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第10 讲 平面与平面平行
课程标准
学习目标
1.掌握平面与平面的位置关系；
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的平行
关系问题.
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断；
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，
并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命
题；
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.
知识点01 平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行⇒面面平行”)
2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.
3、图形语言：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
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【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
是两条直线，
，
是两个平面，有以下三个
命题：
①
，
相交且都在平面
，
外，
，
，
，
，则
；
②若
，
，则
；
③若
，
，
，则
．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理判断即可.
【详解】①因为
相交，所以
共面，设这个平面为
，
因为
，
，
，
，
相交，所以
，
同理可得
，
所以
，故①正确；
②
，
有可能相交，若
平行
，
的交线，此时也满足
，
，
故②错；
③
，
有可能相交，若
，
平行
，
的交线，此时也满足
，
，
，故③错.
故选：B.
知识点02 平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）若平面
平面
，
，则与
的位置关系是（ ）
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A．与
相交
B．与
平行
C．在
内
D．无法判定
【答案】B
【分析】利用面面平行的性质定理即可得解.
【详解】
，
，利用线面平行的性质定理可得
.
故选：B
题型01 面面平行的判断与辨析
【典例1】（24-25 高一下·河北唐山·期中）平面
与平面
平行的充分条件可以是（ ）
A．平面
内的任意一条直线都与平面
平行
B．直线
平面
，直线
平面
，且直线
不在平面
内，也不在平面
内
C．直线
平面
，直线
平面
，且
平面
，直线
平面
D．平面
内有无穷多条直线都与平面
平行
【答案】A
【分析】对于选项A 利用面面平行的判定定理即可判断正确，选项B,C,D 利用举反例画图即可判断.
【详解】对于选项A：由任意两一直线与平面
平行，一定能找到两条相交的直线a,b 使得直线
平面
,
直线
平面
,又两条相交直线在平面
内，由面面平行的判断定理即可得到
.
对于选项B:
由图可知直线
平面
，直线
平面
，且直线
不在平面
内，也
不在平面
内，但是平面
与平面
相交；故B 错误
对于选项C:
由图可知：直线
平面
，直线
平面
，且直线
平面
，直
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线
平面
，但是平面
与平面
相交，故C 错误
对于选项D:
平面
内只要与直线a 平行的线都与平面
平行，
这样的线有无数条，但是平面
与平面
相交，故D 错误
故选：A
【变式1】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）已知m，n 是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若m，n 是异面直线，
，
，
，
，则
【答案】D
【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A，若
，
，则
与
平行或相交，故A 错误；
对于B，若
，
，则
或
，故B 错误；
对于C，若
，
，
，则
与
平行或异面，故C 错误；
对于D，因为
，所以在
内存在直线
∥
，又
，所以
∥
；
又
是两条异面直线，所以直线
与
是两条相交直线；又
，所以
；故D 正确.
故选：D.
【变式2】 （24-25 高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线，
，平面
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
，
，则
B．
，
，
，
，则
C．
，
，
，则
D．
，
，
，
，
，则
【答案】D
【分析】由线面平行和面面平行的判定定理逐项判断即可.
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【详解】对于A： 若
时，则
不成立，故A 错误；
对于B：若
，
，
，
，则
或
与
相交，故B 错误；
对于C：若
，
，
，则
或
与
相交，故C 错误；
对于D：由面面平行的判定定理可知D 正确.
故选：D.
【变式3】 （24-25 高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一
定成立的是（ ）
A．这两个角相等
B．这两个角互补
C．这两个角所在的两个平面平行
D．这两个角所在的两个平面平行或重合
【答案】D
【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可
【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行，
若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合.
故选：D
题型02 面面平行的证明
【典例2】（24-25 高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥
中，
，
，
，设
，
，
分别为
，
，
的中点，
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形
为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；
（2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明
平面
，然后由面面平行的判定定理可得.
【详解】（1）在四棱锥
中，连接
，由
，
分别为
，
的中点，得
，
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而
，
，则
，四边形
为平行四边形，
因此
，而
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）由
是
中点，而
为
中点，则
，
又
平面
，
平面
，于是
平面
，
由（1）知，
，而
平面
，
平面
，
因此
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在正四棱台
中，
，
，
，E，F 分别是AD，AB 的中点．证明：平面
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论.
