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第11 章：立体几何初步章末重点题型复习
2
【题型一：斜二测画法及其应用】
例1．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的
直观图，则原图形的周长是 cm．
【答案】8
【解析】由斜二测画法的规则知与
轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在
轴上，
可求得其长度为
，故在原平面图中其在
轴上，且其长度变为原来的
倍，即长度为
，
其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：
．
3
变式1-1．（23-24 高一下·河南濮阳·月考）如图所示，在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，若将四边形
水平放置，用斜二测画法画出它的直观图
，则四边形
的面积为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】A
【解析】依题意可知四边形
为平行四边形，则直观图
也为平行四边形，
其直观图如下所示：
又
，
，则
，
，
，
所以
，
所以
.故选：A
变式1-2．（22-23 高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形
的斜二测画法直观图为等腰梯形
．
已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的周长为
D．四边形
的面积为
【答案】D
4
【解析】对于B：如图过
作
交
于点
，
由等腰梯形
且
，又
，
，
可得
是等腰直角三角形，
即
，故B 错误；
对于A：还原平面图如下图，
则
，故A 错误；
对于C：过
作
交
于点
，则
，
由勾股定理得，
故四边形
的周长为：
，即C 错误；
对于D：四边形
的面积为：
，即D 正确.故选：D.
变式1-3．（23-24 高一下·浙江杭州·期中）水平放置的
的直观图如图，其中
，
，那么原
是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【解析】由图形知，在原
中，
，如图，
5
因为
，所以
，
，
，
又
，
.
为等边三角形.故选：A
【题型二：多面体的结构特征】
例2．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几
何体为棱柱”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由棱柱定义知棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，故满足必要性；
但有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，
例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，如图所示：
故不满足充分性，故选：B
变式2-1．（23-24 高一下·海南·月考）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
【答案】D
6
【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，
可能是棱台或组合图形，故A 错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B 错误；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C 错误；
对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D 正确.故选：D
变式2-2．（23-24 高一下·广东东莞·月考）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
【答案】C
【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，
可能是棱台或组合图形，故A 错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B 错误；
对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C 正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D 错误.故选：C.
变式2-3．（23-24 高一下·广西河池·月考）（多选）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．正四棱柱都是长方体
B．以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】AD
【解析】因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故A 正确；
以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B 错误;
如图所示几何体，
7
两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体，不是棱柱，故C 错误；
由平行关系的传递性可知，平行于同一直线的两直线平行，故D 正确.故选：AD
【题型三：旋转体的结构特征】
例3．（20-21 高一下·全国·课后作业）下列命题中正确的有（ ）
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；
④圆台的轴截面是等腰梯形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，
轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；
②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；
③半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故③错误；
④圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，④正确.
综上所述：正确的为①④故选：B
变式3-1．（22-23 高一下·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
【答案】B
【解析】对于A，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A 错误；
对于B，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B 正确；
对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C 错误；
对于D，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，
8
正方体的顶点中没有这样的点，故D 错误.故选：B.
变式3-2．（22-23 高一下·河南开封·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是矩形
B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转
所形成的曲面
C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
【答案】ABD
【解析】对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A 正确；
对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转
所形成的曲面，所以B 正确；
对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C 错误；
对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D 正确．故选：ABD．
变式3-3．（23-24 高一下·广东潮州·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
【答案】AB
【解析】A：圆柱的底面是圆面，故A 正确；
B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B 正确；
C：圆台的母线延长相交于一点，故C 错误；
D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D 错误.故选：AB
【题型四：几何体展开图的最短距离】
例4．（22-23 高二上·河北沧州·开学考试）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A 出
发经过母线
到达
的最短距离为 .
