学科网（北京）股份有限公司
第01 讲 数据的收集及数字特征
课程标准
学习目标
1．数据的收集
2．数据的数字特征及其意义；
1.通过学习简单随机抽样,理解并掌握分层抽样的概
念和步骤,会用分层抽样解决实际问题,提升数据分析
与解决问题的核心素养.
2.会计算样本数据的数字特征,并能解决有关实际问
题,提升学生的数据分析、逻辑推理、数学运算的能
力.
知识点01 抽样方法
1.总体与样本
考察问题涉及的对象全体是总体,总体中每个对象都是个体,抽取的部分对象组成总体的一个样本,一
个样本中包含的个体数目是样本容量.
一般地,对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查),只抽取样本进行考察的方法
称为抽样调查.
2.简单随机抽样
学科网（北京）股份有限公司
从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取个体,这种抽样方法称为简单随机抽样(也称
纯随机抽样).
常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.
注意：分层抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
3.分层抽样
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时,每一部分
可称为层,在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
注意：使用分层抽样应遵循的原则：(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体
互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2) 分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个
体数量的比等于抽样比.
【即学即练1】
1. (多选题)下列抽取样本的方式不是简单随机抽样的是( )
A.从无限多个个体中抽取100 个个体作为样本
B.盒子里共有80 个零件,从中选出5 个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出1 个零件进行
质量检验后再把它放回盒子里
C.从20 件玩具中逐个抽取3 件进行质量检验
D.某班有56 名同学,指定个子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛
2. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40 种、10 种、30 种、
20 种,现从中抽取一个容量为20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物
油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
知识点02 最值与平均数
1．最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值
用max 表示，最小值用min 表示．
2．平均数
如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
这一公式在数学中常简记为
，其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子
中的i 表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面．
学科网（北京）股份有限公司
(1)
＝
；(2)
【即学即练2】（23-24 高一下·河南郑州·期末）用抽签法抽取的一个容量为5 的样本，它们的变量值分别
为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（ ）
A．4.5
B．4.8
C．5.4
D．6
知识点03 中位数、百分位数、众数
1．中位数
一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大
排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列
后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．(注意：一组数据的中位数是唯一的．)
2．百分位数
(1)定义
一组数的p%(p (0,100))
∈
分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至
少有(100－p)%的数据不小于该值．
直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．
(2)求百分位数的步骤
为了方便，我们按如下方式确定p%分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝
np%的值，如果i 不是整数，设i0为大于i 的最小整数，取x 为p%分位数；如果i 是整数，取为p%分位数．
特别地，规定：0 分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
注意：(1)中位数就是一个50%分位数．
(2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有
差异．
(3)实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为
第三四分位数)．
3．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置．
注意：(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，
并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．
(2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数．
【即学即练3】（24-25 高一上·四川南充·开学考试）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界
推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7 株水稻苗，测得苗高（单位：
）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25
B．23，23
C．23，24
D．24，24
学科网（北京）股份有限公司
知识点04 极差、方差与标准差
1．极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出，极差反映了一组数的变化范围，
描述了这组数的离散程度．
注意： (1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．一般情况下，
极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小，极差的计算非常
简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的
统计量，可靠性较差．
(2)极差的取值范围是[0，＋∞)．
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均数为
，则方差可用求和符号表示为
.
3．标准差
方差的算术平方根称为标准差．
如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数据的
值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高．因
此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．
注意：标准差与方差的统计意义
(1)标准差(方差)的取值范围是[0，＋∞)(标准差的大小不会超过极差)．
(2)标准差(方差)描述了一组数据相对于平均数离散程度的大小．可以根据不同组数据的离散程度比较
标准差(方差)的大小．
【即学即练4】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百
步）分别为50，
，
，
，
，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A．50，
B．50，10
C．
，
D．
，
知识点05 平均数、方差的计算方法总结
1．平均数的计算方法
(1)定义法：当所给数据x1，x2，…，xn比较小，又比较分散时，一般选用公式
来计算．
(2)新数据法：当所给的一组数据都在某一常数a 的附近波动时，一般选用简单化公式xi＝a＋xi′，其中
常数a 通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先计算
则
.
