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第11 讲 直线与平面垂直
课程标准
学习目标
1.理解并会求异面直线所成的角；
2.了解直线与平面垂直的定义；
3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直
关系问题.
1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义；
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直
线与平面垂直；
3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用；
4.会求直线与平面所成角及空间中的距离.
知识点01 直线与直线所成角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ 的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
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【即学即练1】（24-25 高二上·北京平谷·期末）长方体
中，
，则
异面直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过平移说明
即异面直线
与
所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得.
【详解】
如图所示，因
，则
即异面直线
与
所成角.
连接
，在
中，
，
则
，即异面直线
与
所成角为
.
故选：C.
知识点02 直线与平面垂直及判定定理
1、直线与平面垂直的定义
（1）文字语言：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂直
（2）符号语言：l⊥α
（3）有关概念：直线l 叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
（4）图形语言：
（5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
2、直线与平面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
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（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
（3）图形语言：
（4）作用：证明线面垂直
【即学即练2】（24-25 高二·上海·课堂例题）下列命题中正确的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面；
D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面．
【答案】C
【分析】利用线面垂直的定义判定即可.
【详解】在同一平面中可作出无数条平行直线与某直线垂直，显然A、B、D 错误；
根据线面垂直的定义可知C 正确.
故选：C
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、性质定理内容：
（1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符号语言：⇒a∥b
（3）图形语言：
（4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2、性质定理的推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
【即学即练3】（23-24 高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
【答案】C
【分析】应用线面垂直的性质得出.
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【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
故选：C.
知识点04 直线与平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α 相交，但不和平面α 垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α 上的射影为AO.
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
（3）取值范围：[0°，90°]
【即学即练4】（24-25 高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平面
相交，点
，
在上，
，且
线段
在
内的射影长为
，则与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】设与
所成角为
，
因为点
，
在上，
，且线段
在
内的射影长为
，
依题意作图如下，则
，
所以与
所成角的大小为
.
故选：B
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题型01 求异面直线所成角
【典例1】（24-25 高二上·海南海口·期末）如图，三棱锥
中，
均为正三角形，
为直角三角形，斜边为
，
为
的中点，则直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
的中点
，连接
，可得
，
所成的角即为直线
所成的角，设
，
利用余弦定理可求解.
【详解】取
的中点
，连接
，易得
，
则
，
所成的角即为直线
所成的角.
设
，因为
均为正三角形，
为直角三角形，斜边为
，
则
，
，
，
在
中，由余弦定理，得
，
所以直线
所成角的余弦值为
.
故选：B.
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【变式1】（24-25 高二上·江西景德镇·期末）在正方体
中，则异面直线
与
的所成
角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用异面直线夹角的定义求出角的大小.
【详解】在正方体
中，
，
因此
是异面直线
与
的所成角或其补角，
在等腰
中，
，
所以异面直线
与
的所成角为
.
故选：B
【变式2】（24-25 高二下·上海·期中）在长方体
中，已知
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】若
为
的中点，连接
，易得异面直线
与
所成角，即为直线
与
所成
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角，根据已知及余弦定理求角的大小.
【详解】若
为
的中点，连接
，又
为
的中点，
根据长方体的结构特征易知
为平行四边形，则
，
所以异面直线
与
所成角，即为直线
与
所成角，
由题设，在
中
，且
，
则
，故
.
故答案为：
【变式3】（2026 高三·全国·专题练习）如图，
和
是异面直线，
，
分别为线段
上的点，且
，则
与
所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】在平面
中，过
作
，交
于点
，连接
，证明
，然后利用余弦定理
解三角形可得
与
所成角的大小．
【详解】解析在平面
中，过
作
，交
于点
，连接
，如图，
，
又
，
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则
，
（或其补角）即为
与
所成角，
在
中，
，
，
，
，
与
所成角的大小为60°．
故答案为：
.