【详解】连接
，AC，分别交
，EF，BD 于M，N，P，连接MN，
．
由题意知，
．
平面
，
平面
，
平面
．又
，
，
．
又E，F 分别是AD，AB 的中点，
，则
，
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．
．
又
，
．
四边形
为平行四边形．
．
平面
，
平面
，
平面
．
，
，
平面
，
平面
平面
．
【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱
中，若
、D 分别为
、BC
的中点，求证：平面
平面
．
【答案】证明见解析.
【分析】利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】证明：如图所示，连接
交
于点M，
∵四边形
是平行四边形，∴M 是
的中点．连接MD．
∵D 为BC 的中点，∴
．
∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
又由三棱柱的性质知，
，∴四边形
为平行四边形，∴
．
又
平面
，
平面
，∴
平面
．
又∵
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
．
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）如图，多面体
中，四边形
与四边形
均为梯
形.已知点
四点共面，且
.证明：平面
平面
.
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【答案】证明见解析
【分析】先根据线面平行的判定定理证明
平面
，
平面
，再根据面面平行的判定定理
即可得证。
【详解】证明：四边形
与四边形
均为直角梯形，
且有
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，
因为
平面
，且
，
所以平面
平面
，得证.
【变式4】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体
中，
分别是
棱
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接
，利用面面平行的判定定理即可证明得出结论；
（2）利用线面垂直的判定定理可证明
平面
，求得点
到平面
的距离，再由等体积法
可得三棱锥
的体积．
【详解】（1）连接
，如下图所示：
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根据正方体性质可得
，所以可得
，
且
，因此可得四边形
为平行四边形，因此
；
又
平面
,
平面
，
所以
平面
;
又因为
，且
，所以四边形
为平行四边形，
因此
，又
平面
,
平面
，
所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
；
（2）连接
，如下图所示：
因为
，
平面
，
平面
，
可得
平面
；
易知
为正方形，所以
；
由正方体性质可得
平面
，因为
平面
，
所以
；
又
，
平面
，
因此
平面
，
所以点
到平面
的距离与点
到平面
的距离相等，为
；
所以三棱锥
的体积为
即三棱锥
的体积为
.
题型03 根据面面平行证明线线平行
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【典例3】（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，在六面体
中，
，四边形
是平行四边形，
．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若G 是棱
的中点，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得.
（2）证明
的延长线与
的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得.
【详解】（1）由
，得
，而
平面
，
平面平面
，则
平面
，
由
，
平面
，
平面
，得
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）延长
与
的延长线分别交于点
，
由
，
，得
，由
，G 是棱
的中点，得
，
因此点
重合，记为
，显然平面
平面
，平面
平面
，
由（1）知，平面
平面
，所以
.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形
的四个顶点A，B，C，D 均在平
行四边形
外，且
，
，
，
互相平行，求证：四边形
是平行四边形．
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【答案】证明见解析
【分析】先证明平面
平面
．即可证
，同理可证
，即可证明结论.
【详解】
四边形
是平行四边形，
．
平面
，
平面
，
平面
，同理
，可证得
平面
．
平面
，
平面
，且
，
平面
平面
．
又平面
平面
，平面
平面
，
．同理可证
．
四边形
是平行四边形．
【变式2】（23-24 高一下·四川攀枝花·期末）如图，
平面
，
，
平面
.
求证：
；
【分析】利用线面平行、面面平行的判定，面面平行的性质推理即得.
【详解】由
，
平面
，
平面
，得
平面
，
而
平面
，
平面
，则平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
.
【变式3】（23-24 高一下·重庆·期末）如图所示的直三棱柱.
的每条棱长均为2，E，F 分别
是棱
，
的中点，
，
分别是棱
，
上的点，平面
平面
，
求证：
是
的中点；
【分析】利用面面平行的性质，以及平行关系的转化，即可证明；
【详解】连结
，
，
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点
分别是
和
的中点，所以
，且
，
因为平面
平面
，
且平面
平面
，平面
平面
，
所以
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
所以点
是
的中点.
【变式4】（23-24 高一下·北京大兴·期末）如图，正方体
中，N，E，F 分别是
的中点．
(1)求证：E，F，B，D 四点共面；
(2)设平面
与平面
交于直线，求证：
；
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到
，再证明出四边形
为平行四边形，得到
，从而得到线线平行，得到结论；
（2）由面面平行得到线线平行.
