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第11 章：立体几何初步章末综合测试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（22-23 高一下·山东枣庄·月考）下列几何体是旋转体的是（ ）
A．五棱柱
B．六棱锥
C．八棱台
D．球
【答案】D
【解析】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，
判断球是旋转体；
一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，
由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体．故选：D
2．（23-24 高一下·浙江金华·期中）侧面积为
的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半
径为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【解析】设底面半径为，母线长为，则
，解得
，
又
，解得
，故选：D
3．（23-24 高一下·重庆涪陵·月考）如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
A．三棱锥
B．四棱柱
C．四棱锥
D．球
【答案】C
2
【解析】由给定的图形知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面组成，所以该几何体为四棱锥.故选：
C
4．（23-24 高一下·山东淄博·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C．若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】B
【解析】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；
若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A 正确．
若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，也可能平行，故B 错误．
若a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β.因为α∩β＝l，所以A∈l，故C 正确．
两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D 正确．故选B.
5．（23-24 高一下·山西·月考）已知m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不重合的平面，则下列命题正
确的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】C
【解析】对于A，若
，
，
，当m，n 都平行于
，
的交线时，
满足条件，此时
，
相交，故A 错误；
对于B，若
，
，
，则m，n 可能异面，故B 错误；
对于C，若
，
，
，则
，故C 正确；
对于D，若
，
，
，则m，n 可能平行或异面，故D 错误.故选：C.
6．（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长
为1 的正方形，则这个平面图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】如图，不妨令直观图中正方形为
，则
，
3
所以
，
由直观图可得如下平面图形，则
，
，
所以
.故选：A
7．（23-24 高一下·河北邯郸·月考）如图，在长方体
中，
，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接
与
交于
点，则
为
中点，
取
中点
，连接
，则
，
为异面直线
与
所成角（或补角），
设
，
，
，则
，
，
在
中，由余弦定理得
，
若
，则
，解得
（负值已舍去），
若
，则
，方程无解，
所以
，
所以长方体的对角线长为
，
所以长方体的外接球的半径
，
所以长方体外接球的表面积
.故选：B
8．（22-23 高一下·山西运城·月考）如图一，矩形
中，
交对角线
于点
，
交
于点
，现将
沿
翻折至
的位置，如图二，点
为棱
的中点，则下列判断一定
4
成立的是（ ）
A．
B．
平面
C．
平面
D．平面
平面
【答案】D
【解析】对于D 选项，翻折前，
，
，
翻折后，
，
，
因为
，
、
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，故D 正确；
对于B 选项，因为
，
，则二面角
的平面角为
，
在翻折的过程中，
的大小会发生变化，故
与
不一定垂直，
所以
与平面
不一定垂直，故B 错误；
对于A 选项，设
，在图一中，
，
又因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，则
，
在图二中，过点
在平面
内作
，交
于点
，连接
，
则
，故
，则
，
因为
，所以
不是
的中点，
因为
，
，则
，
若
，因为
，
、
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
、
平面
，且
，所以
，
因为
为
的中点，则
为
的中点，与已知矛盾，故A 错误；
由选项A 知，因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
5
若
平面
，则
，
、
平面
，所以平面
平面
，
因为平面
平面
，平面
平面
，则
，
因为
为
的中点，则
为
的中点，与已知条件矛盾，故C 错误．故选：D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（23-24 高一下·云南昆明·月考）一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ）
A．等边三角形
B．正方形
C．梯形
D．正五边形
【答案】ABC
【解析】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A 正确；
对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B 正确；
对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C 正确；
对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，
同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D 错误；故选：ABC.
10．（23-24 高一下·四川攀枝花·月考）如图，在三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
四点共面
B．
C．
，
，
三线共点
D．
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【答案】ABC
【解析】对于AB，如图，连接
，
，
因为
是
的中位线，所以
，
因为
，且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，所以
四点共面，AB 正确；
对于C，如图，延长
，
相交于点
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
，所以
，所以
三线共
点，C 正确；
对于D，因为
，当
时，
，
又
，则
，D 错误.故选：ABC
11．（23-24 高一下·福建泉州·月考）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多
为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由
两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24 的半正
多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有（ ）
A．则该半正多面体有12 个顶点
B．则该半正多面体有14 个面
C．则该半正多面体表面积为3
D．则该半正多面体体积为
【答案】ABD
【解析】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，
其棱长为
，有12 个顶点，14 个面（6 个正方形，8 个正三角形），故AB 正确；
半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，
且此正方体的棱长为1，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，
它可由正方体去掉8 个三棱锥所剩部分，所以该半正多面体的棱长为
，
故半正多面体的面积为
，故C 错误；
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半正多面体的体积为
，故D 正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正方体
中，
为
的中点，则直线
与
直线
所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】设正方体边长为1，取
的中点
，连接
、
，
因为点
、
分别为
、
的中点，所以
且
，
所以
且
，四边形
为平行四边形，所以
，
连接
、
，交点记为点
，连接
，
因为点
、
分别为
、
的中点，所以
所以直线
与直线
所成的角，即直线
与直线
所成的角，即为
或其补角，
在
中，
，
，
，
所以
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为
.