9
【答案】
【解析】把圆柱侧面沿母线
剪开摊平为一个矩形
，如图，
，所求最短距离为
．
变式4-1．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为
，半圆
，表面积为
，设母线PB 中点为
，从
点沿圆锥表面到
的最近路线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为，由题知
，解得
，
将圆锥侧面展开如图，因为
，所以
，
所以
，
所以
.故选：D
10
变式4-2．（23-24 高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为
，
，母线
（点
位
于上底面），且满足
，圆
的周长为
，一只蚂蚁从点
出发沿着圆台的侧面爬行一周到
的中点
，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为圆
的周长为
，则底面圆
的半径
，
又
，所以上底面半径为
，
将圆台的侧面沿着母线
剪开，展成平面图形，延长
、
交于点
，连接
，如图，
显然弧
的长为
，弧
的长为
，设
，则
，
，
则
，又
，即
，所以
，则
，
，
在
中由余弦定理
，
所以蚂蚁爬行的最短路程为
.故选：A
11
变式4-3．（22-23 高一下·山东潍坊·月考）如图所示，在正三棱柱
中，
，
，由
顶点
沿棱柱侧面(经过棱
)到达顶点
，与
的交点记为
，则从点
经点
到
的最短路线长为
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】如图，沿侧棱
将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，当
，
，
三点共线时，从点
经点
到
的路线最短．
所以最短路线长为
.故选：B.
变式4-4．（23-24 高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥
中，
，
．从A
拉一条细绳绕过侧棱PB 到达C 点，则细绳的最短长度为 ．
【答案】
/
【解析】如图，将侧面
展开在一个平面，
由题意
，
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在
中，
，
所以在
中，
，
由余弦定理得
，
所以
，
即细绳的最短长度为
.
【题型五：几何体表面积和体积计算】
例5．（22-23 高一下·吉林通化·期末）已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆锥母线为
，底面半径为
，则
，
所以圆锥的体积
．故选：A．
变式5-1．（23-24 高一下·重庆·月考）正三棱锥
的表面积是底面积的5 倍，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】设正三棱锥的底面边长为
，侧棱长为
，
13
则底面面积为
，侧面积为
，
且表面积是底面积的5 倍，则侧面积是底面积的4 倍，即
，
化简可得
，即
.
所以
.故选：A
变式5-2．（22-23 高一下·安徽六安·期末）在正四棱台
中，
，
，则该
四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过
，
作出截面如图所示，过点
作
，垂足为
，
因为正四棱台
中，
又由
，
所以由勾股定理可得：
，
，
又因
，故
，故梯形
为等腰梯形，所以
，
故
，
所以，该四棱台的体积为
.
故选：D.
变式5-3．（2023·安徽马鞍山·一模）（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为
，
，母线
长为2，点
为
的中点，则（ ）
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A．圆台的体积为
B．圆台的侧面积为
C．圆台母线
与底面所成角为
D．在圆台的侧面上，从点
到点
的最短路径长为4
【答案】AC
【解析】对于A：圆台的高为
，
则圆台的体积
，A 正确；
对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为
．故B 错误；
对于C：过A 作
交底面于F，而
底面，故
底面，
∴
即为母线
与底面所成角．
在等腰梯形
中，
，∴
，
∵
为锐角，∴
．故C 正确；
对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为，下底面圆周对应的扇形半径为
，
设扇形圆心角为
，则
，则
，
由于
，则
，
即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从
到
的最短路径的长度为CE，
15
由题意可得：
．由
为
中点，∴
，
∴
．故D 错误．故选：
变式5-4．（23-24 高一下·河南·期中）已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为
.
（1）求此圆锥的体积；
（2）若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设圆锥底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长
，
显然
，解得
，圆锥的高
，
所以圆锥的体积
.
（2）设圆锥的内接圆柱的底面圆半径为
，高为
，
则有
，即
，解得
，
因此圆柱的侧面积
，
当且仅当
时取等号，所以该圆柱侧面积的最大值为
.
【题型六：祖暅原理及其应用】
例6．（22-23 高一下·江苏苏州·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期
著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，
“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1 和2，高为
，一个不规则的几
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何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．21
【答案】D
【解析】因为正六棱台的上下底面为正六边形，
所以
，
，
所以
，
由祖暅原理知该几何体的体积也为
.故选：D．
变式6-1．（22-23 高一下·重庆·月考）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描
述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相
等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高
都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R 的圆锥后
得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面
去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，
由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面
去截半径为R 的半球，且球心到
平面
的距离为
，则平面
所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
，
，
∴
，
17
∴
．故选：A.