【详解】（1）连接
，
因为E，F 分别是
的中点，
所以
，
因为
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
故
，
所以
，
故E，F，B，D 四点共面；
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（2）因为平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
；
题型04 根据面面平行证线面平行
【典例4】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体
中，E，F，P，Q 分别是
，
，
，
的中点．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；
方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行.
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【详解】（1）如图，连接
，
．
因为四边形
是正方形，且
是
的中点，
所以
是
的中点，又
是
的中点，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）方法一 取
的中点
，连接
，
，如图所示，
则有
且
．
又
且
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
方法二 取
的中点
，连接
，
，如图所示，
因为点
是
，
的中点，所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为点
，
分别是
和
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
且
，
，
平面
，
所以平面
平面
．
又
平面
，所以
平面
．
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知多面体
的底面
为正方形，四边形
是平行四边形，
，
，
是
的中点.证明：
平面
.
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【答案】证明见解析
【详解】设
，连接
，根据题意可得
，
，可证平面
平面
，
再利用面面平行的性质分析证明即可得.
【分析】设
，连接
，
因为
为正方形，则
为
的中点，
又因为
是
的中点，则
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
，
由题意可知：四边形
是平行四边形，
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
，
且
，
平面
，可得平面
平面
，
由
平面
，可得
平面
.
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，
，
，点
、
在平面
的同侧，
，
，
，平面
平面
，
.求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行，面面平行定理即可证明.
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【详解】因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理
平面
，
又
，
平面
，
，
所以平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在多面体
中，四边形
是菱形，且有
，
，
，
平面
，
．求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【分析】先证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行，最后由面面平行性质证明线面平行.
【详解】因为四边形
是菱形，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
又
平面
，
所以
平面
．
【变式4】（23-24 高一下·青海·期末）如图，在三棱柱
中，
平面ABC，且D，E 分别是
棱
的中点．
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证明：
平面
．
【分析】取棱BC 的中点
，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证.
【详解】（1）如图，取棱BC 的中点
，连接DF，EF，由D 是棱AB 的中点，得
，
而
平面
平面
，则
平面
，
在三棱柱
中，
，
由E，F 分别是棱
的中点，得
，
则四边形
是平行四边形，有
，又
平面
平面
，
则
平面
，而
平面DEF，且
，
因此平面
平面
，又
平面DEF，
所以
平面
.
题型05 根据面面平行求值
【典例5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱
中，四边形
为平行四
边形，
，
分别在线段
，
上，且
，
在
上且平面
平面
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据面面平行的性质定理可得
，即可得
，即可得解.
【详解】
延长
，连接
，
由四边形
为平行四边形可知
，
则
，即
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
平面
，则
，
又
，所以
，
由四棱柱可知
，
，
即
，
，
又
，
，
故选：A.
【变式1】（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱
中，四边形
为平行
四边形，
分别在线段
上，且
在
上且平面
平面
，则
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交
于
，结合面面平行性质定理证明
，证明
，结合相似三
角形性质证明结论.
【详解】解析如图所示，延长
交
于
，连接
，
则
，所以
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，
所以
，又四边形
是平行四边形，
所以
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，
故选：B.
【变式2】（2025 高一上·全国·专题练习）已知P 为△
所在平面外一点，平面
∥平
，且
交线
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段
于点
，若
，则
:
（ ）
A．2 3∶
B．2 5∶
C．4 9∶
D．4 25
∶
【答案】D
【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算.
【详解】∵平面
∥平面
，平面
平面
，平面
平面
，
，同理可得
，
∴
:
，
又
，∴
，
∴
:
.
故选：D
【变式3】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2 的正方体
中，M，P 分别是
棱
，
的中点，平面
与平面
将该正方体截成三个多面体，其中N，Q 分别在棱BC，
上，则多面体
的表面积为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．
【答案】C
【分析】由面面平行的性质定理确定
为
中点，
为
中点，进而逐个计算每个面的面积即可.
