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第04 讲 概率
课程标准
学习目标
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本
空间的含义，理解随机事件与样本点的关
系．
2.了解随机事件的并、交、互斥与对立的
含义，能结合实例进行随机事件的并、交
运算.
3． 结合具体实例，理解古典概型，能计
算古典概型中简单随机事件的概率．
4． 结合实例，会用频率估计概率
5．结合有限样本空间，了解两个随机事件
独立性的含义,结合古典概型，利用独立性
计算概率．
1.理解随机现象、必然现象、样本点、样本空间、随
机事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念.
2.了解事件之间的关系与运算以及互斥事件、对立事
件的概念，能用概率的性质求事件的概率．
3.通过学习古典概型的定义，通过应用古典概型的概
率计算公式解决实际问题培养逻辑推理素养和数学运
算素养．
4.了解频率与概率的意义，会用频率估计概率．
5.通过学习相互独立事件的概念培养数学抽象素养,通
过运用事件的独立性解决问题培养逻辑推理素养和数
学运算素养．
知识点01 样本空间与事件
1. 随机现象、必然现象的概念
2
一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定
的现象就是必然现象(或确定性现象)．
2. 样本点、样本空间的概念
为了方便起见，我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．
我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间
(通常用大写希腊字母Ω 表示)．
3. 随机事件、必然事件、不可能事件的概念
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A 是Ω 的一个非空真子集．任何一个随机事件既有可能发
生，也有可能不发生．
因为任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω 中的元素，因此可以认为每次试验中Ω 一定发生，
从而称Ω 为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称
∅为不可能事件．
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表
示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件．特别地，只
含有一个样本点的事件称为基本事件．
4. 随机事件发生的概率
事件A 发生的概率通常用P(A)表示．
我们将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω 发生的概率规定为1，即P(∅)＝0，P(Ω)＝
1．
对于任意事件A 来说，0≤P(A)≤1．
【即学即练1】
1.(2024·甘肃天水一中高一月考)下面四个选项中，是随机事件的是( )
A．刻舟求剑
B．水中捞月
C．流水不腐
D．守株待兔
2.(多选)下列结论正确的是( )
A．事件A 发生的概率可能为P(A)＝0.6
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是80%，是指老师每讲一题，该题有80%的部分李峰能听
懂，20%的部分李峰听不懂
知识点02 事件间的关系
1. 事件的包含
(1)一般地，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则称“A 包含于B”(或“B 包含A”)，记作A⊆B(或
B⊇A)，这一关系可用下图表示．
3
(2)A⊆B 也可用充分必要的语言表述为：A 发生是B 发生的充分条件，B 发生是A 发生的必要条件．
(3)如果A⊆B，则P(A)≤P(B)．
2.事件的相等
(1)如果事件A 发生时，事件B 一定发生；而且事件B 发生时，事件A 也一定发生，则称“A 与B 相等”，
记作A＝B．
(2)A＝B⇔A⊆B 且B⊆A．
A＝B 也可用充分必要的语言表述为：A 发生是B 发生的充要条件．
(3)当A＝B 时，有P(A)＝P(B)．
【即学即练2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2
点}，事件C3＝{出现3 点}，事件C4＝{出现4 点}，事件C5＝{出现5 点}，事件C6＝{出现6 点}，事件D1
＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现
的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，
请举出符合包含关系、相等关系的事件.
知识点03 事件间的运算
1. 事件的和(并)
(1)给定事件A，B，由所有A 中的样本点与B 中的样本点组成的事件称为A 与B 的和(或并)，记作A＋B(或
A∪B)．事件A 与B 的和可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件A＋B 发生时，当且仅当事件A 与事件B 中至少有一个发生；
②A⊆(A＋B)且B⊆(A＋B)．
因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．
2. 事件的积(交)
(1)给定事件A，B，由A 与B 中的公共样本点组成的事件称为A 与B 的积(或交)，记作AB(或A∩B)．
事件A 与B 的积可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件AB 发生时，当且仅当事件A 与事件B 都发生．
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②AB⊆A，AB⊆B.