【变式4】（2026 高三·全国·专题练习）在长方体
中，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】连接
，由异面直线所成角的定义可知
（或其补角）为异面直线
与
所成的角，
利用余弦定理求解.
【详解】如图，连接
，
，可知
（或其补角）为异面直线
与
所成的角．
设
．因为
，所以
，
由余弦定理，得
，
解得
，则
．
故答案为：3.
题型02 线面垂直命题的辨析
【典例2】（24-25 高一下·河南·期中）若m，n 为空间直线，
，
为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．
，
，
，则
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D．若m，n 是异面直线，则m，n 在
内的射影为两条相交直线
【答案】C
【分析】根据各选项中的条件，指出存在的可能情况判断ABD；利用线面垂直的判定性质推理判断C.
【详解】对于A，
，
，则
可能在
内，可能平行于
，也可能与
相交，A 错误；
对于B，
，
，则
可能在
内，可能平行于
，B 错误；
对于C，由
，
，得
，而
，因此
，C 正确；
对于D，m，n 是异面直线，m，n 在
内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线，
也可能是一条直线和一个点，D 错误.
故选：C
【变式1】（四川省元三维大联考2025 届高三第三次诊断性测试数学试卷）已知空间中两条直线
，及
平面
，且满足
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合题意，即可判断.
【详解】充分性：只有当垂直于
内的两条相交直线，才可推出
，由题可知，垂直于
内的一条
直线
，可能与平面
斜交，平行，或在平面
内，
故无法推出
，充分性不满足；
必要性：
，又
，则
，故必要性成立；
综上所述，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知三条不同的直线a，b，l 以及两个不同的平面
，下列
命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断.
【详解】对于A 选项，若
，则
或
，故A 错误；
对于B 选项，若
，则
，故B 正确；
对于C 选项，若
，则
与
可以异面，故C 错误；
对于D 选项，若
，如果
与
相交，则
，但如果
，则
或
或与
斜交，故D 错误.
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故选：B.
【变式3】（多选）（24-25 高一下·河南郑州·期中）设
是空间中的一个平面，l，m，n 是三条不同的直线，
则不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则以
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定、性质逐项分析判断.
【详解】对于A，
，若
，则不能推得
，A 错误；
对于B，由
，得
，而
，因此
，B 正确；
对于C，由
，得
，而
，因此
，C 错误；
对于D，由
，得
，而
，则
可能平行、可能相交、也可能是异面直线，D 错误.
故选：ACD
【变式4】（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）设直线m 与平面
相交但不垂直，则下列命题为真命题的
有（ ）
A．平面
内有无数条直线与直线m 垂直B．过直线m 有无数个平面与
垂直
C．与直线m 垂直的直线可能与平面
平行
D．与直线m 平行的平面可能与平面
垂直
【答案】ACD
【分析】结合实例，依据空间中直线、平面之间的位置关系，对A、B、C、D 判断正误即可．
【详解】对于A，如图，
在平面
内存在无数条直线与直线m 垂直，A 正确；
对于B，在直线m 上取一点，
过该点作平面
的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面
垂直，
过直线m 有且只有一个平面与平面
垂直，B 错误；
对于C，类似于选项A，在平面
外可能有无数条直线垂直于直线m 并且平行于平面
， C 正确;
对于D，如图，
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，
，可作
的平行平面
，
则
且
，D 正确.
故选：
题型03 线面垂直的证明
【典例3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，
平面
，底面
为矩形，
于点
．
求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【分析】由
为矩形及线面垂直的性质得
、
，再应用线面垂直的判断和性质有
，最后应用线面垂直的判定证
平面
.
【详解】
为矩形，
平面
平面
，
又
，
平面
，
平面
，又
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
.
【变式1】（24-25 高二上·江西景德镇·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
分别为棱
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接
，设
，连接
，证明
，由线线平行即可证得线面平行；
（2）由（1）已得
，结合
，可得菱形
，即得
，再由
平面
易得
，最后由线线垂直推出线面垂直即可.
