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第11 讲 直线与平面垂直
课程标准
学习目标
1.理解并会求异面直线所成的角；
2.了解直线与平面垂直的定义；
3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直
关系问题.
1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义；
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直
线与平面垂直；
3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用；
4.会求直线与平面所成角及空间中的距离.
知识点01 直线与直线所成角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ 的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
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【即学即练1】（24-25 高二上·北京平谷·期末）长方体
中，
，则
异面直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 直线与平面垂直及判定定理
1、直线与平面垂直的定义
（1）文字语言：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂直
（2）符号语言：l⊥α
（3）有关概念：直线l 叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
（4）图形语言：
（5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
2、直线与平面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
（3）图形语言：
（4）作用：证明线面垂直
【即学即练2】（24-25 高二·上海·课堂例题）下列命题中正确的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面．
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、性质定理内容：
（1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
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（2）符号语言：⇒a∥b
（3）图形语言：
（4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2、性质定理的推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
【即学即练3】（23-24 高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
知识点04 直线与平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α 相交，但不和平面α 垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α 上的射影为AO.
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
（3）取值范围：[0°，90°]
【即学即练4】（24-25 高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平面
相交，点
，
在上，
，且
线段
在
内的射影长为
，则与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 求异面直线所成角
【典例1】（24-25 高二上·海南海口·期末）如图，三棱锥
中，
均为正三角形，
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为直角三角形，斜边为
，
为
的中点，则直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·江西景德镇·期末）在正方体
中，则异面直线
与
的所成
角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二下·上海·期中）在长方体
中，已知
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 ．
【变式3】（2026 高三·全国·专题练习）如图，
和
是异面直线，
，
分别为线段
上的点，且
，则
与
所成角的大小为 ．
【变式4】（2026 高三·全国·专题练习）在长方体
中，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，则
的值为 ．
题型02 线面垂直命题的辨析
【典例2】（24-25 高一下·河南·期中）若m，n 为空间直线，
，
为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
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C．
，
，
，则
D．若m，n 是异面直线，则m，n 在
内的射影为两条相交直线
【变式1】（四川省元三维大联考2025 届高三第三次诊断性测试数学试卷）已知空间中两条直线
，及
平面
，且满足
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2】（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，l 以及两个不同的平面
，下列
命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】（多选）（24-25 高一下·河南郑州·期中）设
是空间中的一个平面，l，m，n 是三条不同的直线，
则不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则以
D．若
，则
【变式4】（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）设直线m 与平面
相交但不垂直，则下列命题为真命题的
有（ ）
A．平面
内有无数条直线与直线m 垂直B．过直线m 有无数个平面与
垂直
C．与直线m 垂直的直线可能与平面
平行
D．与直线m 平行的平面可能与平面
垂直
题型03 线面垂直的证明
【典例3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，
平面
，底面
为矩形，
于点
．
求证：
平面
；
【变式1】（24-25 高二上·江西景德镇·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
分别为棱
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
.
【变式2】（2025 高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体
.求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
.
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，底部
为
菱形，E 为
的中点. 求证：
平面
；
【变式4】（24-25 高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥
中，已知
，
的直径
，点
C 在
上，且
，点D 为
的中点．证明：
平面
题型04 线面垂直证线线平行
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【典例4】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体ABCD A1B1C1D1中，M 是AB 上一点，N 是A1C 的中点，
MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
【变式1】（24-25 高一·全国·课堂练习）如图所示，在长方体
中，
平面
，
平面
，且
平面
.求证：
.
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）如图，
，垂足分别为
.求证：
．
【变式3】如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，
M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式4】（24-25 高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体
中，
与
，
都垂直
相交，垂足分别是点
、点
.
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【变式5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2．
，
分别为
与
上的点，且
，
．
求证：
；
题型05 线面垂直证线线垂直
【典例5】（2025·湖南永州·三模改编）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
是边长为2 的等边三角形，F 为BC 的中点.
证明：
；
【变式1】（24-25 高二下·湖北·期中）如图，在三棱台
中，
底面
，
，
，
为
的中点，
.
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证明：
；
【变式2】（2025 高一上·全国·专题练习）在三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
.求证：
.
【变式3】（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱
各棱长为4，
，D 为棱
上的一点．
求证：
；
【变式4 】（24-25 高二上· 湖北· 期中）已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为线段
的中点．
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（1）求证：
平面
；
（2）求证：
．
题型06 求直线与平面所成角
【典例6】（24-25 高二上·湖南·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底
面
，
，
是
的中点，作
交
于点
.
(1)求
与底面
所成角的正弦值；
(2)求证：
平面
；
【变式1】（24-25 高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱
中，
，
.
(1)求直线
与平面ABCD 所成角的正切值；
(2)求证：
.