因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．
【即学即练3】掷一个骰子，“向上的点数是1 或2”为事件A，“向上的点数是2 或3”为事件B，则(
)
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B 表示向上的点数是1 或2 或3
D．AB 表示向上的点数是1 或2 或3
知识点04 事件的互斥与对立
(1)给定事件A，B，若事件A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)，这一关系
可用下图表示．
(2)任意两个基本事件都是互斥的，∅与任意事件互斥．
(3)当A 与B 互斥(即AB＝∅)时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2. 事件的对立
(1)给定样本空间Ω 与事件A，则由Ω 中所有不属于A 的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记作A，用
集合的观点来看，A是A 在Ω 中的补集，如图所示．
(2)如果B＝A，则称A 与B 相互对立．
(3)按照定义可知，每次随机试验，在事件A 与A中，有一个发生，而且只有一个发生．又由于必然事件的
概率为1，因此P(A)＋P(A)＝1.
【即学即练3】从装有5 个红球和3 个白球的口袋内任取3 个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
知识点05 古典概型
1.古典概型的定义
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个
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只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为
古典概率模型，简称为古典概型．
一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可
能性．
2.古典概型的概率计算公式
古典概型中，假设样本空间含有n 个样本点，如果事件C 包含m 个样本点，则P(C)＝．
【即学即练5】
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2．有5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2 支不同颜
色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.
B.
C.
D.
知识点06 频率与概率
1.频率与概率之间的关系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数
越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
2.用频率估计概率
一般地，如果在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为，则当n 很大时，可以认为事件A 发生
的概率P(A)的估计值为．这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率．
【即学即练6】下列说法正确的是( )
①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率就是事件A 的概率；
③频率是不能脱离n 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③④
知识点07 随机事件的独立性
1. 相互独立事件的概念
(1)一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立)．
[说明] “P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B 相互独立”的充要条件．
(2)事件A 与B 相互独立的直观理解是，事件A 是否发生不会影响事件B 发生的概率，事件B 是否发生也不
会影响事件A 发生的概率．
(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其
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中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
2. 相互独立事件的性质
(1)如果事件A 与B 相互独立，则A与B，A 与B，A与B也相互独立．
(2)多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则A1，A2，A3也相互
独立等．
【即学即练7】掷一个骰子一次，记事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现3 点或6 点”，则事
件A 与B 是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不相互独立事件
题型01 必然现象与随机现象的判断
【典例01】（23-24 高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的
三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b 都不为0，但
；④某地区明年7 月
的降雨量高于今年7 月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④
B．①②③
C．②③④
D．②④
【变式1】（24-25 高二上·四川雅安·阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数
在
定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
【变式2】（23-24 高二上·贵州黔东南·期末）在12 件同类产品中，有10 件是正品，2 件是次品，从中任意
抽出3 件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．3 件都是正品
B．至少有2 件是次品
C．3 件都是次品
D．至少有1 件是正品
【变式3】（多选） （23-24 高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．早晨太阳从东方升起
D．
，则
的值不小于0
题型02 样本点和样本空间
【典例2】 （23-24 高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表
班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5
B．10
7
C．15
D．20
【变式1】 （22-23 高一·全国·课后作业）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5 点停止，观察掷的次数”
的样本空间是（ ）
A．5
B．1 到6 的正整数
C．6
D．一切正整数
【变式2】 （24-25 高二·上海·课堂例题）从0、1、2 这3 个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，
构成有序数对
，x 为第1 次取到的数字，y 为第2 次取到的数字．
(1)写出这个随机试验的样本空间；
(2)写出“第1 次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间．
题型03 事件间的关系及运算
【典例3】（24-25 高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1 或3”为事件A，
“向上的点数是1 或5”为事件B，则（ ）
A．
B．
表示向上的点数是1 或3 或5
C．
表示向上的点数是1 或3
D．
表示向上的点数是1 或5
【变式1】 （24-25 高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设
两次都击中目