【详解】（1）
如图，连接
，设
，连接
.
因
，
，可得
，则
，
又
，则得
，
因
平面
，
平面
，
故
平面
.
（2）由（1）已得
，因
，故四边形
为菱形，则
，
因
平面
平面
则
，
又
平面
，故
平面
.
【变式2】（2025 高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体
.求证：
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(1)
平面
；
(2)
平面
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）通过证明
AB，可完成证明；
（2）通过证明
可完成证明.
【详解】（1）由题，四边形
为正方形，则
AB.
又
平面
，
面
，则
平面
；
（2）由题，
平面
，又
面
，则
.
又四边形
为正方形，则
.
因
，
平面
，
，
则
上平面
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，底部
为
菱形，E 为
的中点. 求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得
，
，根据线面垂直判定定理即可得出
平面
.
【详解】因为
平面
，
平面
，
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所以
，
因为底面
是菱形，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
.
【变式4】（24-25 高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥
中，已知
，
的直径
，点
C 在
上，且
，点D 为
的中点．证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
，则
，
因为点D 为
的中点，所以
，
因为
为
的直径，所以
，所以
，
因为
为
的中点，D 为
的中点，
所以
，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
.
题型04 线面垂直证线线平行
【典例4】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体ABCD A1B1C1D1中，M 是AB 上一点，N 是A1C 的中点，
MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
【答案】证明见解析
【分析】先通过正方体的性质可得CD⊥平面ADD1A1，则可得到AD1⊥平面A1DC，再加上MN⊥平面A1DC，可
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证明结论．
【详解】因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，
所以MN∥AD1.
【变式1】（24-25 高一·全国·课堂练习）如图所示，在长方体
中，
平面
，
平面
，且
平面
.求证：
.
【答案】见解析.
【分析】根据线面垂直的性质可得
.
【详解】由长方体
可得：
,
，
平面
，
因为
平面
，故
.
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）如图，
，垂足分别为
.求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理分别证明
平面
和
平面
，即可证明结论.
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【详解】证明：∵
，
，∴
，
同理
，
∵
平面
，
∴
平面
，
又∵
，
，∴
，
∵
，
平面
，
∴
平面
，
∴
.
【变式3】如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，
M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．
【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E 是PD 的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式4】（24-25 高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体
中，
与
，
都垂直
相交，垂足分别是点
、点
.
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先证明
，即可得到
，再由
，即可得证；
（2）首先证明
平面
，即可得到
，同理可证
，即可得到
平面
，
结合（1）的结论，即可得证．
【详解】（1）在正方体
中，
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
，所以
，
因为
，
，
平面
，
平面
．
所以
平面
．
（2）因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
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同理可证
，
又
，
平面
，
平面
．
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
【变式5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2．
，
分别为
与
上的点，且
，
．
求证：
；
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理，证明
均与平面
垂直，进而证明
；
【详解】证明：如图，连接
，
．
∵
平面
，
平面
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
又∵
，
平面
，
∴
平面
．
又∵
平面
，
∴
．同理可得
，
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又∵
，
平面
，
∴
平面
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
，
平面
，
∴
平面
．
∴
．
题型05 线面垂直证线线垂直
【典例5】（2025·湖南永州·三模改编）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
是边长为2 的等边三角形，F 为BC 的中点.
证明：
；
【分析】记
的中点为
，利用正三角形的性质结合线面垂直判定定理证明
平面
，然后可证；
【详解】记
的中点为
，连接
，
因为
为菱形，
，所以
为正三角形，所以
，
由
为正三角形可得
，
因为
是平面
内的两条相交直线，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
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【变式1】（24-25 高二下·湖北·期中）如图，在三棱台
中，
底面
，
，
，
为
的中点，
.
证明：
；
【分析】利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得
平面
，由此可证明结论.
