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第03 讲 用样本估计总体
课程标准
学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋
势参数(平均数、中位数、众数)，理解集
中趋势参数的统计含义.
2.结合实例，能用样本估计总体的离散程
度参数(标准差、方差、极差)，理解离散
程度参数的统计含义.
3.结合实例，能用样本估计总体的取值规
律.
4.结合实例，能用样本估计百分位数，理
解百分位数的统计含义
5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均
值和样本方差．
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.用样本的分布估计总体的分布
3.通过用样本估计总体提升数据分析素养、数学运算
素养和逻辑推理素养．
知识点01 用样本估计总体
1．用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当，抽样方法合理．
(2)必要性
2
①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等．
②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体．
(3)误差
估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能
性将越来越大.
【即学即练1】(多选)对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法不正确的是( )
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
知识点02 用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．
(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例．
条件
假设第一层有m 个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2；第二层有n 个数，
分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为 t2.
结论
如果记样本均值为 a ，样本方差为 b2，则
a= m x +n y
m+n
,b
2=
1
m+n (m s
2+nt
2)+ mn
m+n ( x−y)
2,
【即学即练2】李大伯承包了一个果园，种植了100 棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任
选并采摘了10 棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/千克
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15 元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量
与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( )
A．200 千克，3 000 元
B．1 900 千克，28 500 元
C．2 000 千克，30 000 元
D．1 850 千克，27 750 元
知识点03 用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一
般来说，
不等于零．当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大．
【即学即练3】(多选)下列说法中正确的为( )
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
3
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
知识点04“大数据”简介
凡是可以被 “数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达
到一定的复杂程度，都可以被认为是"大数据".
题型01 用样本数估计总体数
【典例1】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得
米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
【变式1】从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方
图，则a 的值为 ，该市中学生中的全体男生的平均身高的估计值为 cm.
【变式2】为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100 名高中男生的体重情况，根据所得数据
画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000 名高中男生中体重大于70.5 公斤的人数
为（ ）
A．300 B．360
C．420
D．450
【变式3】某校240 名学生参加某次数学选择题测验（共10 题每题1 分），随机调查了20 个学生的成绩如
下：
成
绩
1 分
2 分
3 分
4 分
5 分
6 分
7 分
8 分
9 分
10 分
4
人
数
6
0
0
2
4
2
3
2
1
0
(1)求样本的均值；
(2)请问估计有多少学生可达7 分（包括7 分）以上？
题型02 样本平均数估计总体平均数
【典例2】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组
后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在
内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如组区间
的中点值为
）作为这组
数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分．
【变式1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所
任教班级随机调查了10 名学生，其统计数据如下表：
时间（单位：小时）
4
3
2
l
0
人数
3
4
1
1
1
则这10 名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 小时.
【变式2】某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的
销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴
是从开始计数的．
5
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司在若干地区各投入
万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代
表该组的取值)．
【变式3】了解某医院急救中心病人的等待时间，现随机抽取20 位病人，对他们的等待时间记录如下表：
等待时间/分钟
[0，5)
[5，10)
[10，15)
[15，20)
[20，25]
频数
4
8
5
2
1
用上述数据估计该医院急救中心病人的平均等待时间为________分钟．
【变式4】新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若
干居民进行评分（满分为100 分），根据调查数据制成如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并
精确到0.1）.
题型03 样本方差估计总体方差
【典例3】（2024·浙江·三模）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的
分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80 人，女生120 人，其方差分别为15，10，由
此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11
B．13
C．15
D．17
【变式1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用
分层抽样，抽取了40 名初中生和20 名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8 小时，方差为
6
2，高中生每天的平均睡眠时间为7 小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差
约为（ ）
A．
B．1.5
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·福建福州·期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：
）调查中，抽取了男
生20 人，其平均数和方差分别为174 和12，抽取了女生30 人，其平均数和方差分别为164 和30，根据这
些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 .
【变式3】（25-26 高一上·全国·课后作业）2023 年10 月22 日，2023 襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务
工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100 名候选者的
面试成绩，并分成五组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率
相同．
(1)估计这100 名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20 人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试
成绩的平均数和方差分别为62 和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80 和70，据此估计
这次第二组和第四组所有面试者的方差．
题型04 总体百分数的估计
【典例4】（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的
生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500 人参加，若参赛学生
成绩的第60 百分位数是80 分，则关于竞赛成绩不小于80 分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300 人
B．至少为200 人
C．至多为300 人
D．至多为200 人
【变式1】（24-25 高二上·重庆·开学考试）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要
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求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标
准
（吨），一位居民的月用水量不超过
的部分按平价收费，超出
的部分按议价收费．为了了解居民
用水情况，通过抽样，获得了某年200 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
，
，
…，
分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中
．
(1)求直方图中
，
的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值
作为代表）；
(2)设该市有40 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2 吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使
的居民每月的用水量不超过标准
（吨），估计
的值，并说明理由．
【变式2】（2024·四川南充·一模）甲同学近10 次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，
118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75 百分位数是（ ）
A．118
B．121
C．122
D．123
【变式3】(2024·贵州遵义期末)某景点某天接待了1250 名游客，老年有625 人，中青年有500 人，少年有
125 人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100 人，以评分方式进行满意度回
访．将统计结果按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5 组，制成如下频率分布直
方图：
(1)求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a 的值；
(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数；
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(4)估计当天游客满意度分值不低于80 分的人数．
题型05 样本分布估计总体分布
【典例5】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人，并根据所得数据制作了样本的频率分
布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000 人中再用分层
随机抽样的方法抽出100 人做进一步调查，则在
段应抽出（ ）
A．25 人
B．50 人
C．100 人
D．125 人
【变式1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1 分钟跳绳测试，将所得数据整理后，
画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小矩形面积之比为
，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110 以上（含110）为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少．
【变式2】某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学
生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A 表示“广泛阅读”，B 表示“劳动实践”，C 表示“户外
运动”，D 表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计
图．请结合统计图，回答下列问题．
9
（1）参加这次调查的学生总人数为______ 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校七年级有800 名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
【变式3】为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区食品企业进行检查，从甲企业生产的某种同类产
品中随机抽取了100 件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产
品等级如下：
质量指标值
等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图（其中
）.现从甲企业生产的产品
中任取一件，估计该件产品为次品的概率为 .
