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第10 讲 平面与平面平行
课程标准
学习目标
1.掌握平面与平面的位置关系；
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的平行
关系问题.
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断；
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，
并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命
题；
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.
知识点01 平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行⇒面面平行”)
2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.
3、图形语言：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
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【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
是两条直线，
，
是两个平面，有以下三个
命题：
①
，
相交且都在平面
，
外，
，
，
，
，则
；
②若
，
，则
；
③若
，
，
，则
．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
知识点02 平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）若平面
平面
，
，则与
的位置关系是（ ）
A．与
相交
B．与
平行
C．在
内
D．无法判定
题型01 面面平行的判断与辨析
【典例1】（24-25 高一下·河北唐山·期中）平面
与平面
平行的充分条件可以是（ ）
A．平面
内的任意一条直线都与平面
平行
B．直线
平面
，直线
平面
，且直线
不在平面
内，也不在平面
内
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C．直线
平面
，直线
平面
，且
平面
，直线
平面
D．平面
内有无穷多条直线都与平面
平行
【变式1】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）已知m，n 是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若m，n 是异面直线，
，
，
，
，则
【变式2】 （24-25 高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线，
，平面
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
，
，则
B．
，
，
，
，则
C．
，
，
，则
D．
，
，
，
，
，则
【变式3】 （24-25 高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一
定成立的是（ ）
A．这两个角相等
B．这两个角互补
C．这两个角所在的两个平面平行
D．这两个角所在的两个平面平行或重合
题型02 面面平行的证明
【典例2】（24-25 高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥
中，
，
，
，设
，
，
分别为
，
，
的中点，
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在正四棱台
中，
，
，
，E，F 分别是AD，AB 的中点．证明：平面
平面
．
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【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱
中，若
、D 分别为
、BC
的中点，求证：平面
平面
．
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）如图，多面体
中，四边形
与四边形
均为梯
形.已知点
四点共面，且
.证明：平面
平面
.
【变式4】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体
中，
分别是
棱
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
题型03 根据面面平行证明线线平行
【典例3】（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，在六面体
中，
，四边形
是平行四边形，
．
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(1)证明：平面
平面
．
(2)若G 是棱
的中点，证明：
．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形
的四个顶点A，B，C，D 均在平
行四边形
外，且
，
，
，
互相平行，求证：四边形
是平行四边形．
【变式2】（23-24 高一下·四川攀枝花·期末）如图，
平面
，
，
平面
.
求证：
；
【变式3】（23-24 高一下·重庆·期末）如图所示的直三棱柱.
的每条棱长均为2，E，F 分别
是棱
，
的中点，
，
分别是棱
，
上的点，平面
平面
，
求证：
是
的中点；
【变式4】（23-24 高一下·北京大兴·期末）如图，正方体
中，N，E，F 分别是
的中点．
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(1)求证：E，F，B，D 四点共面；
(2)设平面
与平面
交于直线，求证：
；
题型04 根据面面平行证线面平行
【典例4】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体
中，E，F，P，Q 分别是
，
，
，
的中点．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知多面体
的底面
为正方形，四边形
是平行四边形，
，
，
是
的中点.证明：
平面
.
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，
，
，点
、
在平面
的同侧，
，
，
，平面
平面
，
.求证：
平面
；
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【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在多面体
中，四边形
是菱形，且有
，
，
，
平面
，
．求证：
平面
；
【变式4】（23-24 高一下·青海·期末）如图，在三棱柱
中，
平面ABC，且D，E 分别是
棱
的中点．
证明：
平面
．
题型05 根据面面平行求值
【典例5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱
中，四边形
为平行四
边形，
，
分别在线段
，
上，且
，
在
上且平面
平面
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱
中，四边形
为平行
四边形，
分别在线段
上，且
在
上且平面
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025 高一上·全国·专题练习）已知P 为△
所在平面外一点，平面
∥平
，且
交线
段
于点
，若
，则
:
（ ）
A．2 3∶
B．2 5∶
C．4 9∶
D．4 25
∶
【变式3】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2 的正方体
中，M，P 分别是
棱
，
的中点，平面
与平面
将该正方体截成三个多面体，其中N，Q 分别在棱BC，
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上，则多面体
的表面积为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．
【变式4】（24-25 高二上·湖北恩施·期中）在正方体
中，
为棱BC 的中点，
为
棱
的三等分点（靠近点
），过点
作该正方体的截面．则该截面的周长是 ．
题型06 面面平行中的探索性问题
【典例6】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥
中，在底面
中，
，E 在棱PD 上且
.