【详解】在三棱台
中，
∵
，
，∴
，
，
．
∵
为
的中点，∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，故
．
∵
，∴
．
∵
底面
，
底面
，∴
．
∵
平面
，
为相交直线，∴
平面
，
∵
平面
，∴
．
【变式2】（2025 高一上·全国·专题练习）在三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
.求证：
.
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【答案】证明见解析
【解析】取
的中点为E，连结
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，
∴
，∴
，
∵
的中点为E，∴
，
∵
，
面
，
面
，∴
面
，
∵
面
，∴
.
【变式3】（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱
各棱长为4，
，D 为棱
上的一点．
求证：
；
【分析】取
中点
，连接
，易得
，结合题设关系得
，进而得到
平面
，
进而求证即可；
【详解】取AB 中点O，在
中，
，O 为AB 中点，所以
，在
中，
，
，
，由余弦定理可得
，
所以有
，即
，所以
，
又因为
，
平面
，
平面
，
平面
，又因为
平面
，所以
；
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【变式4 】（24-25 高二上· 湖北· 期中）已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为线段
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接
交
于点
，连接
，
由于底面
为平行四边形，所以
为
的中点．
在
中，
为
的中点，所以
又因为
平面
平面
，所以
平面
．
（2）取
中点
，连接
．
因为
，所以
，
又
，所以
，又
，
所以由余弦定理得
，
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即
，所以
是等腰直角三角形．
又点
是
的中点，所以
，
又
，且
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
题型06 求直线与平面所成角
【典例6】（24-25 高二上·湖南·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底
面
，
，
是
的中点，作
交
于点
.
(1)求
与底面
所成角的正弦值；
(2)求证：
平面
；
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用线面角的定义，找到直线
与底面
所成角，在
中即可求得
与底面
所成角的正弦值；
（2）根据线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直;
【详解】（1）因为
底面
，所以
在底面
上的射影是
，
所以
为
与底面
所成角，
在
中，
，
设底面正方形
边长为2，则
，则
，
，
所以
；
（2）因为
底面
，
底面
，所以
，
又
，
，且
平面
，
平面
，
平面
；又因为
平面
；
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由已知
，
，且
面
,
面
，
面
.
【变式1】（24-25 高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱
中，
，
.
(1)求直线
与平面ABCD 所成角的正切值；
(2)求证：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
为直线
与平面ABCD 所成的角，然后在
中求解即可；
（2）由
平面
，可得
，再由底面是正方形可得
，然后利用线面垂直的判定
定理可得
平面
，从而可证得
.
【详解】（1）
平面
，
为直线
与平面ABCD 所成的角，
在
中，
，
直线
与平面ABCD 所成角的正切值为
.
（2）证明：
平面
，
平面
，
，
又四边形
为正方形，则
，
∵
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
【变式2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为
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棱
的中点．
(1)设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
；
(2)若
平面
，
，
，
，求直线
与平面
所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）根据
得到
平面
，故
，从而证明出
平面
；
（2）作出辅助线，证明出
，
，从而
平面
，所以
即是直线
与平面
所成角，求出各边长，求出
，得到
，
【详解】（1）底面
为平行四边形，故
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为平面
与平面
相交于
，
平面
，
所以
，
因为
不在平面
内，
平面
，
所以
平面
．
（2）取
中点
，连接
，
因为
，
，
所以
为等边三角形，
所以
，且
，
．
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因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
平面
，
故
平面
，
所以
即是直线
与平面
所成角．
因为
，
，所以
，
所以
中，
，得
，
所以直线
与平面
所成角的大小为
．
【变式3】（24-25 高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面
圆
的半径为1，圆锥的高
，三棱锥
的底面
是以圆锥的底面圆的直径
为斜边的等
腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.
(1)求直线
和平面
所成角的正切值；
(2)求该几何体的体积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定
即为直线
和平面
所成角，解直角三角形即可得答案；
（2）根据三棱锥以及圆锥的体积公式计算，即可得答案.
