文档文本内容
第08 讲 平行直线与异面直线
课程标准
学习目标
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性
质，借助空间平行线性质，理解空间等角
定理，并会应用其解决相关问题．
2.理解异面直线的概念，会判断两条直线
是否异面．
3.了解空间四边形的定义，会应用空间平
行线的性质解决判断空间中四边形的形状
问题.
1.能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单
的相关问题；
2.理解异面直线的定义，会判断两直线异面；
3.理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题；
知识点01 平行直线与等角定理
1、空间平行线的传递性
（1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
（2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c.
（3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行.
2、等角定理
（1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（2）等角定理的两个推论
①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
（3）作用：判断和证明两个角相等或互补。
【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(
)
A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定
【答案】C
【解析】当∠B′A′C′与∠BAC 开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当∠B′A′C′与∠BAC 开口方向相反时，
∠B′A′C′＝150°.
知识点02 异面直线
1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线.
2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确：
（1）没有公共点的两条直线是异面直线
（2）直线a 在平面α 内，直线b 在平面β 内，则直线a，b 是异面直线.
【答案】（1）错误，没有公共点的两条直线也可能是平行直线．
（2）错误，异面直线是不同在任何一个平面内的直线．
知识点03 空间四边形
1.定义：顺次连接不共面的4 点所构成的图形称为空间四边形，
其中4 个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相
邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．
2．表示：用表示顶点的4 个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边
为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD.
空间四边形可以看成由四面体的4 条棱构成的图形．
【即学即练3】如图，在空间四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置
关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都可能
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位线的性质证明四边形
即可.
【详解】
连接
，易得
分别为
的中位线，
故
，
，故
.
故选：A
题型01 空间平行线的传递性
【典例1】（24-25 高一下·重庆·期中）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和
两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a
b，c
d，且a
d，那么b
c.
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】
①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一·辽宁·阶段训练）如图所示，在长方体AC1中，E，F 分别是B1O 和C1O 的中点，则
长方体的各棱中与EF 平行的有（ ）
A．3 条
B．4 条
C．5 条
D．6 条
【答案】B
【解析】
【分析】
由E，F 分别是B1O，C1O 的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】
由于E，F 分别是B1O，C1O 的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3 条：AD, BC，A1D1，所以共有4 条.
故选：B.
【变式2】（2025·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a 与d 的位
置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【解析】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选：A.
【变式3】（24-25 高一·江苏·课后作业）（2025·全国·高一课时练习）如图，把一张长方形的纸对折两次，
然后打开，得到三条折痕
，
，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
，且
与相交
C．
，且
与相交 D．
，
，两两相交
【答案】A
【解析】因为长方形的对边都是互相平行的，连续左右对折两次后，
长方形上得到三条折痕
，
，，
这三条折痕中每两条折痕又互相平行，所以三条折痕互相平行，故选：A
【变式4】（24-25 高二上·山西太原·阶段练习）直线
平面
，平面
内有无数条直线交于一点，那么
这无数条直线中与直线
平行的（ ）
A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有
【答案】B
【解析】假设有两条直线
与
平行，根据基本事实4 可知
，
这与已知
相交矛盾，故至多有一条直线，故选：B
题型02 等角定理及应用
【典例2】（24-25 高一下·福建·训练）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】B
【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB 的两条边分别垂直于∠APB 的两条边，
但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．
所以正确的命题有1 个．故选：B
【变式1】（24-25 高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一
定成立的是（ ）
A．这两个角相等
B．这两个角互补
C．这两个角所在的两个平面平行
D．这两个角所在的两个平面平行或重合
【答案】D
【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可
【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行，
若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合.
故选：D
【变式2】（23-24 高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么
这两个三角形（ ）
A．全等
B．相似
C．相似但不全等
D．不相似
【答案】B
【分析】根据等角定理进行判断.
【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况：
（1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）三组角中有一组对应角互补，如
，
，
，
又
，则
，所以
，
此时两个三角形相似；
（3）三组角中有两组对应角互补，如
，
，
，
由
，则
，这与
矛盾，故这种情况不会出现.
（4）三组对应角都互补，即
，
，
，
这与
，
矛盾，所以该情况也不会出现.