变式6-2．（22-23 高一下·湖南长沙·期末）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖
暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任
意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1 运用祖
暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径
为2 的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），
则容器中水的体积为 .
【答案】
【解析】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径，
球体半径为
，则
，截面圆面
；
圆柱中截面小圆半径
，大圆半径为
，
则截面圆环面积
，所以
，又高度相等，
所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.
同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.
如图2，设球体和水接触的上部分为
，没和水接触的下部分为
，
小半球相当于图1 半球的截面上半部分，
其体积等于图1 中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.
已知球体半径为
，
为等边三角形，
18
，
根据祖暅原理
，
，
设图2 中轴截面为梯形
的圆台体积为
.
变式6-3．（23-24 高一下·广东深圳·月考）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，
他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意
思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原
理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1 是一补四脚帐篷的示意图，其中
曲线
和
均是以
为半径的半圆，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐
篷底面
的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个
与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为
，
设底面中心为
，截面
中心为
，则
，
，
所以
，所以截面为
的面积为
.
19
设截面截正四棱柱得四边形为A1B1C1D1，截正四棱锥得四边形为
，
底面中心
与截面
中心
之间的距离为
，
在正四棱柱中，底面正方形边长为
，高为
，
，
所以
，所以
为等腰直角三角形，
所以
，所以四边形
边长为
，
所以四边形
面积为
，
所以图2 中阴影部分的面积为
，与截面
面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即
.故选：A.
【题型七：共点共线共面的证明】
例7．（23-24 高一下·黑龙江·期中）如图，在正方体
中，
为正方形
的中心，
为直线
与平面
的交点．求证：
，
，
三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接
，
，则
，
因为
，
，
所以四边形
为平行四边形，
又
，
平面
， 则
平面
，
因为平面
平面
，
20
所以
．即
，
，
三点共线．
变式7-1．（22-23 高一下·陕西·期中）已知
分别是正方体
中
和
的中点.
（1）证明：
四点共面.
（2）证明：
三条直线交于一点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接
，因为
是正方体，
分别是
和
的中点，所以
.
又
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
，
所以
四点共面.
（2）由（1）知
，且
，
所以
和
必交于一点.
设
，
因为
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
平面
.
又平面
平面
，所以
，
所以
交于一点.
21
变式7-2．（21-22 高一·全国·假期作业）如图，在正方体
中，对角线
与平面
交
于点
，
、
交于点
，
为
的中点，
为
的中点．求证：
（1）
三点共线；
（2）
、
、
、
四点共面；
（3）
、
、
三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）∵
平面
，∴
，
平面
；
又∵
平面
，∴
平面
；
∵
、
交于点M，∴
，
；
又
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
；
又
平面
，
平面
；
∴
、
、
三点在平面
与平面
的交线上，
∴
、
、
三点共线；
（2）连接
，
∵E 为
的中点，F 为
的中点，∴
，
22
又∵
，
，∴四边形
是平行四边形，
∴
；∴
，∴E、F、C、D1 四点共面；
（3）∵平面
平面
，
设
与
交于一点P，则：
，
平面
，
∴
平面
，同理，
平面
，
∴
平面
平面
，
∴直线
、
、
三线交于一点P，即三线共点.
变式7-3．（23-24 高一下·云南大理·期中）如图，四边形
和四边形
都是梯形，
，且
分别为
的中点.
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）求证：
四点共面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为
分别为
的中点，则
，
，
又因为
，
，则
，
，
所以四边形
是平行四边形.
（2）因为
，
，
为
中点，则
，
，
可知四边形
为平行四边形，则
，
，
由（1）知：
，
，可得
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
即
，所以
四点共面.