（3）性质法：如果x1，x2，…，xn，的平均数为x ，且a，b 为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b 的
平均数为ax+b.
（4）频数平均数法(也称为加权平均数法)：在给定的n 个数据中，如果x1出现了f1次，x2出现了f2次，
学科网（北京）股份有限公司
…，xk出现了fk次，则一般选用＝
(其中
＝n)来计算平均数．
2．方差的计算方法
（1）定义法：s2＝
.
（2）简化法：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]．
（3）性质法：如果a，b 为常数（a=0），则ax1+b，ax2+b，...,axn+b 的方差为a2s2.
【即学即练5】设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（
）
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
题型01 普查与抽样
【典例1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）下列调查中，适合用普查的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量
C．了解一批电池的使用寿命
D．了解某市居民对废电池的处理情况
【变式1】（25-26 高一上·全国·课前预习）下列调查中，最适宜采用全面调查方式（普查）的是（
）
A．对某市中学生每天学习所用时间的调查
B．对全国中学生心理健康现状的调查
C．对某班学生进行6 月5 日是“世界环境日”知晓情况的调查
D．对某市初中学生课外阅读量的调查
【变式2】（25-26 高一上·全国·课后作业）在以下调查中，适合用普查的个数是（ ）
①调查一个班级学生的吃早餐情况； ②调查某种饮料质量合格情况；
③调查某批飞行员的身体健康指标； ④调查某个水库中草鱼所占的比例．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】（23-24 高一下·青海海南·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某一品牌空调的使用寿命，选择普查
学科网（北京）股份有限公司
B．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查
D．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
题型02 总体与样本
【典例2】（23-24 高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000 名学生的高考成绩，
从中随机抽取了100 名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（ ）
A．100 名学生是个体
B．样本容量是100
C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
D．1000 名学生是样本
【变式1】（25-26 高一上·全国·课前预习）从某年级500 名学生中抽取60 名学生进行身高的统计分析，下
列说法正确的是（ ）
A．500 名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽取的60 名学生的身高是一个样本
D．抽取的60 名学生的身高是样本容量
【变式2】（25-26 高二上·上海·单元测试）学校为了调查高二年级学生体重情况，随机抽取50 个高二年级
学生进行体重测量，这50 个学生的体重是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本
D．样本容量
【变式3】（23-24 高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的
50种饮料中抽取了
种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，
是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本
D．样本量
【变式4】（23-24 高一下·新疆伊犁·阶段练习）为了解某中学高一年级600 名学生的身高情况，抽查了其
中100 名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生的身高是总体的一个个体
C．100 名学生的身高是总体的一个样本
D．600 名学生的身高是总体
题型03 简单随机抽样
【典例3】（24-25 高一上·全国·课前预习）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（ ）
A．某学校有学生1320 人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300 的样
学科网（北京）股份有限公司
本
B．从1135 个村庄中抽取50 个进行收入调查
C．从全班30 名学生中，任意选取5 名进行家访
D．为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5000 人中抽取200 人进行统计
【变式1】24-25 高二上·四川成都·阶段练习）某校高一共有10 个班，编号1 至10，某项调查要从中抽取三
个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3 次，设五班第二次被抽到的可能性为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·天津南开·期末）利用简单随机抽样的方法，从n 个个体（
）中抽取13 个
个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可
能性为（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型04 随机数表法
【典例4】（23-24 高一下·甘肃白银·阶段练习）某总体由编号为
的
个个体组成，利
用下列随机数表选出个个体，选法是下列表中第一行第列开始从左到右依次选
个数字，选出的第个
个体编号为（ ）
1818
0792
4544
1716
5809
7983
8619
6216
7650
0310
5523
6405
0526
6238
A．16
B．09
C．19
D．61
【变式1】（23-24 高一下·云南玉溪·阶段练习）某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700 个零件
进行抽样，先将700 个零件进行编号，
.从中抽取70 个样本，下图是利用软件生成的
随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3 位数，只要读取的号码落在编号范
围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70 个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中
第2 行第6 列的数2 开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6 个样本编号是（
）
学科网（北京）股份有限公司
A．007
B．328
C．253
D．623
【变式2】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）总体编号为01，02，…，29，30 的30 个个体组成．利用下
面的随机数表选取6 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第3 列和第4 列数字开始由左到右依次选取
两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02
B．14
C．15
D．16