综上可知，两个三角形相似.
故选：B
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）若
，且
，
与
方向相同，则下
列结论正确的是（ ）
A．
且方向相同
B．
，方向可能不同
C．
与
不平行
D．
与
不一定平行
【答案】D
【分析】依题意画出图形，即可判断.
【详解】如图，
，
，
与
的方向相同，
但是
与
不平行，
如图，
，
，
与
的方向相同，
此时
且方向相同，
故
与
不一定平行，故D 正确.
故选：D
【变式5】（23-24 高二下·江苏·期中）在棱长为2 的正四面体
中，
，
分别为
，
的中点，
则直线
和
夹角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助等角定理与中位线的性质构造辅助线，可得与直线
和
夹角相等的角，借助正四面体
的性质得出对应边长，结合余弦定理计算即可得解.
【详解】连接
，取
中点
，连接
，
由
为
，故
，故直线
和
夹角等于直线
和
夹角，
，
，
，
则
，
故线
和
夹角的余弦值为
.
题型03 异面直线
【典例3】（2025 高三·全国·专题练习）已知点M 是平行六面体
的面对角线
上的动点，
则下列直线中与
恒为异面直线的是（ ）
A．
B．
C．CD
D．
【答案】C
【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C 正确.
【详解】对于A，当点
位于
位置时，直线
与直线
相交，故A 错误；
对于D，当点
位于
位置时，直线
与直线
相交，故D 错误；
对于B，当点
位于
的中点时，如图，
因为四边形
为平行四边形，所以
也为
的中点，
因为
，所以
四点共面，所以
与
共面，故B 错误；
对于C，直线
平面
，直线
平面
，
点
不在直线
上，所以直线
与直线
为异面直线，故C 正确；
故选：C.
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体
中，点
为线段
上的动
点，则下列直线中，始终与直线
异面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义一一判断即可.
【详解】由正方体的性质易知当
为
的中点时，
为
的中点，
而
，所以
共面，则
、
在平面
上，故A 不符题意；
因为
，即
共面，
易知
平面
，而
平面
，
，
，
故
与
异面，故B 符合题意；
当
、
重合时，易知
，
则四边形
是平行四边形，则此时
，故C 不符合题意；
当
、
重合时，显然
，
相交，故D 不符合题意.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l 与m 异面，且l 与n 异面，
则m 与n（ ）
A．异面
B．相交
C．平行
D．均有可能
【答案】D
【分析】根据题意作出图形,进行判断即可.
【详解】空间三条直线
.
若与
异面,且与
异面，则可能平行，如图，
也可能相交，如图，
也可能
与
异面，如图，
故选：D.
【变式3】（24-25 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知
为异面直线，
平面
平面
，
则（ ）
A．与
都相交
B．与
中至少一条相交
C．与
都不相交
D．至多与
中的一条相交
【答案】B
【分析】由已知得直线与
共面于平面
，与
共面于平面
，如果与
平行，则与
必相交；直线
不能与
，
都不相交，否则
；直线可以同时与，
都相交，但是交点不重合．
【详解】对于A：因为已知
，
为异面直线，
平面
，
平面
，
，
所以直线与
共面于平面
，与
共面于平面
，
如果与
平行，则与
必相交；如果与
平行与
必相交，故排除A；
对于B：直线不能与
，
都不相交，否则与
，
分别平行，
进而
，与
、
为异面直线相矛盾，再结合A 得到B 正确
对于C：直线不能与
，
都不相交，否则与
，
分别平行，
进而
，与
、
为异面直线相矛盾，由此能排除选项C；
对于D：如果与
不平行只有相交，同理，与
不平行必相交，
所以得直线可以同时与，
都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D；
故选：B．
【变式4】（24-25 高二上·上海·期中）已知直线
，若
，且
与相交，则
与的位置关系是
（ ）
A．相交
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
【答案】B
【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可.
【详解】因为
与相交，所以
与确定一个平面，不妨设为
，
又
，所以
或
，
若
，则
与相交，若
，则
与异面；
综上可得
与的位置关系是相交或异面.