【详解】（1）连接CO，由题意知
平面
，
平面
，故
；
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则CO 为PC 在平面
上的射影，
则
即为直线
和平面
所成角，
由于
，故
，
故直线
和平面
所成角的正切值为2；
（2）由题意知几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥底面圆
的半径为1，圆锥的高
，
三棱锥
的底面
是以圆锥的底面圆的直径
为斜边的等腰直角三角形，
故
，
,
则该几何体的体积为
.
【变式4】（24-25 高二上·辽宁·开学考试）已知圆锥的底面半径为2，高为4，D 是母线PA 的中点，C 在底
面圆周上，
．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)求DC 与平面ABC 所成角的正弦值．
【答案】(1)表面积
，体积
(2)
【分析】（1）根据圆锥体积与表面积公式代入计算即可得出结果；
（2）利用线面角的定义作出DC 与平面ABC 所成角的平面角，即可得出结果.
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【详解】（1）圆锥的母线
，
则圆锥的表面积
，
圆锥的体积
（2）取AO 的中点E，连接DE，CE，
因为D，E 分别是PA，OA 的中点，所以
，所以
平面ABC，
所以CE 是DC 在平面ABC 内的射影，所以
是DC 与平面ABC 所成角，
又
，
，
所以
，
可得
，
即DC 与平面ABC 所成角的正弦值是
．
题型07 求点到平面的距离
【典例7】（24-25 高二下·江苏常州·期中）在棱长为1 的正方体
中，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知求出
的面积，再由等体积法求点
到平面
的距离．
【详解】如图，连接
，
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正方体
的棱长为1，
是边长为
的等边三角形，
，
设点
到平面
的距离为，
由
，得
，
可得
，则点
到平面
的距离为
．
故选：C．
【变式1】（24-25 高二上·内蒙古包头·期末）如图，棱长为1 的正方体
中，则点
到平面
的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】根据题意，设点
到平面
的距离为
，
则
，即
，
则
，得
.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知等边
边长为2，
平面
，且
，则点C
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到平面
的距离为 ．
【答案】
【分析】利用等体积
计算即可.
【详解】因
平面
，则
为三棱锥
的高，
则
，
由
平面
，
平面
，则
，
在直角
中，
，同理
，
则等腰
的底边
上的高为
，则
,
设点C 到平面
的距离为
，则
，
得
故答案为：
.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）如图，三棱柱
中，侧面
与底面
垂直，且
，
，
为侧棱
的中点，三棱锥
的体积为
.求三棱柱
的高.
【答案】
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【分析】依题意可得
，即可求出
，再利用余弦定理求出
，即可求出
，从而求出高.
【详解】因为
平面
，
所以
，
又
，
所以
，
在
中，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
设三棱柱
的高为，
则
，
解得
.
【变式4】（24-25 高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是直角梯形，
，
平面
，Q 是PB 的中点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求点D 到平面PAC 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
的中点
，证明
是平行四边形，得出
，再应用线面平行判定定理证明；
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（2）应用等体积法计算得出点到平面距离.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，所以
，
，
因为
分别是
中点，得出
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）
，
，
平面
，
平面
，则
，
，
，
，
设点D 到平面PAC 的距离为
，由
，得
，
即
，得
.
所以点D 到平面PAC 的距离为
.
题型08 线面垂直中的探索性问题
【典例8】（24-25 高二上·上海·阶段练习）在长方体
中，
，
，E 为棱
上一动点，
(1)当
平面
时，求线段
的长度；
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(2)在
上是否存在定点
，使得
恒成立？如果存在，求
的长度．
【答案】(1)1；
(2)存在，且
.
【分析】（1）连接
，交
于
，在面
内过
作
，交
于
，根据线面平行的判定
找到
的位置，进而求线段长；
（2）问题化为证
面
，进而求
的位置，即可得线段长.
【详解】（1）连接
，交
于
，在面
内过
作
，交
于
，
由
面
，
面
，则
面
，
故
与
重合时，满足题设要求，
根据长方体的性质，易知
是
的中点，故
，即所求
是
中点，
所以
；
（2）存在，且
，理由如下，
要使
恒成立，只需
垂直于
所在平面
即可，
当
面
，而
面
，故
，
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此时
，即
，
所以
，则
，可得
.