23
【题型八：线面位置关系的命题判断】
例8．（23-24 高一下·江苏无锡·月考）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题为
真命题的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】C
【解析】A：由
，可知
、
可能平行或相交，A 错误；
B：由
，
，可知
、
可能平行或异面，B 错误；
C：由
，
，
，可知
，C 正确；
D：由
，
，
，可知
、
可能平行或异面，D 错误.故选：C
变式8-1．（23-24 高一下·云南昆明·期中）设m，n 是两条直线，
，
是两个平面，则下列命题为真命题
的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】B
【解析】m，n 是两条直线，
，
是两个平面，
对于A，若
，
，
，则由面面平行的判定定理得
，故A 错误；
对于B，若
，
，
，则由线面平行的性质得
，故B 正确；
对于C，若
，
，
，则
与
相交或平行，故C 错误；
对于D，若
，
，
，则
与
相交、平行或异面，故D 错误．故选：B.
变式8-2．（23-24 高一下·广东广州·期中）（多选）设a、b 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，
则下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
24
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为
，所以
或
与
相交或
与
异面，故选项A 错误；
对于选项B，因为
，根据垂直于同一平面的两直线平行，所以
，故选项B 正确；
对于选项C，因为
，所以
与
内的某条直线平行，又
，所以
，
又
，
，所以
，故选项C 正确；
对于选项D，因为
，所以
与
内的某条直线平行，
因为
，所以直线与
内的某条直线
平行，所以
，
因为
，
，所以
，故选项D 正确.故选：BCD.
变式8-3．（23-24 高一下·宁夏石嘴山·期中）（多选）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若
则
；
②若
则
；
③若
， 则
；
④若
则
.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】BC
【解析】①没说明直线
垂直于两平面的交线，所以不能判断
，故①错误；
②根据面面平行的性质定理，若
，则
，故②正确；
③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若
，则
，
若
，则
，故③正确；
④若
，则
平行或相交，若
，则
或相交或
，故④错误.故选：BC
【题型九：空间平行关系的证明】
例9．（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥
，底面
为矩形，
，
，
分别
是
，
，
的中点.证明：
25
（1）平面
平面
；
（2）
平面
.
【答案】（1）证明见解；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：因为
，
，
分别是
，
，
的中点，所以
,
，
又因为底面
为矩形，所以
,所以
,
又
平面
,
平面
，所以
面
.
又因为
平面
,
平面
，所以
平面
.
因为
,
平面
,所以平面
平面
.
（2）证明：因为
平面
，平面
平面
，
所以
平面
.
变式9-1．（23-24 高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱
中，过BC 的平面与上底面
交于GH（GH 与
不重合）.
（1）求证：
；
（2）若E，F，G 分别是AB，AC，
的中点，求证：平面
平面BCHG.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在三棱柱
中，
平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
故
（2）
在三棱柱
中，
26
，
，
分别是
，
，
的中点，
，
四边形
是平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
．
又
，
平面
，
平面
，
平面
．
，
平面
平面
平面
．
变式9-2．（23-24 高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥
中，
，
.
（1）若点
为
的中点，
为
的中点，求证：平面
平面
.
（2）在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，请求出
的值：若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
，理由见解析
【解析】（1）因为
，所以
为等边三角形，
因为
为
的中点，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又点
为
的中点，
为
的中点，所以
，
27
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
；
（2）存在，
，
过
作
交
与
，再过
作
，交
于
，连接
，
则
即为所求，
由
，所以
，
所以
，
在直角
，
，
所以
，所以
，
由
得
，
证明：当
时，得
，
由
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，因为
平面
，
所以
平面
.
变式9-3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点.
28
（1）求证：
平面
；
（2）若
为侧棱
的中点，求证：
平面
；
（3）设平面
平面
，求证：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）设
，连接
，因为
是平行四边形，故
，
又
为侧棱
的中点，故
.
又
平面
，
平面
，故
平面
.
（2）若
为侧棱
的中点，
，则
，
又
平面
，
平面
，故
平面
.
又
，
平面
，
平面
，故
平面
.
又
，
平面
，故平面
平面
.
又
平面
，故
平面
.
（3）因为
，
平面
，
平面
，故
平面
.
又平面
平面
，
平面
，故
【题型十：空间垂直关系的证明】
例10．（23-24 高一下·安徽六安·期中）如图，在直三棱柱
中，点
在棱
上，点
为
的中点，且平面
平面
，
，
，
.