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点N，使得平面
平面
？若存在，写出
的值；若不存在，请说明理由.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，
是等边三角形，
，
，
．若
，则在线段
上是否存在一点
，使平面
∥平面
？
若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
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【变式2】（23-24 高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
M，N，K 分别为AB，PC，PA 的中点，平面
平面
．
(1)判断直线l 与BC 的位置关系并证明；
(2)求证：
平面PAD；
(3)直线PB 上是否存在点H，使得平面
平面ABCD?若存在，求出点H 的位置，并加以证明；若不
存在，请说明理由．
【变式3】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体
中，
为
的中点．
(1)求证：
‖平面
；
(2)
上是否存在一点
，使得平面
‖平面
？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明
理由．
【变式4】（23-24 高一下·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱
中，
分别为
的中点.
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(1)求证:
平面
；
(2)棱
(含端点)上是否存在点
，使得平面
平面
?若存在求出点
，若不存在说明理由.
一、单选题
1．（24-25 高一·全国·随堂练习）点P 是平面
外一点，过点P 且平行于平面
的平面有（ ）个
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（ ）
A．l//β
B．l⊂β
C．l//β 或l⊂β
D．l，β 相交
3．（23-24 高一下·甘肃兰州·期末）平面
内两条直线
，
都平行于平面
，则
与
的关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．重合
D．不确定
4．（24-25 高一下·浙江宁波·期中）设m，n 是两条不同的直线，
，β 是两个不同的平面，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，
，则
D．若
，
，
，
，
，则
5．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知正方体
，平面
与平面
的交线为，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，
、
、
为所在棱的中点，则能得出平面
平面
的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·二模）如图，已知正方体
的棱长为2，
，
分别是棱
，
的中点，
若
为侧面
内（含边界）的动点，且
平面
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是侧面
内一点，若
平面
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
10．（23-24 高一下·河北唐山·期中）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中
为假命题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
11．（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图，已知在正方体
中，
和
分别为
和
的
中点，则（ ）
A．直线
与
为异面直线
B．正方体
过点
，
，
的截面为三角形
C．直线
平面
D．平面
平面
三、填空题
12．（2025 高一下·全国·专题练习）如图所示，平面
平面β，
，
分别在α，β 内，线段
共点于O，O 在平面α 和平面β 之间，若
，则
的面积为 .
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13．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体
中，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，
是
的中点，点
在四边形
的边上及其内部运动，则
满足
时，有
平面
．
14．（24-25 高一下·广东梅州·期末）如图，在正方体
中，M，N 分别为棱
，
的中
点，过点
、M、N 作正方体的截面
交
于点Q，则
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
M、N、Q 分别是
、
、
的中点.求证：平面
平面
.
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16．（2025 高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,
平面ADE，
．求证：
．
17．（23-24 高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点.求证：
(1)证明：
四点共面；直线
，直线
，直线
三线共点
(2)平面
平面
.
18．（24-25 高一下·山西·阶段练习）如图，在正三棱台
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，
为
上一点.
(1)若
是
的中点，求证：
平面
；
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(2)若
平面
，求点
的位置，并说明理由.
19．（24-25 高一下·浙江·期中）在正方体
中，面对角线
，
上各有一个动点
，
，使得直线
平面
.
(1)当
，
为对角线
，
的中点，
为
的中点时，证明：平面
平面
；
(2)当正方体棱长为2 时，求线段
长度的最小值.