【变式1】（23-24 高一下·河北衡水·期末）已知正方体
的棱长为
分别是
的
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点H，使得
平面
?若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）构造中位线和平行的传递性证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）因为
是等腰三角形，当H 为
的中点时，则满足
，所以猜想当H 为
的中点有
平面
，然后证明猜想即可.
【详解】（1）证明：连接
，因为
分别是
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，在正方体中，
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
；
（2）取
的中点H，则满足
平面
，且
.
证明如下：取
的中点H，连接
，则
，
在
中，
，由
，得
，
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由
，得
，
由
，得
，
在
中，
，所以
，又
平面
，
所以
平面
，且
.
【变式2】（23-24 高二上·上海·期末）如图，已知正方形
的边长为1，
平面
，三角形
是等边三角形．
(1)求异面直线
与
所成的角的大小；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
与平面
所成的角大小为
？若存在，求出
的长度，若
不存在，说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，1
【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解，
（2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）因为
为正方形，则
，
则异面直线
与
所成的角为
与
所成的角，即
或其补角，
因为三角形
是等边三角形，则
平面
，
平面
，
，
．
所以异面直线AC 与BD 所成的角为
．
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（2）作
交
于点
，连接
，
平面
，
平面
，
则
与平面
所成的角为
，
设
，则
，
则
.
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）在棱长为的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，在
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在求出
的长；若不存在说明理由．
【答案】存在，
【分析】取
的中点
，作出辅助线，证明出线面垂直，得到
⊥
，再由三角形相似得到
，从而得到
⊥平面
.
【详解】取
的中点
，取
的中点M，连接GM，则GM
AC，
连接AC 交EF 于点H，连接BD，
因为
、
分别为
、
的中点，
所以
，
因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，
因为
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
EF，
因为
，
平面
，
所以EF⊥平面
，
因为
平面
，
所以
⊥
，
因为
，
，
，
，
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故
，
，故
，
又
，
所以
∽
，
故
，故
，
所以
，
因为
，
平面
，
所以
⊥平面
.
故存在点
，使得
平面
，此时
.
一、单选题
1．（2025 高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l 是与平面
相交的一条斜线，则在平面
内与l 垂直的直
线（ ）
A．有且只有一条
B．有无数条
C．有且只有两条
D．不存在
【答案】B
【分析】依题意画出图形，即可判断.
【详解】如图设斜线l 与平面
交于点A，在平面
内过点A 作直线
，
则在平面
内所有与直线a 平行的直线均与直线l 垂直，
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故在平面
内与l 垂直的直线有无数条.
故选：B
2．（24-25 高二上·上海·期中）已知直线和平面
，则“ 垂直于
内的两条直线”是“
”的（ ）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．
非充分非必要条件
【答案】B
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.
【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.
而“ 垂直于
内的两条直线”，没有满足相交，
所以不一定能推出直线与平面垂直，
但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，
即可得：“ 垂直于
内的两条直线”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2025 高一·全国·专题练习）下列平面中的两条直线与直线
垂直，可以保证直线
与平面垂直的是
（ ）
①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边.
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】D
【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面中的两条直线必须相交，逐一判断是否相交即可得出结论.
【详解】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；
对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；
对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；
对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选：D
4．（23-24 高一下·甘肃武威·阶段练习）若直线
平面
，则下列说法正确的是（ ）
A．l 仅垂直平面
内的一条直线
B．l 仅垂直平面
内与l 相交的直线
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C．l 仅垂直平面
内的两条直线
D．l 与平面
内的任意一条直线垂直
【答案】D
【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可
【详解】因为若直线
平面
，则l 与平面
内的任意一条直线都垂直．
所以ABC 错误，D 正确，
故选：D
5．（24-25 高一下·安徽·期中）
为空间两条不重合直线，
为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．
，则
B．
与
所成角均为
，则
C．
，则直线
到
的距离相等
D．
，则
【答案】B
【分析】ACD 选项，可举出反例；B 选项，由线面垂直的性质定理知
平行.