13．（15-16 高二下·上海金山·月考）长方体
中，
，一只蚂蚁从点
出发沿表面爬行到点
，蚂蚁爬行的最短路线的长为 .
【答案】
【解析】将长方体侧面展开有三种方式如下图：
的长有以下三种可能：
8
第①种方式：
；
第②方式：
；
第③种方式：
.
所以蚂蚁爬行的最短路线的长为
.
14．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）已知在正三棱台
中，
分别为棱
的中点，平面
、平面
与平面
交于点
.记
和
分别表示三棱锥
和三
棱锥
的体积，则
.
【答案】
【解析】设
，
延长三条侧棱
相交于点
，点
在平面
的射影为
，
设
的中点为
，连接
交
于点
，如图所示：
设三棱锥
的高
，点
到平面
的距离为
，
因为
，
为
的中点，
，
所以
，即
，
,
连接
，则
，
,
，
,
因为
，所以
，
9
则
，即
.
于是
，
三棱锥
的高等于
，
,
，
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（22-3 高一下·青海西宁·期末）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 的
中点，G，H 分别在BC，CD 上，且
.求证：
（1）E､F､G､H 四点共面；
（2）EG 与HF 的交点在直线AC 上.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵
，∴
.
∵E，F 分别为AB，AD 的中点，
∴
，且
，
∴
，∴E，F，G，H 四点共面.
（2）∵G，H 不是BC，CD 的中点，∴
，∴
，
由（1）知
，故EFHG 为梯形.
∴EG 与FH 必相交，设交点为M，
∴
平面ABC，
平面ACD，
∴
平面ABC，且
平面ACD，
∴
，即GE 与HF 的交点在直线AC 上.
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16．（15 分）（23-24 高一下·天津南开·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
分别是
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
为
中点，求证：平面
平面
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：取
的中点
，连接
，
因为底面
是正方形，
底面
，且
分别是
的中点，
所以
，且
，
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）证明：因为
为
的中点，连接
，可得
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
平面
，
由（1）可得
平面
，
且
平面
，
所以平面
平面
.
17．（15 分）（23-24 高一下·辽宁·期中）如图，在三棱锥
中，
平面PAB，E，F 分别为
BC，PC 的中点，且
，
，
.
11
（1）证明：
.
（2）求二面角
的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为
平面PAB，
平面
，所以
，
E，F 分别为BC，PC 的中点，
由中位线的性质可得在
中，
，
又
，
，
，所以
为直角，即
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
（2）根据题意，取
的中点
，过
作
交
于
，连接
，
因为
为
中点，
为
，则
，且
，
又
平面
，
平面
，
平面
，而
平面
，
，
又
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
，即
为二面角
的平面角，
所以在
中，
，则
，
由等面积可得
，
所以
，即二面角
的正切值为
.
12
18．（17 分）（23-24 高一下·河南·期中）如图1，在矩形
中，
，
是
与
的交点，将
沿BE 折起到图2 中
的位置，得到四棱锥
.
图1 图2
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求三棱锥
的体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在矩形
中，
，
是
与
的交点，
可得
，所以
，
因为
，且
，
所以
，可得
，所以
，
在图（2）中，可得
，
因为
，且
平面
，所以
平面
；
又因为
平面
，所以平面
平面
；
（2）若三棱锥
的体积取最大值，则需
平面
，
又因为
，且
，所以
，
可得
，所以
，
在图（1）中，连接
，由
,可得相似比为
，
设
边
的高为
，
边
的高为
，可得
，
因为
，可得
，
则
，
13
又由
，
所以三棱锥
的体积
.
19．（17 分）（23-24 高一下·重庆·期中）如图所示正四棱锥
中，
，
，
为侧棱
上的点，且
，
为侧棱
的中点．
（1）求正四棱锥
的表面积；
（2）证明：
平面
；
（3）侧棱
上是否存在一点
，使得
平面
．若存在，求
的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）存在，
【解析】（1）因为正四棱锥
中，
，
，
则侧面的高
，
所以正四棱锥
的表面积
．
（2）设
，连接
，
因为
分别为
的中点，则
∥
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
.
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（3）在侧棱
上存在一点
，使
平面
，满足
．
理由如下：取
中点为
，因为
，则
，
过
作
的平行线交
于
，连接
．
由于
，即
．则
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
，
由（2）可知：
平面
，
因为
，
平面
，可得平面
平面
，
且
平面
，所以
平面
.