一、单选题
1．（23-24 高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数
据（单位：
）进行分组，区间为
，将其按从左到右的顺序分别
编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三
组的频率之比为
，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
10
A．48
B．5
C．54
D．60
2．（23-24 高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在
内，估计所有参赛同学成绩的第75 百分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高二下·湖北·学业考试）习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取
知识启智增慧培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社
､
､
会都参与到阅读中来，形成爱读书读好书善读书的浓厚氛围
､
､
.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复
兴中学开展了“读名著品经典”活动
､
.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间
（单位：
），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于
的
概率为（ ）
A．0.150
B．0.400
C．0.450
D．0.850
4．（24-25 高二上·海南海口·阶段练习）某学校高一年级在校人数为
人，其中男生
人，女生
人，
11
为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为
cm，
抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为
cm，则该校高一学生的平均身高为（ ）
A．
cm
B．
cm
C．
cm
D．
cm
5．（24-25 高二上·山东青岛·阶段练习）某校举行劳动技能大赛，统计了100 名学生的比赛成绩，得到如
图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间
内，不低于90 分的视为优秀，低于60 分的视为不
及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．优秀学生人数比不及格学生人数少15 人
C．该次比赛成绩的平均分约为70.5
D．这次比赛成绩的
分位数为78
6．（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环
境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500 人参加，若参赛学生成绩的
第60 百分位数是80 分，则关于竞赛成绩不小于80 分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300 人
B．至少为200 人
C．至多为300 人
D．至多为200 人
7．（23-24 高三上·河南·期中）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）
的平均数和方差分别为120 和20，女生成绩的平均数和方差分别为123 和17，则全班学生数学成绩的方差
为（ ）
A．21
B．19
C．18
D．
8．（24-25 高二上·河北邢台·开学考试）已知数据
，
，
，…，
，满足：
（
），
若去掉
，
后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
12
A．中位数不变
B．第35 百分位数不变
C．平均数不变
D．方差不变
二、多选题
9．（24-25 高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）以下命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据
，
，
，
，
，
的方差为2，则数据
，
，
，
，
，
的方差为8
B．一组数据8，9，10，11，12 的第80 百分位数是11.5
C．数据0，1，2，4 的极差与平均数之积为6
D．已知一组不完全相同的数据
，
，
，
的平均数为
，在这组数据中加入一个数
后得到一
组新数据
，
，
，
，
，其平均数为
，则
10．（2024·贵州黔东南·二模）某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从
4000 名学生（该校男女生人数之比为
）中抽取了一个容量为100 的样本.其中，男生平均身高为175，
方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2 层，各层抽取的
样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，
，
，
，
，
.记总的样本平均数为
，样本方差为
，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有60 人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
11．（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）已知一组数据
的平均数为
，另一组数据
的平均数为
．若数据
的平均数为
，则 （ ）
13
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
三、填空题
12．（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油
时情况
加油时间
加油量
（升）
加油时的累计里程（千米）
2024 年9 月1 日
12
35000
2024 年9 月15 日
60
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为
升.
13．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、
、
、
、
、的中位数是
，则
的值是
．
14．同学甲用公式
计算一组样本数据的方差，那么
.
四、解答题
15.在党中央领导下，我国经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主
打线上零售产品的企业随机抽取了50 名销售员，统计了其2023 年的月均销售额(单位：万元)，将数据按
照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20，22)，[22，24]分成6 组，制成了如图所示的频率分布直
方图．已知[14，16)组的频数比[12，14)组多4.
(1)求频率分布直方图中a 和b 的值；
(2)该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目
标，完成这个冲刺目标，则给予额外奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业
应该制定的月销售冲刺目标值．
14
16.某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100 户居民每人的
月均用水量（单位：吨）.将数据按照
，
，…，
分成9 组，制成了如下图所示的频率分
布直方图．
（1）求直方图中a 的值；
（2）用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9 组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，
后5 组的方差都为0.4，求这100 户居民月均用水量的方差．
17.（24-25 高二上·安徽阜阳·开学考试）某市教育局组织全市150 名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞
赛后对其成绩(满分100 分)进行统计，将数据按[50,60)，[60,70)，
， [80,90) ， [90,100]分为5
组，其频率分布直方图如图所示．
(1)试估计这150 名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)教育局拟对竞赛得分不低于85 分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位；
(3)该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的
安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数).
18．如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记录，现有一个数据被污损，在
图中以X 表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均数为10.
15
(1)求X 的值和乙球员抢得篮板球数的方差；
(2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数据说明)．
19.（22-23 高一下·山东临沂·期末）某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500 个，为调
查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100 个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分
为100 分．将分数以20 为组距分为5 组：
、
、
、
、
，得到100 个夜
市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知
组的频数比
组多8．
(1)求直方图中
和
的值；
(2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制
定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊
位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．
