圆柱的侧面积为
，
圆柱的底面积为
，
正三棱柱的侧面积为
，
正三棱柱的底面积为
，
所以剩余几何体的表面积
.
18．（2025 高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱
中，
，
，E 为
的
中点，经过BE 的截面与棱
，
分别交于点F，G，直线BG 与EF 不平行．证明：直线BG，EF，
共点.
【答案】证明见解析
【分析】先设
与
有一公共点，再根据基本事实3 证明该公共点在直线
上即可
【详解】
四点共面，
不平行于
，设
，
又
平面
，
平面
，
均不平行于
，
P 为平面
与
的公共点，
∵平面
平面
，
∴根据基本事实3 可得
，
∴直线BG，EF，
共点.
19．（23-24 高一下·云南大理·期中）如图，四边形
和四边形
都是梯形，
，
且
分别为
的中点.
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求证：
四点共面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得
且
，由此可得结论；
（2）由
，
可证得四边形
为平行四边形，结合（1）的结论可得
，
，
由此可知四边形
为平行四边形，得到
，由此可得四点共面.
【详解】（1）因为
分别为
的中点，则
，
，
又因为
，
，则
，
，
所以四边形
是平行四边形.
（2）因为
，
，
为
中点，则
，
，
可知四边形
为平行四边形，则
，
，
由（1）知：
，
，可得
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
即
，所以
四点共面.