【变式3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650 名学
生进行抽样，先将650 名学生进行编号，001，002，
，649，650．从中抽取50 个样本，如图提供随机
数表的第4 行到第6 行，若从表中第5 行第6 列开始向右读取数据，则得到的第4 个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007
B．253
C．328
D．860
题型05 分层抽样
【典例5】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）某工厂生产
三种不同型号的产品，它们的产量之比
为
，用分层抽样的方法抽取一个容量为
的样本.若样本中
型号的产品有120 件，则样本容量
为
（ ）
A．150
B．180
C．200
D．250
【变式1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000 人，其中高一800 人，高二600
人，高三600 人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80 人进行访谈，若采取按比例分配的
分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A．24
B．26
C．30
D．32
【变式2】（23-24 高一下·陕西·期末）中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试
分南卷、北卷、中卷，按
的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ）
A．150
B．110
C．70
D．20
学科网（北京）股份有限公司
【变式3】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）某校高一年级有810 名学生，现用比例分配的分层随机抽样
方法抽取一个容量为72 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为
（ ）.
A．450
B．360
C．400
D．320
【变式4】（24-25 高一上·全国·随堂练习）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生
中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，
而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．抽签法
题型06 平均数
【典例6】若样本数据
的平均数是2，则数据
的平均数是
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
【变式1】（23-24 高一下·甘肃定西·阶段练习）为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若
通过简单随机抽样从中抽取了1000 户进行调查，得到其月用水量的平均数为9 吨，则可推测全市居民用户
月用水量的平均数（ ）
A．一定为9 吨
B．高于9 吨
C．约为9 吨
D．低于9 吨
【变式2】（24-25 高二上·湖南·阶段练习）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、
人、
人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为
人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学
生的平均身高为
、
、
，估计该校学生的平均身高是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·福建福州·期末）若数据
、
、…、
的平均数是4，方差是4，数据
、
、…、
的平均数是
，标准差是，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式4】（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数据
，
，
，
，
，
，
的极差和平均数
相等，则实数
的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A．34
B．35
C．36
D．37
题型07 众数
【典例7】（23-24 高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8 名同学的物理成绩
分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．86，84
B．84.5，85
C．85，84
D．86.5，84
【变式1】（23-24 高一上·福建厦门·开学考试）今年是我国现行宪法公布施行40 周年.为贯彻党的二十大精
神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100 名学生
参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（ ）
分数（分）
60
70
80
90
100
人数
8
22
20
30
20
A．80，90
B．90，100
C．85，90
D．90，90
【变式2】（23-24 高三上·河北秦皇岛·开学考试）五名学生每人投篮15 次，统计他们每人投中的次数，得
到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是 .
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：
码号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是 (填“平均数”
“众数”或“中位数”)．
题型08 百分位数
【典例8】（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）从小到大排列的数据1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，
15，18 的下四分位数为（ ）
A．3
B．4
C．10
D．12
【变式1】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接
受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，
61，则这组数据的第75 百分位数是（ ）
A．34.5
B．46
C．49
D．52
【变式2】（24-25 高二上·上海·单元测试）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态
学科网（北京）股份有限公司
的满意程度的指标，常用区间
内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意程度越高，现随机抽取6
位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80 百分位数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）某部门有8 位员工，其中6 位员工的月工资分别为8200，
8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为
17000 元，则这8 位员工月工资的
可能的最大值为（ ）
A．9100
B．8800
C．8700
D．8500
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6 的
，则实
数x 的取值范围是（ ）
A．[4.5，＋∞）
B．[4.5，6.6）
C．（4.5，＋∞）
D．[4.5，6.6]
【变式5】气象意义上从春季进入夏季的标志为"连续5 天的日平均温度全都不低于22
".
