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第11 章：立体几何初步章末重点题型复习
2
【题型一：斜二测画法及其应用】
例1．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的
直观图，则原图形的周长是 cm．
变式1-1．（23-24 高一下·河南濮阳·月考）如图所示，在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，若将四边形
水平放置，用斜二测画法画出它的直观图
，则四边形
的面积为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
3
变式1-2．（22-23 高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形
的斜二测画法直观图为等腰梯形
．
已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的周长为
D．四边形
的面积为
变式1-3．（23-24 高一下·浙江杭州·期中）水平放置的
的直观图如图，其中
，
，那么原
是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【题型二：多面体的结构特征】
例2．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几
何体为棱柱”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式2-1．（23-24 高一下·海南·月考）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
4
变式2-2．（23-24 高一下·广东东莞·月考）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
变式2-3．（23-24 高一下·广西河池·月考）（多选）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．正四棱柱都是长方体
B．以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．平行于同一直线的两直线平行
【题型三：旋转体的结构特征】
例3．（20-21 高一下·全国·课后作业）下列命题中正确的有（ ）
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；
④圆台的轴截面是等腰梯形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式3-1．（22-23 高一下·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
变式3-2．（22-23 高一下·河南开封·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是矩形
B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转
所形成的曲面
C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
5
D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
变式3-3．（23-24 高一下·广东潮州·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
【题型四：几何体展开图的最短距离】
例4．（22-23 高二上·河北沧州·开学考试）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A 出
发经过母线
到达
的最短距离为 .
变式4-1．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为
，半圆
，表面积为
，设母线PB 中点为
，从
点沿圆锥表面到
的最近路线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（23-24 高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为
，
，母线
（点
位
于上底面），且满足
，圆
的周长为
，一只蚂蚁从点
出发沿着圆台的侧面爬行一周到
6
的中点
，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（22-23 高一下·山东潍坊·月考）如图所示，在正三棱柱
中，
，
，由
顶点
沿棱柱侧面(经过棱
)到达顶点
，与
的交点记为
，则从点
经点
到
的最短路线长为
（ ）
A．
B．
C．4
D．
变式4-4．（23-24 高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥
中，
，
．从A
拉一条细绳绕过侧棱PB 到达C 点，则细绳的最短长度为 ．
【题型五：几何体表面积和体积计算】
例5．（22-23 高一下·吉林通化·期末）已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（
）
A．
B．
C．
D．
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变式5-1．（23-24 高一下·重庆·月考）正三棱锥
的表面积是底面积的5 倍，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式5-2．（22-23 高一下·安徽六安·期末）在正四棱台
中，
，
，则该
四棱台的体积为（ ）
变式5-3．（2023·安徽马鞍山·一模）（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为
，
，母线
长为2，点
为
的中点，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台的侧面积为
C．圆台母线
与底面所成角为
D．在圆台的侧面上，从点
到点
的最短路径长为4
变式5-4．（23-24 高一下·河南·期中）已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为
.
（1）求此圆锥的体积；
（2）若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.
【题型六：祖暅原理及其应用】
例6．（22-23 高一下·江苏苏州·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期
著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，
“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1 和2，高为
，一个不规则的几
何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）
8
A．
B．
C．
D．21
变式6-1．（22-23 高一下·重庆·月考）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描
述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相
等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高
都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R 的圆锥后
得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面
去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，
由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面
去截半径为R 的半球，且球心到
平面
的距离为
，则平面
所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（22-23 高一下·湖南长沙·期末）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖
暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任
意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1 运用祖
暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径
为2 的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），
则容器中水的体积为 .
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变式6-3．（23-24 高一下·广东深圳·月考）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，
他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意
思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原
理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1 是一补四脚帐篷的示意图，其中
曲线
和
均是以
为半径的半圆，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐
篷底面
的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个
与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型七：共点共线共面的证明】
例7．（23-24 高一下·黑龙江·期中）如图，在正方体
中，
为正方形
的中心，
为直线
与平面
的交点．求证：
，
，
三点共线．
变式7-1．（22-23 高一下·陕西·期中）已知
分别是正方体
中
和
的中点.
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（1）证明：
四点共面.
（2）证明：
三条直线交于一点.
变式7-2．（21-22 高一·全国·假期作业）如图，在正方体
中，对角线
与平面
交
于点
，
、
交于点
，
为
的中点，
为
的中点．求证：
（1）
三点共线；
（2）
、
、
、
四点共面；
（3）
、
、
三线共点．
变式7-3．（23-24 高一下·云南大理·期中）如图，四边形
和四边形
都是梯形，
，且
分别为
的中点.
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（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）求证：
四点共面.
【题型八：线面位置关系的命题判断】
例8．（23-24 高一下·江苏无锡·月考）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题为
真命题的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
变式8-1．（23-24 高一下·云南昆明·期中）设m，n 是两条直线，
，
是两个平面，则下列命题为真命
题的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
变式8-2．（23-24 高一下·广东广州·期中）（多选）设a、b 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，
则下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式8-3．（23-24 高一下·宁夏石嘴山·期中）（多选）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若
则
；
②若
则
；
③若
， 则
；
④若
则
.