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【详解】由题意得平面
平面
，
又
平面
平面
，
平面
平面
，
，
正方体中易知
，
所以
，
为
中点，
为
中点，
同理
，
为
中点，
所以
，
所以四边形
的面积等于
，
所以四边形
的面积等于
，
易知四边形
为等腰梯形，其中
，
如图，过
作
，易得
，
所以四边形
的面积为
，
同理四边形
的面积为
，
所以多面体
的表面积为
，
故选：C
【变式4】（24-25 高二上·湖北恩施·期中）在正方体
中，
为棱BC 的中点，
为
棱
的三等分点（靠近点
），过点
作该正方体的截面．则该截面的周长是 ．
【答案】
【分析】先根据面面平行的性质定理作出过点
的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面的
周长.
【详解】
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如图，取
的中点
,连接
,易得
，则
,
过点
在平面
内作
,交
于点
，则
；
再取
的三等分点
（靠近点
），连接
,同理可得
,
过点
在平面
内作
,交
于点
，则
，
连接
,因平面
平面
,则过
三点的截面与它们的交线必平行，
同理过
三点的截面与平面
,平面
的交线也平行，
故五边形
即点
的正方体的截面.
因
则
,
，
由
可得
，则有：
,
即得：
,则
,
;
又由
可得
,则有：
,
即得：
，则
则
.
故五边形截面
的周长为：
故答案为：
.
题型06 面面平行中的探索性问题
【典例6】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥
中，在底面
中，
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，E 在棱PD 上且
.
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点N，使得平面
平面
？若存在，写出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证；
（2）存在，点
为
上靠近
的三等分点时，即
时， 分别证得
平面
和
平面
，
由面面平行判定定理可证得结论.
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
存在，且当点
为
上靠近
点三等分点时，即
时，平面
平面
.
下面给出证明：
因为
，所以
，
，
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又因为点
为
上靠近
点三等分点，所以
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又因为
面
，
面
，
所以
面
，
因为E 在棱PD 上且
，即
，
又因为
，
所以
，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，
是等边三角形，
，
，
．若
，则在线段
上是否存在一点
，使平面
∥平面
？
若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
．
【分析】过
作
∥
，交
于
，连接
，
，则可得
，由已知可得
，
则得
，所以
，在
中可求得
，所以
∥
，然后利用面
面平行的判定定理可证得结论.
【详解】在线段
上存在一点
，使平面
∥平面
．理由如下：
如图，过
作
∥
，交
于
，连接
，
，
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因为
，所以
是
上靠近点
的三等分点，
是
上靠近点
的三等分点，
因为
，所以
．
因为
，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
，
所以
，所以
，
因为
，
所以
，所以
∥
．
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
，
又
∥
，
平面
，
平面
，
所以
∥平面
，
因为
，
，
平面
，
所以平面
∥平面
，
所以在线段
上存在一点
，使平面
∥平面
，
此时
．
【变式2】（23-24 高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
M，N，K 分别为AB，PC，PA 的中点，平面
平面
．
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(1)判断直线l 与BC 的位置关系并证明；
(2)求证：
平面PAD；
(3)直线PB 上是否存在点H，使得平面
平面ABCD?若存在，求出点H 的位置，并加以证明；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，
为
中点，证明见解析.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明
平面
，再由线面平行的性质定理证明即可.
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
（3）利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）
.
依题意，
，
平面
，
平面
，则
平面
，
又平面
平面
，
平面
，所以
.
（2）取
中点
，连接
，在
中，
在
中，
，则
，即四边形
为平行四边形，
因此
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（3）当
为
中点时，平面
平面
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证明如下：
取
的中点为
，连接
，
在
中，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，同理可证，
平面
，
又
平面
，
，
所以平面
平面
.
【变式3】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体
中，
为
的中点．
(1)求证：
‖平面
；
(2)
上是否存在一点
，使得平面
‖平面
？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
为
的中点
【分析】（1）连接
交
于
，连接
，则由三角形的中位线定理得
‖
，再由线面平行的判
定理可证得结论；
（2）当点
为
的中点时，即满足平面
‖平面
，连接
，
，可证得
‖平面
，
由（1）知
‖平面
，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】（1）证明：如图，连接
交
于
，连接
．
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正方体
，底面
为正方形，
，
为
的中点，又
为
的中点，
是
的中位线，
‖
，
又
平面
，
平面
，
‖平面
．
（2）当点
为
的中点时，即满足平面
‖平面
，理由如下：
连接
，
，
为
的中点，
为
的中点，
‖
，
，
四边形
为平行四边形，
‖
，
又
平面
，
平面
，
‖平面
．
由（1）知
‖平面
，
又
，
，
平面
，
平面
‖平面
．
【变式4】（23-24 高一下·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱
中，
分别为
的中点.