℃现有甲、乙、丙、
丁四地连续5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5 个数据的中位数
为23，众数为22；②乙地：5 个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27；③丙地：5 个数据中有1 个
数据是32，平均数为26，方差为11.2；④丁地：5 个数据的20 百分位数为23，平均数为27．其中肯定进
入夏季的地区个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
题型09 方差与标准差
【典例9】（24-25 高一上·山东·开学考试）为了解家里每月的用水量情况，小明收集并记录了家里连续6
个月的用水量，分别是
（单位：吨），关于这几个数据的说法，下列结论中正确的是（ ）
A．平均数是5
B．众数是6
C．中位数是5
D．方差是
【变式1】（23-24 高一下·吉林长春·期末）高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，
104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ）
A．20.2
B．40.4
C．50
D．50.2
学科网（北京）股份有限公司
【变式2】（23-24 高一下·广东广州·期末）已知样本数据
都为正数，其方差
，
则样本数据的平均数为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式3】．（23-24 高一下·河南·开学考试）已知数据
，
，…，
的方差为
，数据
，
，
…，
的方差为
．则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·湖南·期中）为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样
本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40 名同学，其一周内请假人数的平均数和方
差分别为5 和1.65，乙班调查了60 名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4 和3.5，据此估计
该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ）
A．2.6
B．3
C．3.4
D．4.1
题型10 数字特征的实际应用
【典例10】（多选）（23-24 高一下·贵州黔西·期末）为了强化学校体育，增强学生体质，狠抓校园足球工
作，全面推动校园足球高质量发展，2023 年10 月22 日，第七届“金州杯”校园足球联赛在普安举行．在
去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平
均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（ ）
A．平均说来乙队比甲队的防守技术好
B．乙队比甲队技术水平更稳定
C．甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好
D．乙队很少不失球
【变式1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）甲、乙两人各射击
次，甲所中的环数是，，，
，
，，且甲所中的环数的平均数是
，众数是；乙所中的环数的平均数是
，方差是4.根据以上数据，
对甲，乙射击成绩的正确判断是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲，乙射击成绩稳定性相同
D．甲、乙射击成绩稳定性无法比较
学科网（北京）股份有限公司
【变式2】（24-25 高一上·甘肃定西·开学考试）某市2022 年和2023 年5 月1 日至5 日每日的最高气温（单
位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是 年.（选填“2022”或“2023”）
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
2022 年
26
27
30
33
31
2023 年
22
25
24
24
22
【变式3】为了参加全运会，省运动管理中心对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6 次测试，
测得他们的最大速度的数据如表所示：请用平均数和方差来分析甲、乙两人谁参加这项重大比赛更合适．
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
【变式4】气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5 天日平均温度不低于22 ℃”,现有甲、乙、丙三地
连续5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位是℃)
①甲地:5 个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5 个数据的中位数为27,平均数为24;
③丙地:5 个数据中有一个数据是32,平均数为26,方差为10.2.
则肯定进入夏季的地区是 .
一、单选题
1．（23-24 高一下·青海西宁·阶段练习）一个公司共有
名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从
全体员工中抽取一个容量为
的样本.已知某部门有
名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．3
B．5
C．8
D．10
2．（23-24 高二下·上海·阶段练习）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19 的20 支水笔中随
机选取6 支，选取方法是从下列随机数表第1 行的第9 个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来
的第6 支水笔的编号为（ ）
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
A．14
B．08
C．09
D．06
学科网（北京）股份有限公司
3．（24-25 高一上·四川雅安·开学考试）已知一组数据8，5，x，8，10 的平均数是8，以下说法错误的是
（ ）
A．极差是5
B．众数是8
C．中位数是9
D．方差是2.8
4．（23-24 高一上·浙江台州·开学考试）水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀
的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是
，
，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方
差分别是
，
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）已知数据
的平均数为10，方差为10，则
的平均数和方差分别为（ ）
A．30，91
B．31，91
C．30，90
D．31，90
6．（23-24 高一下·天津西青·期末）8 个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6 的75%分位数为（ ）
A．11
B．9.5
C．8
D．7.5
7．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）如表是某公司员工月收入的资料.