29
（1）求证：
是
的中点；
（2）求证：
平面
；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：如图连接
，与
交于点
，
为
的中点，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
又在
中，
为
的中点，所以
是
的中点.
（2）因为
底面
，
平面
，所以
，
又
为棱
的中点，
，所以
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以
，又
，
在
和
中，
，
所以
，
即
，所以
，
又
，
、
平面
，所以
平面
.
变式10-1．（22-23 高一下·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平
面
，
，
为棱
的中点.证明：
30
（1）
平面
；
（2）平面
平面
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵
，且
为
的中点，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
∵在正方形
中，
，
又∵
，
平面
，
，∴
平面
，
又∵
平面
，∴
，
∵
，
平面
，
，∴
平面
.
（2）设
的中点为
，连接
，如图.
∵
，∴
，
又∵
，
，
，
平面
，
，∴
平面
，
∵
平面
，∴
，
又∵
，
平面
，
，∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
.
变式10-2．（22-23 高一下·吉林四平·月考）在三棱锥
中，点D 在以AB 为直径的半圆弧上，且平
面
平面ABC，
，
．
31
（1）证明：
平面BCD；
（2）当三棱锥
的体积取得最大值时，求三棱锥
的表面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为平面
平面ABC，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面ABD．
且
平面ABD，所以
．
又因为点D 在以AB 为直径的半圆弧上，则
．
且
，
平面BCD，
所以
平面BCD．
（2）过点D 作AB 的垂线DO 交AB 于点O，
因为平面
平面ABC，平面
平面
，
平面
，
所以
平面ABC，
所以当点O 为AB 的中点时，三棱锥
的体积取得最大值，则
，
因为
平面ABD，
平面ABD，所以
，
在
中，
，
由（1）知
平面BCD，
平面BCD，则
．
可得：
，
，
，
，
所以此时三棱锥
的表面积为
．
32
变式10-3．（22-23 高一下·宁夏·月考）在四棱锥
中，四边形
为矩形，平面
平面
，点
在线段
上，且
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，
，求点
到平面
的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】（1）证明：∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
∴
平面
∵
平面
，∴平面
平面
（2）∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，∴
平面
，
平面
，∴
，
又
，
平面
，
∴
平面
，所以
是三棱锥
的高，
又
平面
，
平面
，∴
，
∵
，
平面
，
∴
平面
，∵
平面
，∴
，
中，
，
设点
到平面
的距离为，
由
，得
，
即
，因为
，
∴
，解得
，
即设点
到平面
的距离为
．
33
【题型十一：异面直线所成角的求解】
例11．（22-23 高一下·江西南昌·期末）在长方体
中，
，
，则异面直
线
，
所成的角的余弦值为 .
【答案】
【解析】如图，连接
，
因为
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
则
或其补角即为异面直线
，
所成角的平面角，
在
中，
，
由余弦定理得
，
即异面直线
，
所成的角的余弦值为
.
变式11-1．（22-23 高一下·新疆喀什·期末）正方体
中，点
分别是
的中点，则
与
所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正方体
中，连接
，
34
由
分别是
的中点，得
，四边形
是正方体
的对角面，
则四边形
是矩形，于是
，即有
，
因此
是异面直线
与
所成角或其补角，
在
中，
，则
，
所以
与
所成角为
.故选：C
变式11-2．（23-24 高二上·四川成都·月考）如图所示，直三棱柱
中，
分
别是
的中点，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
分别取
的中点
，连接
，
由题意有
，
，
所以
与
所成角的大小等于
，不妨设
，则
，
所以
，
又因为
且
，所以
，
；
由余弦定理可得
，
35
所以
与
所成角的余弦值为
.故选：A.
变式11-3．（22-23 高一下·内蒙古赤峰·期末）空间四边形
的对角线
，
，
分
别为
的中点，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
的中点
，分别连接
，
因为
分别为
的中点，可得
，
所以异面直线
与
所成角，即为直线
与
所成角，即为
或其补角
因为
，所以
，
在
中，因为
且
，
所以
，
即异面直线
与
所成角的余弦值为
.故选：D
【题型十二：直线与平面所成角的求解】
36
例12．（22-23 高一下·湖北黄冈·期末）在长方体
中，
，
，则
与平
面
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，如下图所示：
在长方体
中，
平面
，则
与平面
所成的角为
，
且
，
，
因为
平面
，
平面
，则
，
所以，
，即
与平面
所成角的余弦值为
.故选：C.