标
两次都没击中目标
{恰有一次击中目标}，
至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设
{两弹都击中飞机}，
{两弹都没击中飞机}，
{恰有一弹击中飞机}，
{至少有一弹击中飞机}，下列
说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】 （23-24 高一下·天津·期末）对于两个事件
，则事件
表示的含义是（ ）
A．
与
同时发生
B．
与
不能同时发生
C．
与
有且仅有一个发生
D．
与
至少有一个发生
题型04 互斥与对立的判断
【典例4】（24-25 高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，
则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生”
B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
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C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【变式1】（24-25 高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件
发生的概率
分别是
，则下列说法正确的是（ ）
A．
与
是互斥事件，也是对立事件
B．
与
是互斥事件，也是对立事件
C．
与
是互斥事件，但不是对立事件
D．
与
是互斥事件，也是对立事件
【变式2】 （24-25 高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2 个的口袋内一次取出2 个球，有如
下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都
为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
【变式3】（24-25 高二上·山东济宁·阶段练习）下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8 与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90 分与平均分不高于90 分
C．播种100 粒菜籽，发芽90 粒与发芽80 粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【变式4】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件
“第一次投篮投
中”，事件
“第二次投篮投中”，事件
“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．
，
互为互斥事件
B．
与
互为互斥事件
C．
D．
与
互为对立事件
题型05 互斥事件概率公式的应用
【典例5】（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知
与
是互斥事件，且
，
，则
等于（ ）
A．
B．0.3
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件
、
互斥，
、
至少一个发生的概率
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·山东淄博·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为
，和棋的概率为
，
则乙不输的概率为（ ）
9
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件
“抽到一等
奖”，事件
“抽到二等奖”，事件
“抽到三等奖”.已知
，则事
件“抽到的不是一等奖”的概率为（ ）
A．0.20
B．0.39
C．0.35
D．0.45
题型06 古典概型的特征
【典例6】（23-24 高二上·上海·课后作业）下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性
相等；④样本点的总数为n，随机事件A 若包含k 个样本点，则
．
A．②④
B．③④
C．①④
D．①③④
【变式1】（22-23 高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间
上任取一个实数，求取到1 的概率
【变式2】下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的
可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A 若包含k 个样本点，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
【变式3】下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1 的概率；
②从1，2，3，…，10 中任意取一个整数，求取到1 的概率；
③在一个正方形ABCD 内画一点P，求点P 刚好与点A 重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型07 简单古典概型的计算
【典例7】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的
数字记为b，且a，b {1
∈
，2，3，4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游
戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【变式1】（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对
称，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概
率为________．
【变式3】一只口袋内装有大小相同的5 只球，其中3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出2 只球．这个试验
的样本空间所包含的样本点个数为________，摸出的2 只球都是白球的概率是________．
【变式4】（23-24 高二上·黑龙江·阶段练习）已知
，
，且
，则
的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 有放回和无放回的概率问题
【典例8】（23-24 高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为
和
）、两名女生（记为
和
）中任
意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人
是一男生一女生的概率分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3 个大小质地完全相同的球，其中2 个白球、1 个黑
球，从中不放回地依次随机摸出2 个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ．
【变式2】（23-24 高一上·全国·课后作业）在试验
“袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个
（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的
情况”中，摸到白球的结果分别记为
，
，
，摸到黑球的结果分别记为
，
．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
题型09 根据概率求参数
【典例9】（23-24 高二上·浙江·期中）有5 张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中
奖”卡，现从这5 张卡片随机抽取2 张.你有资金100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.
