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第07 讲 正弦函数的性质与图像
课程标准
学习目标
1. 掌握
的周期性、奇偶
性、单调性和最值；
2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题；
3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象。
1.了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几
何法”作出正弦函数的图象，重点提升直观想象核心
素养；
2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调
区间和最值，并能利用正弦函数的图象与性质解决相
关问题，重点提升数学运算核心素养。
知识点01 正弦函数的性质
1、定义域与值域：
定义域为
，值域为
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
2、奇偶性：
正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
3、周期性：
(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝
f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T 称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
的正数就称为f(x)的最小正周期．
4、单调性：
在
上单调递增，在
上单调递减（k ∈Z ）；
5、正弦函数的零点：
正弦函数
的零点是
【即学即练1】
1．（23-24 高一上·陕西西安·期末）使得函数
为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·天津南开·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．曲线
关于直线
对称
C．曲线
关于点
对称
D．曲线
关于直线
对称
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程
；对称中心
（k ∈Z ）
3、五个关键点：
,
,
,
,
【解读】（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平
滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练2】（24-25 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数
，
(1)用五点法画函数
的图象；
(2)讨论函数
图象与直线
（为常数）的交点个数.
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【典例1】（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）列表描点连线五点作图画
在
上的图像.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）
用“五点法”作出函数的简图？
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)
，
；
(2)
，
.
题型02 正弦函数的单调性
【典例2】下列关于函数
，
的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在
上单调递增，在
上单调递减
B．在
上单调递增，在
上单调递减
C．在
及
上单调递增，在
上单调递减
D．在
上单调递增，在
及
上单调递减
【变式1】（23-24 高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：
(1)
；
(2)
；
题型03 含sinx 函数的奇偶性
【典例3】（24-25 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
，则“
”是“函数
是偶函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（24-25 高一上·吉林长春·期末）下列函数是奇函数且在区间
上是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·四川凉山·期末）已知函数
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
，若
，
则
．
题型04 正弦函数的值域与最值
【典例4】（24-25 高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·上海·期中）函数
最大值为 ．
【变式4】（24-25 高一·上海·随堂练习）函数
，
的值域是 ．
【变式5】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 由正弦函数图象解不等式
【典例5】（24-25 高一上·全国·课后作业）在
上，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·上海·课后作业）在
内，不等式
的解集是 .
【变式2】（23-24 高一下·上海徐汇·期中）函数
的定义域为
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）当
时，求使
有意义的x 的取值范围．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课前预习）求函数
的定义域．
题型06 利用单调性比较大小
【典例6】（23-24 高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小：
(1)
和
；
(2)
和
.
【变式1】（24-25 高一上·全国·随堂练习）下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】令
，
，判断a 与b 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
与
；
(2)
与
.
题型07 正弦函数的零点问题
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的图象与直线
交点的个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1】（23-24 高一下·广东茂名·期中）（多选）函数
的图像与直线
（
为常
数）的交点可能有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）设
为常数，若满足
，且
的
的值只有一
个，则实数
的值为 .
【变式3】（24-25 高一·上海·随堂练习）若函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范
围是 ．
一、单选题
1．（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
2．（24-25 高一·上海·随堂练习）下面关于正弦函数
的性质中，错误的是（ ）．
A．最小正周期是2π；
B．值域是
；
C．是偶函数；
D．定义域是实数集R．
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的简图为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·江西景德镇·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·四川泸州·期末）函数
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．0
D．
6．（24-25 高三上·山东枣庄·期中）若函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（24-25 高一上·天津西青·期末）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的
值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·陕西·阶段练习）函数
图象与直线
（为常数）公共点的个数可
能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为1
B．
在
上是增函数
C．
为
的一个周期
D．
在
上有两个零点
11．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是
的最小正周期
C．
在区间
上单调递增
D．
的值域为
三、填空题
12．函数
在
上的递增区间为 ．
13．（24-25 高一上·上海·期末）若关于
的方程
在
上有解，则实数
的取值范围为
．
14．（24-25 高一上·天津·期末）设函数
，若[x]表示不超过x 的最大整数，则函数
的值域是 .
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）
，
用“五点法”作出函数的简图
16．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知集合
，
.
(1)当
时，设全集
，求
；
(2)若
，求a 的取值范围.