变式12-1．（22-23 高一下·江苏泰州·期末）在正四棱台
中，已知
，
，
则侧棱
与底面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且
为等腰梯形，
过点
做
，过点
做
，
由线面角的定义可知，侧棱
与底面
所成角即为
，
由条件可得，
，
,
，
37
则
，
,则
，
所以
为等腰直角三角形，
所以
，即
.故选：B.
变式12-2．（22-23 高一下·安徽合肥·期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥
为阳马，侧棱
底面
，
，E 为棱PA
的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
底面
，
平面
，故可得
，
又
平面
,
故可得
平面
.
连接
,
故
即为所求直线CE 与平面PAD 所成角,
不妨设
,
故在直角三角形
中，
,
故可得
,
则
则直线 CE 与平面 PAD 所成角的余弦值为
，故选:B.
变式12-3．（22-23 高三上·贵州贵阳·月考）如图所示，在正三棱柱
中，
，则
38
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】过点
作
，连接
，
由已知
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以
为
与平面
所成角的平面角，
因为
平面
，
平面
，
所以
，所以
为直角三角形，
由已知
为等边三角形，且
，所以
，
在
中，
，
，所以
，
在
中，
，
，所以
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
.故选：B.
【题型十三：二面角的求解】
例13．（22-23 高二上·河南·开学考试）如图，在长方体
中，
为
的中点，
则二面角
的大小为（ ）
39
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，在长方体
中，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，且
，所以
即为二面角
的平面角，
又
，易得
.故选：B.
变式13-1．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所
成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设PO 为正四棱锥的高，O 为底面正方形中心，
作
于E,连接PE,则E 为BC 中点，故
,
故
即为正四棱锥侧面与底面所成的角的平面角，
因为正四棱锥的高和底面边长都为2，故
,
故
,故选：B
40
变式13-2．（22-23 高一下·四川·期末）如图1，在以
为底边的等腰
中，
，
分别是
，
上的点，
，
，将
沿
折起，得到如图2 所示的四棱锥
.若
为
的中点，
平面
，则二面角
的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，连接
交
于点
，
因为
为
的中点，
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
，
将
沿
折起，则
，
所以
即为二面角
的平面角，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
.故选：A.
变式13-3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在边长为的菱形
中，
，将
绕直线
旋转到
，使得四面体
外接球的表面积为
，则此时二面角
的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
41
【答案】A
【解析】由题意可知，
和
均为正三角形，
设
为
中点，延长
，作
交
于点
，
可得
是二面角
的平面角，
作
的中心
，则
在
上，且
，
作
，
，
，可知四面体
外接球的球心
在
上，
又
，
，
在
和
中，由
，
，
，
，解得
，
，
，二面角
的余弦值为
故选：A
【题型十四：空间距离的求解】
例14．（21-22 高一下·河南·期末）如图，在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，
，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）．
A．
B．
C．3
D．
42
【答案】A
【解析】因为
平面ABC，
平面ABC，所以
，
又因为
，即
，
因为
，所以
平面PAB，
又
平面PAB，所以
，
因为
，
，所以
，
的面积
，
设点A 到平面PBC 的距离为h，
则三棱锥
的体积
，
即
，解得
，
即点A 到平面PBC 的距离为
.故选：A.
变式14-1．（22-23 高一下·广东深圳·期中）如图，直三棱柱
的体积为6，
的面积为
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】由直三棱柱
的体积为6，可得
，
设
到平面
的距离为
，由
，
，
，解得
，
即
到平面
的距离为
.故选：B.
43
变式14-2．（22-23 高一上·山东青岛·月考）如图，正四棱柱
的底面边长为2，
，E 为
的中点，则
到平面EAC 的距离为 ．
【答案】
/
【解析】连接
，
因为
∥
，
平面
，
平面
，所以
∥平面EAC，
所以
到平面EAC 的距离等于
到平面EAC 的距离，
设
到平面EAC 的距离为
，
因为正四棱柱
的底面边长为2，
，
所以
，
因为E 为
的中点，所以
，
所以
，
所以
，
,
因为
，所以
,
所以
，解得
.