【详解】对于A，当
时，根据线面垂直的定义，由
，可知必有
，故当
，
时，
可以不与平面
平行，故A 错误；
对于B，根据线面角的定义，可知当
都与平面
成
角时，
，由线面垂直的性质定理知
平行，故B 正确；
对于C，如图所示，
，但直线
到
的距离可以不相等，故C 错误；
对于D，
，则
可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D 错误．
故选：B．
6．（24-25 高二上·河北唐山·期末）若三棱锥
的所有棱长都相等，则
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取
中点
，连接
，
，由已知条件结合线面垂直的判定可得
平面
，则
，从而可得结论.
【详解】如图所示，取
中点
，连接
，
，
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因为三棱锥各条棱长均相等，所以
，
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以
，即
与
所成的角是
.
故选：D.
7．（24-25 高三下·河南信阳·开学考试）在正四棱锥
中，E，F，G 分别是棱
，
，
的中
点，
是底面
的中心，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
【答案】C
【分析】令
，利用线面平行的判定推理判断CD；证明
与
相交不垂直判
断AB.
【详解】在正四棱锥
中，
，令
，连接
，
在
中，由E，F 分别是边
的中点，得
，
是线段
的中点，
而
为
的中点，则
，又
平面
，
平面
，
因此
平面
，C 正确，D 错误；
由
平面
，
平面
，得
，
与
相交不垂直，
又
，且
平面
，因此
与
相交不垂直，AB 错误.
故选：C
8．（24-25 高一下·河南·期中）正三棱台
三侧棱的延长线交于点P，如果
，三棱
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台
的体积为
，
的面积为
，那么侧棱
与底面所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过
作
面
于
，交面
于
，连接
，确定侧棱
与底面所成的角，结合体
积公式求出
，再利用三棱锥
为正三棱锥，求得
，即可求解.
【详解】由正三棱台
三侧棱的延长线交于点
，得三棱锥
为正三棱锥，
过
作
平面
于
，交平面
于
，连接
，
由
，得
，则
，又
，则
，
则
，
解得
，则
，设
的边长为
，则
，解得
，
由三棱锥
为正三棱锥，得
是
的中心，
，
由
平面
，得
为侧棱
与底面所成的角，所以
.
故选：D
二、多选题
9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体
中，给出以下判断，其中正确的有
（ ）
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A．
平面
B．
平面
C．
与
是异面直线
D．
平面
【答案】ACD
【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A，因为
为正方体，所以
平面
，所以A 正确；
对于选项B，因为
平面
，
所以
与平面
也有交点，所以B 错误；
对于选项C，因为
与
相交，所以
与
异面，所以C 正确；
对于选项D，因为
平面
，
平面
，
所以
且
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
同理
，所以
平面
，所以D 正确.
故选：ACD．
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，正方体
的棱长为1，且M，N 分别为
AC，
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
平面
B．
C．直线MN 与平面ABCD 所成的角为
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D．三棱锥
的体积为
【答案】ABC
【分析】对于A，由
可判断选项正误；对于B，由A，通过说明
可判断选项正误；对于
C，由A 可得MN 与平面ABCD 所成的角即
与平面ABCD 所成的角，据此可判断选项正误；对于D，由
可判断选项正误.
