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第01 讲 平面向量的概念
课程标准
学习目标
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及
向量的几何表示；对共线向量的理解及掌
握.
1. 通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面
向量的实际背景；
2. 理解向量的意义及几何表示；
3. 掌握相等向量与共线向量的意义.
知识点01 向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
【解读】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意
平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
【即学即练1】有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点02 向量的表示法
1．有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2
2．向量的表示方法
（1）字母表示法：如
等.
（2）几何表示法：以A 为始点，B 为终点作有向线段
（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一
条有向线段
表示向量，通常我们就说向量
.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量
就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，
即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
【即学即练2】已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用MN表示 B．方向是由M 指向N
C．起点是M D．终点是M
知识点03 向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【解读】（1）向量
的模
．
（2）向量不能比较大小，但
是实数，可以比较大小．
2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作
，它的方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1 个单位的向量.
【解读】定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同，在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，
则它们的终点构成一个半径为1 的圆.
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【解读】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【即学即练3】（2024·高二课时练习）下列关于向量的命题中，真命题的个数是（ ）
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③若
，则
；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A．0
B．1
C．2
D．3
知识点04 向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：
与任一向量共线.
【解读】（1）零向量的方向是任意的，注意0 与0 的含义与书写区别.
(2)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而
平行向量是可以重合的．
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(3)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量
(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模
不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是
共线向量．
(4)向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c. 而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必
有a∥c. 因为零向量平行于任意向量．
【即学即练4】
在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向
量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命
题是________．
题型01 平面向量的基本概念
【典例1】（23-24 高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（ ）
①两个相等向量的模相等；
②若
和
都是单位向量，则
；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1】（23-24 高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向
B．
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【变式2】（24-25 高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量
与
平行，则
与
的方
向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段
就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（ ）
A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
B．若
，则
与
的长度相等且方向相同或相反；
C．若
，且
与
的方向相同，则
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D．若
，则
与
方向相同或相反
【变式4】（23-24 高一下·北京·期中）已知
是平面内四个不同的点，则“
”是“四边形
为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型02 平面向量的表示
【典例2】（25-26 高一上·全国·随堂练习）如图，在圆
中，向量
，
，
是（ ）
A．有相同起点的向量
B．相反向量
C．模相等的向量
D．相等向量
【变式1】（23-24 高一下·江西九江·阶段练习）如图，B 是线段AC 的中点，若分别以图中各点为起点和
终点，则最多可以写出 个共线非零向量．
【变式2】如图，
是某人行走的路线，那么
的几何意义是某人从A 点沿西偏南 方向行走了
km．
【变式3】 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后改变方向向西偏北50°方向行驶了
200 km 到达C 点,又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点。
(1)作出向量⃗AB,⃗BC,⃗CD;
(2)求汽车从A 点到D 点的位移大小|⃗AD|。
题型03 平行向量与相等向量
【典例3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在菱形
中，
，则以下说法正确的是
（ ）
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A．与
相等的向量只有1 个（不含
）
B．与
的模相等的向量有9 个（不含
）
C．
的模恰为
的模的
倍
D．
与
不相等
【变式1】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向
量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若
，则
.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24 高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量
中，与向量
相等的向量有 个.
题型04 平面向量的简单应用
【典例4】（24-25 高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C 是平面上三个不同的点，若
，则A、
B、C 的位置关系是 ；若进一步有
，则A、B、C 的位置关系是 ；
（2）如图，在四边形
中，若
，则四边形
是 ．
【变式1】（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形
中，
，并且
，则四边形
是（ ）
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A．菱形
B．正方形
C．等腰梯形
D．长方形
【变式2】已知四边形
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则四边形
为平行四边形
B．若
，则四边形
为矩形
C．若
，且
，则四边形
为矩形
D．若
，且
，则四边形
为梯形
【变式3】已知点
，
，
，
分别是平面四边形
的边
，
，
，
的中点，求证：
．
一、单选题
1．（24-25 高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积
B．距离
C．拉力
D．质量
2．（23-24 高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1 的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
3．（23-24 高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
4．（23-24 高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量
，
都是单位向量，则
B．若向量
，
都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
5．（23-24 高一下·江西南昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
与
共线
B．若
与
是平行向量，则
C．若
，则
D．共线向量方向必相同
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6．（23-24 高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量
与
的长度相等
7．（23-24 高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
8．（22-23 高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．
、
是单位向量，则
C．两个相同的向量的模相等
D．单位向量均相等
二、多选题
9．（23-24 高一下·广东佛山·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．在正方形ABCD 中，
B．
的模长为0
C．若
，则向量
是单位向量
D．若向量
与向量
是共线向量，则向量
与向量
的方向相同
10．（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知
，
为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（ ）
A．
与
相等
B．如果
与
平行，那么
与
相等
C．
与
共线
D．如果
与
平行，那么
或
11．（23-24 高一下·广西来宾·期末）关于非零向量
，
，下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
三、填空题
12．下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
13．（23-24 高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 .
①长度为
的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是
同方向；⑤任意向量与零向量都共线．
14．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6 个向量，在这6 个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
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四、解答题
15．.如图，D，E，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．
(1)写出图中所示与向量DE长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量FD相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量．
16．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知线段
被n（
）等分，等分点为
，
，
，…，
.
从这
个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当
时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量总数，用n 表示.