变式14-3．（22-23 高二上·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱
，
，
，
，点
为
的中点.
44
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连结
交
于
，连接
，
因为在直三棱柱
中，侧面
是平行四边形，所以
是
的中点，
又因为
为
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，
故
平面
；
（2）由（1）知
平面
，
所以直线
与平面
的距离等价于点
到平面
的距离，不妨设为，
因为
，
，所以
，
，
则
，
又因为
为
的中点，所以
，
因为在直三棱柱
中，
面
，故
，
所以在
中，
，
，
在
中，
，
45
所以在
中，
，
则
，
故
，
所以由
得
，即
，解得
，
所以直线
与平面
的距离为
.
【题型十五：空间几何体的外接球问题】
例15．（23-24·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一
个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，
则
，故该球的表面积为
.故选：C
变式15-1．（23-24·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱
的6 个顶点都在球
的表面上，若
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，在
中，
，且
，
由余弦定理得
，
设底面
的外接圆的半径为，由正弦定理得
，即
再设直三棱柱
外接球的球心为
，外接球的半径为
，
46
在直角
中，可得
，
所以球
的表面积为
.故选：B.
变式15-2．（23-24 高一下·福建泉州·月考）如图，
，
均垂直于平面
和平面
，
，
，则多面体
的外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，多面体
是棱长为
的正方体切去两个角得到的切割体，
多面体
的外接球的直径为
，即半径为
，
多面体
的外接球的表面积为
．故选:A.
变式15-3．（22-23 高一下·四川成都·月考）已知三棱锥
，其中
平面
，则三棱锥
外接球的表面积为 .
【答案】
47
【解析】根据题意设底面
的外心为G，O 为球心，所以
平面ABC，
因为
平面ABC，所以
，
设
是PA 中点，因为
，所以
，
因为
平面
平面ABC，所以
，因此
，
因此四边形ODAG 是平行四边形，故
，
∵
，∴
，
又
外接圆的半径
，由正弦定理得
，
所以该外接球的半径
满足
，
所以外接球的表面积为
.
变式15-4．（2023·安徽滁州·二模）如图，在正四棱台
中，
，且
各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示的正四棱台
取上下两个底面的中心
，连接
，
，
，
过点
作底面的垂线与
相交于点
，
因为四棱台
为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线
上，
在
上取一点
为球心，连接
，则
，设
，
48
因为
，所以
，
，
所以
为正方形，故
必在
延长线上，
在
中，
，即
，
在
中，
，即
，
解得
，所以
，故选：D.
【题型十六：空间几何体的内切球问题】
例16．（22-23 高一下·重庆长寿·期末）某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为该圆柱的底面直径和高都等于4，
所以该圆柱的内切球的半径等于该圆柱的底面半径，
则该圆柱的内切球的表面积为
.故选：B
变式16-1．（22-23 高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑.在鳖臑
中，
平面
，
，且
，则其内切球表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
49
【解析】因为四面体
四个面都为直角三角形，
平面
，
所以
，
，
设四面体
内切球的球心为
，半径为，
则
所以
，
因为四面体
的表面积为
，
又因为四面体
的体积
，所以
，
所以内切球表面积
.故选：C.
变式16-2．（23-24 高一下·湖南岳阳·月考）已知圆锥的轴截面为
为该圆锥的顶点，该圆锥内切球
的表面积为
，若
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，设内切球
与PA 相切于点
，
因为
，所以
，
由内切球的表面积为
，可得球的半径
，
则圆锥的高为
，圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的体积
.故选：A.
变式16-3．（23-24 高三上·江苏·期末）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆
台的上、下底面半径分别为
，且
，则它的内切球的体积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，画出截面图，
50
可得
，则
，
记内切球的半径为R，可知
，
过B 作
，垂足为G，
则
，
，
所以
，解得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
所以它的内切球的体积的最大值为
.