若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资
11
金.抽取的2 张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n 至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（22-23 高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4 个红球和
个黑球，现从袋中有放回地随
机摸出2 个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（22-23 高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有
个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来
数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜
色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程
次，共摸出红球
次，根据上述数值，估计口袋中大
约有黄球（ ）个．
A．
B．
C．
D．
【变式3】某箱脐橙共有18 个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2 个，恰好取到1 个坏果的概率
为
，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3
B．5
C．2
D．4
题型10 根据加法公式求古典概型概率
【典例10】（22-23 高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同小球，从中
取出2 球，事件
“取出的两球同色”，事件
“取出的2 球中至少有一个黄球”，事件
“取出的
2 球至少有一个白球”，事件
“取出的2 球不同色”，
“取出的2 球中至多有一个白球”.下列判
断中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（21-22 高一·全国·单元测试）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，
4，5 的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小
球编号为3，则获得奖金100 元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50 元；若抽到其余编号的小球，
则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100 元的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点）一次，观察掷出
向上的点数，设事件
为掷出向上为偶数点，事件
为掷出向上为3 点，则
（ ）
A．
B．
12
C．
D．
题型11 频率与概率的辨析
【典例11】（24-25 高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．随机事件发生的概率与试验次数无关
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．一个骰子掷一次得到2 的概率是
，则掷6 次一定会出现一次2
【变式1】（23-24 高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在
次随机试验中，一个随机事件
发生的频率具有确定性
C．随着试验次数
的增大，一个随机事件
发生的频率会逐渐稳定于事件
发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【变式2】（23-24 高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为
，下列说法正确的是
（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性为
B．医院接收10 位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9 位病人都没有治愈，第10 位病人一定能被治愈
D．医院接收10 位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【变式3】（2024 高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10 发子弹，有7 发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6 次，一定有3 次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100 元钱买彩票，一定会有47 元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
题型12 用频率估计概率
【典例12】（24-25 高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作
答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”
然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回
答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300
个被调查的运动员，得到80 个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33%
B．3.33%
C．3.44%
D．4.44%
【变式1】（2024 高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20 袋，测得各袋的质
量分别为（单位：
）：
13
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在
之间的概率约为（ ）
A．0.1
B．0.15
C．0.25
D．0.5
【变式2】（23-24 高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对
随机抽出的200 名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题
2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50 个白
球和50 个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1 个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的
学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小
石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56 个，则该地区中学生吸烟人数的比例约
为（ ）
A．2%
B．3%
C．6%
D．8%
【变式3】（2024 高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大
约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手
机不超过2 h 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天
中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6 表示下雨，用计算机产生了10 组随机数180，792，454，
417，165，809，798，386，196，206 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】每年4 月15 日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全
法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统
计数据如下表所示：
学习时间（时）
党员人数
8
13
9
10
10
则从该校随机抽取1 名党员，估计其学习时间不少于6 小时的概率为（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
题型13 事件独立性的判断
【典例13】(多选)下列事件A，B 是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币抛掷两次，事件A 为“第一次为正面”，事件B 为“第二次为反面”
B．袋中有2 个白球，2 个黑球，不放回地摸两球，事件A 为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次
14
摸到白球”
C．掷一枚骰子，事件A 为“出现点数为奇数”，事件B 为“出现点数为偶数”
D．事件A 为“甲能活到20 岁”，事件B 为“乙能活到50 岁”
【变式1】一袋中装有100 个球，其中有20 个白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表
示第二次摸得白球，则事件A1与
是( )
A．相互独立事件
B．对立事件
C．互斥事件
D．无法判断
【变式2】（24-25 高一下·全国·随堂练习）坛子中放有3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球2 次，用
表示第1 次摸到白球，
表示第2 次摸到白球，则
与
（ ）
A．是互斥事件
B．是相互独立事件
C．是对立事件
D．不是相互独立事件
【变式3】（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B 满足
，则 （ ）
A．若B⊆A，则
B．若A 与B 互斥，则
C．若A 与B 相互独立，则
D．若
，则C 与B 相互对立
题型14 相互独立事件概率的计算
【典例14】（22-23 高一下·甘肃·期末）某商场在618 大促销活动中，活动规则是：满168 元可以参加
促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10 个球，其中甲箱中有5 个红球、5 个白球，乙箱中有8 个红球、
2 个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1 或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果
点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ．
【变式1】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件
，
满足：
，
，则（ ）.