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其中正确命题的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【题型九：空间平行关系的证明】
例9．（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥
，底面
为矩形，
，
，
分别
是
，
，
的中点.证明：
（1）平面
平面
；
（2）
平面
.
变式9-1．（23-24 高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱
中，过BC 的平面与上底面
交于GH（GH 与
不重合）.
（1）求证：
；
（2）若E，F，G 分别是AB，AC，
的中点，求证：平面
平面BCHG.
变式9-2．（23-24 高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥
中，
，
.
13
（1）若点
为
的中点，
为
的中点，求证：平面
平面
.
（2）在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，请求出
的值：若不存在，请说明理
由.
变式9-3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
为侧棱
的中点，求证：
平面
；
（3）设平面
平面
，求证：
.
【题型十：空间垂直关系的证明】
例10．（23-24 高一下·安徽六安·期中）如图，在直三棱柱
中，点
在棱
上，点
为
的中点，且平面
平面
，
，
，
.
（1）求证：
是
的中点；
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（2）求证：
平面
；
变式10-1．（22-23 高一下·广东汕尾·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平
面
，
，
为棱
的中点.证明：
（1）
平面
；
（2）平面
平面
.
变式10-2．（22-23 高一下·吉林四平·月考）在三棱锥
中，点D 在以AB 为直径的半圆弧上，且平
面
平面ABC，
，
．
（1）证明：
平面BCD；
（2）当三棱锥
的体积取得最大值时，求三棱锥
的表面积．
变式10-3．（22-23 高一下·宁夏·月考）在四棱锥
中，四边形
为矩形，平面
平面
，点
在线段
上，且
．
15
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，
，求点
到平面
的距离．
【题型十一：异面直线所成角的求解】
例11．（22-23 高一下·江西南昌·期末）在长方体
中，
，
，则异面直
线
，
所成的角的余弦值为 .
变式11-1．（22-23 高一下·新疆喀什·期末）正方体
中，点
分别是
的中点，则
与
所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11-2．（23-24 高二上·四川成都·月考）如图所示，直三棱柱
中，
分
别是
的中点，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11-3．（22-23 高一下·内蒙古赤峰·期末）空间四边形
的对角线
，
，
分
别为
的中点，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
16
A．
B．
C．
D．
【题型十二：直线与平面所成角的求解】
例12．（22-23 高一下·湖北黄冈·期末）在长方体
中，
，
，则
与平
面
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-1．（22-23 高一下·江苏泰州·期末）在正四棱台
中，已知
，
，
则侧棱
与底面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-2．（22-23 高一下·安徽合肥·期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥
为阳马，侧棱
底面
，
，E 为棱PA
的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式12-3．（22-23 高三上·贵州贵阳·月考）如图所示，在正三棱柱
中，
，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型十三：二面角的求解】
例13．（22-23 高二上·河南·开学考试）如图，在长方体
中，
为
的中点，
则二面角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式13-1．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所
成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式13-2．（22-23 高一下·四川·期末）如图1，在以
为底边的等腰
中，
，
分别是
，
上的点，
，
，将
沿
折起，得到如图2 所示的四棱锥
.若
为
的中点，
平面
，则二面角
的余弦值等于（ ）
18
A．
B．
C．
D．
变式13-3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在边长为的菱形
中，
，将
绕直线
旋转到
，使得四面体
外接球的表面积为
，则此时二面角
的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型十四：空间距离的求解】
例14．（21-22 高一下·河南·期末）如图，在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，
，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）．
A．
B．
C．3
D．
变式14-1．（22-23 高一下·广东深圳·期中）如图，直三棱柱
的体积为6，
的面积为
，则点
到平面
的距离为（ ）
19
A．
B．
C．2
D．
变式14-2．（22-23 高一上·山东青岛·月考）如图，正四棱柱
的底面边长为2，
，E 为
的中点，则
到平面EAC 的距离为 ．
变式14-3．（22-23 高二上·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱
，
，
，
，点
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
的距离.
【题型十五：空间几何体的外接球问题】
20
例15．（23-24·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一
个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式15-1．（23-24·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱
的6 个顶点都在球
的表面上，若
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式15-2．（23-24 高一下·福建泉州·月考）如图，
，
均垂直于平面
和平面
，
，
，则多面体
的外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式15-3．（22-23 高一下·四川成都·月考）已知三棱锥
，其中
平面
，则三棱锥
外接球的表面积为 .
变式15-4．（2023·安徽滁州·二模）如图，在正四棱台
中，
，且
各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）
21
A．
B．
C．
D．
【题型十六：空间几何体的内切球问题】
例16．（22-23 高一下·重庆长寿·期末）某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
变式16-1．（22-23 高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑.在鳖臑
中，
平面
，
，且
，则其内切球表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式16-2．（23-24 高一下·湖南岳阳·月考）已知圆锥的轴截面为
为该圆锥的顶点，该圆锥内切球
的表面积为
，若
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式16-3．（23-24 高三上·江苏·期末）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆
台的上、下底面半径分别为
，且
，则它的内切球的体积的最大值为 .