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(1)求证:
平面
；
(2)棱
(含端点)上是否存在点
，使得平面
平面
?若存在求出点
，若不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
为点
，理由见解析.
【分析】（1）取线段
的中点
，连接
，通过证明
可得线面平行；
（2）通过证明面
面
可得点
的位置.
【详解】（1）由
分别为线段
的中点可得
，
所以
四点共面，
取线段
的中点
，连接
，
因为
分别为线段
的中点，
所以
，且
，
又根据正四棱柱的性质可得
，且
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又
面
，
面
，
所以
平面
；
（2）连接
，
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由
分别为线段
的中点可得
，且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又又
面
，
面
，
所以
平面
，同理
平面
，
又
，且
面
，
所以平面
平面
，
故棱
(含端点)上存在点
，使得平面
平面
，此时点
即为
点.
一、单选题
1．（24-25 高一·全国·随堂练习）点P 是平面
外一点，过点P 且平行于平面
的平面有（ ）个
A．0
B．1
C．2
D．无数
【答案】B
【分析】假设过点P 且平行于平面
的平面有两个
，可判断
重合.
【详解】假设过点P 且平行于平面
的平面有两个
，
则由面面平行的性质知
，
又
都过P 点，故
重合，
所以过点P 且平行于平面
的平面只有一个.
故选：B
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（ ）
A．l//β
B．l⊂β
C．l//β 或l⊂β
D．l，β 相交
【答案】C
【分析】根据面面平行的性质结合选项可得答案.
【详解】因为平面α//平面β，直线l//α，
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所以直线l 可能和平面β 平行，也可能在平面β 内．
故选：C.
3．（23-24 高一下·甘肃兰州·期末）平面
内两条直线
，
都平行于平面
，则
与
的关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．重合
D．不确定
【答案】D
【分析】利用面面平行的判定并举例说明作答.
【详解】若直线
与直线
为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得
，
若
，如图：可能
，也可能
与
相交．
故选：D
4．（24-25 高一下·浙江宁波·期中）设m，n 是两条不同的直线，
，β 是两个不同的平面，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，
，则
D．若
，
，
，
，
，则
【答案】D
【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论.
【详解】对于A，若
，
，则
或
，故A 错误；
对于B，若
，
，
，则
或
与
是异面直线，故B 错误；
对于C，如图所示，
，
，
，
，但
，故C 错误；
对于D，因为
，所以过
有唯一平面
，
又
，
，所以
，
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又
，
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
5．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知正方体
，平面
与平面
的交线为，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用面面平行的性质定理可得
，再逐项分析求解即可.
【详解】正方体
中，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，所以
，
正方体中，
且
，四边形
为平行四边形，
则有
，所以
，C 选项正确；
都与
相交，则与
都不平行，ABD 选项都错误.
故选：C.
6．（2025 高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，
、
、
为所在棱的中点，则能得出平面
平面
的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】利用反证法可判断A 选项；利用面面平行的判定定理可判断B 选项；利用反证法结合面面平行的
性质可判断C 选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若平面
平面
，
平面
，则
平面
，
由图可知
与平面
相交，故平面
与平面
不平行，A 不满足条件；
对于B 选项，如下图所示，连接
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
，
在正方体
中，
且
，
故四边形
为平行四边形，所以
，
，
平面
，
平面
，
平面
，同理可证
平面
，
，
面
，因此平面
平面
，B 满足条件；
对于C 选项，如下图所示：
在正方体
中，若平面
平面
，
又平面
平面
，则平面
平面
，
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但这与平面
与平面
相交矛盾，
因此，平面
与平面
不平行，C 不满足条件；
对于D 选项，在正方体
中，连接
、
、
，如下图所示：
因为
且
，则四边形
为平行四边形，则
，
平面
，
平面
，所以
平面
，同理可证
平面
，
，
面
，所以平面
平面
，
若平面
平面
，则平面
平面
，
这与平面
与平面
相交矛盾，故平面
与平面
不平行，D 不满足条件.
故选：B.