A．若
，
互斥，则
B．若
，
互斥，则
C．若
，
互相独立，则
D．若
，
互相独立，则
【变式2】(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确
的是( )
A．目标恰好被命中一次的概率为
B．目标恰好被命中两次的概率为
C．目标被命中的概率为
D．目标未被命中的概率为
【变式3】（23-24 高一下·广西崇左·期末）2024 年5 月底，各省教育厅陆续召开了2024 年高中数学联赛的
相关工作.若某市经过初次选拔后有甲乙丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一
､
､
道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是
，甲丙两名同学都解答错误的概率是
､
，
15
乙丙两名同学都成功解出的概率是
､
，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
(1)求乙丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
､
(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
一、单选题
1．（2023 高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2 的概率是
，则掷6 次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
2．（24-25 高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件
是随机事件
B．事件
是必然事件
C．事件
是不可能事件
D．事件
是随机事件
3．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20 万件同类产品中随机抽取了100 件进行质检，
发现其中有5 件不合格，那么请你估计该厂这20 万件产品中合格产品约有（ ）
A．1 万件
B．18 万件
C．19 万件
D．20 万件
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1 个球，摸
出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42
B．0.28
C．0.3
D．0
5．（24-25 高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件
出现的点数不小于5 ，
出现的点数为
偶数，则事件A 与事件B 的关系是（ ）
A．
B．
出现的点数为6
C．事件A 与B 互斥
D．事件A 与B 是对立事件
6．（22-23 高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6 个红球，
个绿球，现采用不放
回的方式从中依次随机取出2 个球.若取出的2 个球都是红球的概率为
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．12
D．15
7．（23-24 高一上·四川内江·开学考试）某公园有东、南、西、北共4 个大门供游客出入，小军、小明从
不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去
的概率是（ ）
16
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高二上·贵州遵义·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块
板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一
块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件
两
炮弹都击中飞机，事件
两炮弹都没击中飞机，事件
恰有一炮弹击中飞机，事件
至少有
一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件
“出现点数为奇数”，事件
“出现点数为3”，事件
“出现点数为3 的倍数”，事件
“出现点数为偶数”，则以下选项正
确的是（ ）
A．B 与D 互斥
B．A 与D 互为对立事件
C．
D．
11．（24-25 高二上·重庆铜梁·阶段练习）若随机事件A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于0，且
，则实数a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（24-25 高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数m
92
352
818
1336
2251
3601
17
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
13．（23-24 高二上·浙江宁波·阶段练习）事件
、
是相互独立事件，若
，
，则实数
的值等于 .
14．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）若随机事件
，
互斥，
，
发生的概率均不等于0，且
，则实数
的取值范围为 ．
四、解答题
15．（23-24 高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别写在10 张一样的卡片上，并随
机抽取1 张．设
出现偶数，
出现3 的倍数．写出下面两个事件的对应子集：
(1)
至少有一个发生；
(2)
同时发生．
16．（24-25 高二上·广东佛山·阶段练习）同时转动如图的两个转盘，记转盘①得到的数为
，转盘②得到
的数为
，结果为（x，y）．
(1)分别用集合的形式表示事件“
”和事件“
且
”；
(2)若设计了一种游戏方案：甲乙两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲获胜，
否则乙获胜．游戏方案对双方是否公平？请说明理由．
17．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2 个白球，3 个红球，这些球除颜色
外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2 个球，求这2 个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1 个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1 个球，求2 次摸到的球恰好是
1 个白球和1 个红球的概率.
18．（23-24 高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某
自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费
元（不足
一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过
小时还车的概率分别为
，
；1 小时以上且不超过2 小时还车的概率分别为
，
；两人租车时间互不
影响且都不会超过3 小时.
(1)求甲、乙两人租车时间超过2 小时，且不超过3 小时的概率；
18
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4 元的概率
19．（24-25 高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000 名，各年级男、女生人数如下表：
七年级
八年
级
九年级
女
生
373
x
y
男
生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到八年级女生的概率为0.19．
(1)求x 的值；
(2)已知
，
，求九年级中女生比男生少的概率；
(3)已知
，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