故选：B
【变式5】（23-24 高二上·上海崇明·期中）如图，已知
、
、
、
分别是空间四边形
的边
、
、
、
的中点．
（1）证明：四边形
为平行四边形；
（2）证明：
和
是异面直线．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】（1）因为已知
、
、
、
分别是空间四边形
的边
、
、
、
的中点．
所以线段
是
的中位线，所以
且
，
同理可得
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形.
（2）反证法：假设
和
不是异面直线，则
和
平行或相交，
所以
和
可以确定一个平面
，所以
，
这与
是空间四边形矛盾，故
和
是异面直线.
题型04 空间四边形相关问题
【典例4】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形
中，已知
，设E，F，G，H 分
别是AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形
是（ ）．
A．正方形
B．长方形
C．梯形
D．菱形
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平行公理推理判断即得.
【详解】由
分别为
中点，得
，同理
，
则
，四边形
是平行四边形，
由
分别为
中点，得
，而
，则
，
所以
是菱形.
故选：D
【变式1】（23-24 高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形
各边
，
，
，
上分别
取点
，
，
，
，若直线
，
相交于点
，则下列结论错误的是（ ）
A．点
必在平面
内
B．点
必在平面
内
C．点
必在直线
上
D．直线
与直线
为异面直线
【答案】D
【分析】利用基本事实2,3 可得正确的选项.
【详解】
对于AB，
因为直线
在平面
内，且
，所以点
必在平面
内，故A 正确；
同理直线
在平面
内，且
，所以点
必在平面
内，故B 正确；
由A，B 选项得点
在平面
内，也在平面
内，
对于CD，
由基本事实3 得点
在交线
上，故C 正确；直线
与直线
为相交直线，
故D 不正确，
故选：D.
【变式2】（23-24 高二上·上海·单元测试）如图，在空间四边形ABCD 中，点E、H 分别是边AB、AD 的中
点，F、G 分别是边BC、CD 上的点，且
，则（ ）
A．EF 与GH 互相平行
B．EF 与GH 异面
C．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上
D．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
【答案】D
【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果.
【详解】因为F，G 分别是边BC，CD 上的点，且
＝
＝
，
所以
，且
.
因为点E，H 分别是边AB，AD 的中点，
所以
，且
，
所以
，且
，
所以EF 与GH 相交，设其交点为M，
则
平面ABC，同理
平面ACD.
又平面
平面
，
所以M 在直线AC 上．
故选:D.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，设E，F，G，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB，
BC，CD，DA 上除端点外的点，
，
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．当
时，四边形EFGH 是平行四边形
B．当
时，四边形EFGH 是梯形
C．当
时，四边形EFGH 一定不是平行四边形
D．当
时，四边形EFGH 是梯形
【答案】D
【分析】由线段对应成比例可得线线平行，由平行线的传递性即可结合长度关系求解.
【详解】连接BD．因为
，
，所以
，且
，
，且
．
若
，则
，四边形EFGH 是平行四边形；
若
，则
，但
，四边形EFGH 是梯形．
故选:D．
一、单选题
1.和直线都平行的直线
的位置关系是（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．平行、相交或异面
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平行公理，即可得到答案．
【详解】
由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线都平行的直线
的位置关系是平行，
故选
．
2.如图所示，若
分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线
是异面直线的图形
有（ ）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③
【答案】C
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义即可判断.
【详解】
①中，
，
③中，设
分别为
中点，连接
，
则
在三棱柱中
，
所以
且
，故
必相交，
对于②设
分别为棱
中点，
平面
平面
平面
，
所以直线
是异面直线；
对于④，同理②可得直线
是异面直线.
故选：C.
3.（2025·高一课时练习）两等角的一组对应边平行，则（ ）
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直 D．以上都不对
【答案】D
【解析】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，
并不能确定是哪一种关系，故选：D
4.（24-25·全国·高一专题练习）已知三条直线，
，
满足
且
，则与
（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面
【答案】B
【解析】若
且
，根据空间直线垂直的定义，
可得
，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段AB，
BC 的中点，则直线EF 与直线GH 的位置关系是（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AD1，CD1，AC，根据E，F 分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判
断.