7．（2025·河南·二模）如图，已知正方体
的棱长为2，
，
分别是棱
，
的中点，
若
为侧面
内（含边界）的动点，且
平面
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
的中点
，根据线面平行的判定定理，证得
平面
，
平面
，进而证
得平面
平面
，得到当
时，
平面
，所以点
在侧面
内的轨迹为线
段
，在
中，求得
，结合
，即可求解.
【详解】如图所示，取
的中点
，连接
，
，
，
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在正方体
中，可得
且
，
因为
，
分别是棱
的中点，则
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证：
平面
，
因为
，且
平面
，所以平面
平面
，
又因为
平面
，当
时，则
平面
，所以
平面
，所以点
在侧面
内的轨迹为线段
，
因为正方体
的边长为
，可得
，
，
在
中，可得
，且
，
则
，所以
的最小值为
.
故选：B.
8．（24-25 高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是侧面
内一点，若
平面
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到
点的轨迹，在根据平面几何知识求出
的范围.
【详解】如图，取
的中点
，
的中点
，连接
，显然
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
,所以
平面
，因为
，
平面
，
平面
,所以
平面
，又因为
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，点
在侧面
上，所以点
位于线段
上，
因为
，
，所以当点
位于
点时，
最大，
当点
位于
的中点
时，
最小，
此时
，
所以
，所以线段
长度的取值范围是
.
故选：B
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
【答案】BCD
【分析】直接判断直线与平面的位置关系可判断A，根据面面平行的判定定理判断B，根据面面平行的性
质可判断CD.
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【详解】对于A，一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，
则该直线与另外一个平面平行或该直线在另外一个平面内，故A 错误；
对于B，一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，
根据面面平行的判定定理知这两个平面平行，故B 正确；
对于C，由面面平行的性质可知，平行于同一个平面的两平面平行，故C 正确；
对于D，如下图所示：
已知平面
平面
，
、
，
、
，
，
那么直线
、
可确定平面
，
，
，
，
，则四边形
为平行四边形，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
10．（23-24 高一下·河北唐山·期中）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中
为假命题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ACD
【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可.
【详解】对于A：若
，
，则
也成立，A 选项错误；
若
，
，则
无公共点，所以
无公共点，所以
，B 选项正确；
若
，
，
，则
或
异面，C 选项错误；
若
，
，则
或
异面或
相交，D 选项错误；
故选：ACD.
11．（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图，已知在正方体
中，
和
分别为
和
的
中点，则（ ）
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A．直线
与
为异面直线
B．正方体
过点
，
，
的截面为三角形
C．直线
平面
D．平面
平面
【答案】ACD
【分析】根据
，
，
，
四点不共面可判断A；由
是
的中点，可知
在平面
，根据
，可知
在平面
，得到截面图形可判断B；利用线面平行的判定定理可判断C；利用面面
平行的判定定理可判断D.
【详解】
对于A，由图知，
，
，
在平面
内，
不在平面
内，
所以
，
，
，
四点不共面，直线
与
为异面直线，故A 正确；
对于B，因为点
是
的中点，所以点
在平面
，
因为
，所以点
在平面
，
所以截面为平行四边形
，故B 错误；
对于C，连接
，
和
分别为
和
的中点，所以
，
平面
，
平面
，所以直线
平面
，故C 正确；
对于D，因为
，
平面
，
平面
，
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所以
平面
，同理
平面
，
且
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025 高一下·全国·专题练习）如图所示，平面
平面β，
，
分别在α，β 内，线段
共点于O，O 在平面α 和平面β 之间，若
，则
的面积为 .
【答案】
/
【分析】利用面面平行得出线线平行，进而得出三角形相似，结合相似比可得答案.
【详解】
相交于点O，所以
确定的平面与平面α，平面β 的交线分别为
，
有
，且
，同理可得
，
，
，
,所以
与
相似，
，
又
，
所以
.
故答案为：
13．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体
中，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，
是
的中点，点
在四边形
的边上及其内部运动，则
满足
时，有
平面
．
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【答案】
在线段
上
【分析】根据平面
平面
，可知平面
内任意一条直线都与平面
平行，而点
在四
边形
上及其内部运动，所以
满足条件
．
【详解】
连接
，
，
，
,
．
由题易知,
，
平面
,
平面
,
平面
又
，同理可证
平面
,
又
，
，
平面
，
平面
平面
．
点
在四边形
的边上及其内部运动，平面
平面
,
．
故答案为：
在线段
上,
14．（24-25 高一下·广东梅州·期末）如图，在正方体
中，M，N 分别为棱
，
的中
点，过点
、M、N 作正方体的截面
交
于点Q，则
.