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3300
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数
B．平均数和中位数
C．中位数和众数
D．平均数和方差
8．（23-24 高一下·湖南长沙·期末）有一组互不相等的样本数据
，平均数为
.若随机剔除其中
一个数据，得到一组新数据，记为
，平均数为
，则下列说法错误的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数
C．若
，则新数据的方差一定大于原数据方差
学科网（北京）股份有限公司
D．若
，则新数据的
分位数一定大于原数据的
分位数
二、多选题
9．（24-25 高一上·全国·课堂例题）（多选）某市模考共有70000 多名学生参加，某校教科室为了了解本
校3390 名考生的数学成绩，从中抽取300 名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．3390 名考生是总体的一个样本
B．3390 名考生的数学成绩是总体
C．样本容量是300
D．70000 多名考生的数学成绩是总体
10．（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为
，中年
患者治愈率为
，青年患者治愈率为
.现医院共有30 名老年患者，40 名中年患者，50 名青年患者，
则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为20 的样本，老年患者应抽取5 人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
11．（23-24 高一下·黑龙江绥化·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没
有发生大规模群体感染的标准为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7 人”，过去10 天，甲、乙、丙、
丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：
平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为
，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规
模群体感染的是（ ）
A．甲地
B．乙地
C．丙地
D．丁地
三、填空题
12．（24-25 高一上·全国·课堂例题）将一个总体分为A，B，C 三层，其个体数之比为2 3 4
∶∶，现用同比例
分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 层中的个体数为16，那么此样本容量为n＝ ．
13．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据1，2，0，
，x，1 的平均数是1，则这组数据的
中位数为 .
14．（23-24 高一下·江苏常州·期末）设x，y，z 都是正整数，且
，
，
，当
x，y，z 的取值依次为 时，x，y，z 这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其
中一组取值）
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司
15．（24-25 高一上·全国·课前预习）某单位拟从40 名员工中选5 人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这40 名员工按1 至40 进行编号，并相应地制作号码为1 至40 的40 个号签，把这40 个号签放
在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5 个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将35 个白球与5 个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40 名员工逐
一从中不放回地摸取1 个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？
16．（22-23 高一下·甘肃白银·期末）某选手在参加某次比赛中，各评委打出的分数为10，9，8，9，9，
8，10，7，8，6．
(1)求该选手所有得分的平均数；
(2)若该选手所有得分的
分位数为9，求整数m 的取值集合．
17．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，
随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，
并按以下规定分为四档：当
时，为“偏少”；当
时，为“一般”；当
时，为“良
好”；当
时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：
阅读本数
（本）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数（名）
1
2
6
7
12
7
y
1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)求出本次随机抽取的学生总人数；
(2)分别求出统计表中的
的值；
(3)估计该校九年级400 名学生中为“优秀”档次的人数.
18．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）某次世界魔方大赛吸引世界各地共900 名魔方爱好者参加，本次
大赛首轮进行3×3 阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到30 个区域，每个区域30 名同时进行比赛，完
成时间小于8 秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3 阶魔方赛A 区域30 名爱好者完成时间统计图，
学科网（北京）股份有限公司
(1)填空：A 区域3×3 阶魔方爱好者进入下一轮角逐的有______人．
(2)填空：若A 区域30 名爱好者完成时间为9 秒的人数是7 秒人数的3 倍，
①a=______，b=______；
②完成时间的平均数是______秒，中位数是______秒，众数是______秒．
(3)若3×3 阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A 区域的统计结果估计在3×3 阶魔方赛后进入下一轮
角逐的约有多少人？
19．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严
谨的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题：
(1)如果将总体分为k 层，第j 层抽取的样本为
，
，…，
，第j 层的样本量为
，样本平均数为
，
样本方差为
，
.记
，总的样本平均数为
，样本方差为
，证明：
，即
.
(2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级400 名学生中随机抽取40 人，
统计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果：
抽取的学
生
生活费支出的平均数
生活费支出的标准差
男生22 人
380
女生18 人
360
根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数
、总体方差
.