【详解】
如图，
连接AD1，CD1，AC，
因为E，F 分别为AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故选：C
6.（2024·全国·高一专题练习）已知
，
，
，则与
两边方向相同的
等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对
【答案】A
【解析】因
，
，又
与
两边方向相同，
所以
.故选：A
7．（24-25 高一上·上海嘉定·期中）已知点
是平行六面体
的面对角线
上的动点，
则下列直线中与
恒为异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】举反例，排除ADC，结合异面直线定义证明C 正确.
【详解】对于A，当点
位于
位置时，证明
与直线
相交，A 错误；
对于D，当点
位于
位置时，证明
与直线
相交，D 错误；
对于B，当点
位于
的中点时，如图，
因为四边形
为平行四边形，
所以
也为
的中点，
因为
，所以
四点共面，
所以
与
共面，B 错误；
对于C，直线
平面
，直线
平面
，
点
不在直线
上，所以直线
与直线
为异面直线，C 正确；
故选：C.
二、多选题
8.（2025·全国·高一假期作业）（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面
给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【解析】根据线线平行具有传递性可知A 正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，
位置关系可能是异面、相交、平行，故B 错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补可知C 正确；
如图，
且
，
则
但
和
的关系不确定，故D 错误.故选：AC
9．（24-25 高一上·湖南娄底·期中）若直线l 与平面α 相交，则下列结论正确的是（ ）
A．平面α 内存在无数条直线和直线l 异面；
B．平面α 内任意直线都和直线l 不平行；
C．平面α 内有且仅有一条直线和直线l 相交；
D．平面α 内任意直线都与直线l 相交.
【答案】AB
【分析】根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断．
【详解】因为直线l 与平面α 相交，所以平面α 内的直线与直线l 的关系相交或异面，
对于A:平面α 内存在无数条直线和直线l 异面，故A 正确；
对于B:平面α 内任意直线都和直线l 不平行，故B 正确；
对于C:平面α 内有无数条直线和直线l 相交，故C 错误；
对于D:平面α 内任意直线都与直线l 相交或异面，故D 错误.
故答案为：AB.
10．（23-24 高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（ ）
A．相交于同一点的三条直线在同一平面内
B．
在平面
外，其三边延长线分别和
交于
，则
一定共线
C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
【答案】BD
【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D.
【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A 错误；
对于B，
所在平面与平面
相交，由平面基本事实知，公共点
都在交线上，故B 正确；
对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C 错误；
对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线，
由平面公理2 的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D 正确.
故选：BD.
11．（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体
中，M，N，P，Q，E
分别是
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形
是菱形
B．
C．
D．四边形
为矩形
【答案】BC
【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D.
【详解】由三角形中位线的性质知
，
，
，
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD 不正
确．
在
中中位线定理得
同理在
中，由中位线定理得
,
所以由等角定理知，
，所以B 正确;
在
中，由中位线定理得
所以
,
所以由等角定理可知，
，
,
,
所以
，所以C 正确;
故选：BC．
三、填空题
12.（24-25 高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系
为 .
【答案】异面
【解析】如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为异面.
四、证明题
13.（2025·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H 分别是AB、CD 的中点，F、G 分别是
BC、CD 上的点，且
，求证：直线EH 与直线FG 平行．
【答案】证明见解析
【解析】∵E、H 分别是AB、CD 的中点，则
，
又∵F、G 分别是BC、CD 上的点，且
，
则
，∴
，
故直线EH 与直线FG 平行．
14.（2025·全国·高一专题练习）已知棱长为
的正方体
中，
，
分别为
，
的中
点．求证：四边形
是梯形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示：
连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′
CC′，
∴四边形AA′C′C 为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′
AC，
又∵M，N 分别是CD，AD 的中点，
∴MN∥AC，且MN＝
AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
15.（2025·全国·高一专题练习）如图，在正方体
中，E，F，G 分别是棱
，
，
的中点．求证：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【解析】（1）因为正方体
中，F，G 分别是棱
，
的中点，
所以
，且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
（2）因为正方体
中，E，G 分别是棱
，
的中点，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
由（1）知：
由图形可知：
均为锐角，所以
.