【变式2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为
棱
的中点．
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(1)设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
；
(2)若
平面
，
，
，
，求直线
与平面
所成角的大小．
【变式3】（24-25 高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面
圆
的半径为1，圆锥的高
，三棱锥
的底面
是以圆锥的底面圆的直径
为斜边的等
腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.
(1)求直线
和平面
所成角的正切值；
(2)求该几何体的体积.
【变式4】（24-25 高二上·辽宁·开学考试）已知圆锥的底面半径为2，高为4，D 是母线PA 的中点，C 在底
面圆周上，
．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)求DC 与平面ABC 所成角的正弦值．
题型07 求点到平面的距离
【典例7】（24-25 高二下·江苏常州·期中）在棱长为1 的正方体
中，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·内蒙古包头·期末）如图，棱长为1 的正方体
中，则点
到平面
的距离是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知等边
边长为2，
平面
，且
，则点C
到平面
的距离为 ．
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，三棱柱
中，侧面
与底面
垂直，且
，
，
为侧棱
的中点，三棱锥
的体积为
.求三棱柱
的高.
【变式4】（24-25 高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是直角梯形，
，
平面
，Q 是PB 的中点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求点D 到平面PAC 的距离．
题型08 线面垂直中的探索性问题
【典例8】（24-25 高二上·上海·阶段练习）在长方体
中，
，
，E 为棱
上一动点，
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(1)当
平面
时，求线段
的长度；
(2)在
上是否存在定点
，使得
恒成立？如果存在，求
的长度．
【变式1】（23-24 高一下·河北衡水·期末）已知正方体
的棱长为
分别是
的
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点H，使得
平面
?若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
【变式2】（23-24 高二上·上海·期末）如图，已知正方形
的边长为1，
平面
，三角形
是等边三角形．
(1)求异面直线
与
所成的角的大小；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
与平面
所成的角大小为
？若存在，求出
的长度，若
不存在，说明理由.
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）在棱长为的正方体
中，
、
分别为
、
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的中点，在
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在求出
的长；若不存在说明理由．
一、单选题
1．（2025 高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l 是与平面
相交的一条斜线，则在平面
内与l 垂直的直
线（ ）
A．有且只有一条
B．有无数条
C．有且只有两条
D．不存在
2．（24-25 高二上·上海·期中）已知直线和平面
，则“ 垂直于
内的两条直线”是“
”的（ ）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．
非充分非必要条件
3．（2025 高一·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线
垂直，可以保证直线
与平面垂直的是
（ ）
①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边.
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
4．（23-24 高一下·甘肃武威·阶段练习）若直线
平面
，则下列说法正确的是（ ）
A．l 仅垂直平面
内的一条直线
B．l 仅垂直平面
内与l 相交的直线
C．l 仅垂直平面
内的两条直线
D．l 与平面
内的任意一条直线垂直
5．（24-25 高一下·安徽·期中）
为空间两条不重合直线，
为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．
，则
B．
与
所成角均为
，则
C．
，则直线
到
的距离相等
D．
，则
6．（24-25 高二上·河北唐山·期末）若三棱锥
的所有棱长都相等，则
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三下·河南信阳·开学考试）在正四棱锥
中，E，F，G 分别是棱
，
，
的中
点，
是底面
的中心，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
8．（24-25 高一下·河南·期中）正三棱台
三侧棱的延长线交于点P，如果
，三棱
台
的体积为
，
的面积为
，那么侧棱
与底面所成角的正切值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体
中，给出以下判断，其中正确的有
（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
与
是异面直线
D．
平面
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，正方体
的棱长为1，且M，N 分别为
AC，
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
平面
B．
C．直线MN 与平面ABCD 所成的角为
D．三棱锥
的体积为
11．（22-23 高一下·云南昭通·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论
正确的是（ ）
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A．EF 与MN 所成的角为60°
B．
C．
D．EN 与CD 所成的角为90°
三、填空题
12．（24-25 高一下·全国·课后作业）在长方体
中，点
是平面
内异于点
的一点，
平面
，且
平面
，则
与
的位置关系是 ．
13．（24-25 高二下·上海·阶段练习）在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，则点
到平面
的距离等于 .
14．（24-25 高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角
形的四面体.如图，在直角
中，AD 为斜边BC 上的高，
，
，现将
沿AD 翻折成
，使得四面体AB＇CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
四、解答题
15．（2024 高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥
的底面是正方形，
底面
.
(1)若
，求四棱锥
的体积
(2)求证：
平面
16．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，
为
所在平面外一点，
平面
，
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，
于点
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
17．（24-25 高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面
为圆柱
的轴截面，点
为底面圆周上
异于
，
的任意一点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
的中点，求证：
平面
．
18．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱
中，
，
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求点
到平面
的距离．
19．（24-25 高一下·云南昭通·期中）如图所示，
平面
，
，
，
为
的中点.
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平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