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【答案】
【分析】根据面面平行的性质定理说明
，再利用三角形相似可得到对应线段的比例关系，即可
求得答案.
【详解】如图，连接
，则平面
即为过点
、M、N 作的正方体的截面
，
因为平面
平面
，且平面
，平面
，
故
，又
，且
的对应两边的射线方向一致，
故
，而
，
故
∽
，故
，而
故
，则
，
故答案为：
四、解答题
15．（24-25 高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
M、N、Q 分别是
、
、
的中点.求证：平面
平面
.
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【答案】证明见解析
【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得
，
，则由线面平行的判定定理可得
平面
，
平面
，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】因为底面
为平行四边形，
为
的中点，
所以
为
的中点，
因为M、Q 分别是
、
的中点.，
所以
，
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
.
16．（2025 高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,
平面ADE，
．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，先证明平面
平面
，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.
【详解】∵
，
平面ADE，
平面ADE，∴
平面ADE．
∵
平面ADE，
，
平面BCF，
∴平面
平面
．
又平面
平面
，平面
平面
，
∴
．
17．（23-24 高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点.求证：
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(1)证明：
四点共面；直线
，直线
，直线
三线共点
(2)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明
即可得证
四点共面；
与
是两条相交的直线，证明直线
过它们的交点即可得证三线共点.
（2）证明
平面
和
平面
即可根据面面平行的判定定理得证平面
平面
.
【详解】（1）
分别是
的中点，
是
的中位线，
，且
又在三棱柱
中，
，且
，
由平行的传递性，
，且
，
四点共面；
由上可知四边形
是梯形，故
与
是两条相交的直线，
设
，下证
，
平面
，且
平面
，
平面
，且
平面
，
平面
平面
，
，即
三线共点.
（2）
分别为
的中点，
，
平面
平面
，
平面
，
在三棱柱
中，
，且
，
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，且
，
四边形
是平行四边形，
，
平面
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
平面
.
18．（24-25 高一下·山西·阶段练习）如图，在正三棱台
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，
为
上一点.
(1)若
是
的中点，求证：
平面
；
(2)若
平面
，求点
的位置，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)M 为AC 上靠近C 的三等分点处，理由见解析.
【分析】（1）取AB 中点N，连接
，结合中位线利用线面平行判定定理证明
平面
，
平面
，进而面面平行判定定理得平面
平面
，从而利用面面平行的性质定理证明线
面平行；
（2）根据线面平行的判定定理可得
平面
，结合
平面
，根据面面平行的判定定理得
平面
平面
，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解.
【详解】（1）取AB 中点N，连接
，
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由三棱台
中，
是
的中点，N 是
的中点可得
，
又
，所以
，
平面
，
平面
，
故
平面
，又
，
分别是
，
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，故
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
；
（2）在等腰梯形
中，
，
，所以
，
又
平面
，
平面
，故
平面
，
由
平面
，
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
，在
中，
，所以
，
即M 为AC 上靠近C 的三等分点处.
19．（24-25 高一下·浙江·期中）在正方体
中，面对角线
，
上各有一个动点
，
，使得直线
平面
.
(1)当
，
为对角线
，
的中点，
为
的中点时，证明：平面
平面
；
(2)当正方体棱长为2 时，求线段
长度的最小值.
【答案】(1)证明见解析
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(2)
【分析】（1）应用面面平行的判定定理证明即可；
（2）应用面面平行的性质定理得出线线平行再由勾股定理求出二次函数最值计算即得.
【详解】（1）因为
，
分别是线段
，
的中点，所以
.
又
，从而
.
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
因为
平面
，又
平面
，
，
，
平面
，所以平面
平面
（2）过点
作
的垂线，垂足为
，过点
作
的垂线，垂足为
，连接
.
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
，
，
平面
，所以平面
平面
因为平面
平面
，平面
平面
，所以
.
设
，
，则
，
，又棱长为2，
则
.在梯形
中，
，
，
时，线段
的最小值为
.
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