【详解】对于A，因为M，N 分别为AC，
的中点，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
，故A 正确；
对于B，因为
平面
，
平面
，所以
，又
，
所以
，故B 正确；
对于C，因为
，所以MN 与平面ABCD 所成的角即
与平面ABCD 所成的角．又
平面
ABCD，所以
是
与平面ABCD 所成的角．
又
，
，所以
，即直线MN 与平面ABCD 所成的角为
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误．
故选：ABC
11．（22-23 高一下·云南昭通·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论
正确的是（ ）
A．EF 与MN 所成的角为60°
B．
C．
D．EN 与CD 所成的角为90°
【答案】ABD
【分析】由题意还原正方体，根据正方体的几何性质，结合异面直线夹角以及面面垂直，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
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对于AC，连接
，如下图：
易知
，
，则
为异面直线
与
的一个夹角，
易知
，故A 正确，
显然
与
相交，则
与
异面，故C 错误；
对于B，连接
，如下图：
易知
，
，则
，故B 正确；
对于D，连接
，如下图：
易知
平面
，
，因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（24-25 高一下·全国·课后作业）在长方体
中，点
是平面
内异于点
的一点，
平面
，且
平面
，则
与
的位置关系是 ．
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【答案】平行
【分析】根据线面垂直的性质可得出结论.
【详解】如下图所示：
在长方体
中，
平面
，
因为
平面
，所以，
，
故答案为：平行.
13．（24-25 高二下·上海·阶段练习）在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，则点
到平面
的距离等于 .
【答案】
【分析】根据线面垂直的性质可得
，再根据线面垂直的判定可推出
面
，则
，
再利用等体积法转换即可.
【详解】
面
，
面
；
.
且
，
面
；
.
；
.
；
；
设点
到平面
的距离等于.
；
；即
.
即点
到平面
的距离等于
.
14．（24-25 高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角
形的四面体.如图，在直角
中，AD 为斜边BC 上的高，
，
，现将
沿AD 翻折成
，使得四面体AB＇CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
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【答案】
【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由题可知，
，
都是直角三角形，只需
平面
即可，
所以鳖臑外接球的球心在过
中点且垂直于平面
的直线上，
而在直角三角形
中，
的中点到点
的距离都相等，
所以
的中点是外接球的球心，所以
，
所以该鳖臑外接球的表面积为
．
故答案为：
.
四、解答题
15．（2024 高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥
的底面是正方形，
底面
.
(1)若
，求四棱锥
的体积
(2)求证：
平面
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥
的体积.
（2）可证
，结合
可证
平面
.
【详解】（1）因为
底面
，故四棱锥
的高为
，
而正方形
的面积为，故
.
（2）因为
底面
，而
平面
，故
，
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由正方形
可得
，因
平面
，
故
平面
.
16．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，
为
所在平面外一点，
平面
，
，
于点
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明.
【详解】（1）
平面
，
平面
，
．
，
．
又
，
，
平面
，
平面
．
（2）
平面
，
平面
，
．
，
，
，
平面
，
平面
．
17．（24-25 高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面
为圆柱
的轴截面，点
为底面圆周上
异于
，
的任意一点．
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(1)求证：
平面
；
(2)若
为
的中点，求证：
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）
为
的直径，点
为
上的异于
，
的任意一点，可得
, 又圆柱
中，
底面
可得
，得证．
（2）取
中点
，连结
、
，应用三角形中位线定理得
，又圆柱
中，
，且
，推出
为平行四边形，得到
即得证．
【详解】（1）∵
为
的直径，点
为
上的异于
，
的任意一点，
∴
．又在圆柱
中，
底面
，
底面，
∴
，又
，
平面
，
∴
平面
．
（2）取
的中点
，连接
，
，
∵
为
的中点，∴在
中，
，且
，
又在圆柱
中，
，且
，
∴
，
，∴四边形
为平行四边形，
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∴
．而
平面
，
平面
，
∴
平面
.
18．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱
中，
，
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直即可求证，
（2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解.
【详解】（1）由于四棱柱
为正四棱柱，所以四边形
为正方形，故
,
又
底面
，
底面
，故
,
平面
，
故直线
平面
（2）由
，
可得
,
所以
,
设
到平面
的距离为，
则
19．（24-25 高一下·云南昭通·期中）如图所示，
平面
，
，
，
为
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行；
（2）先作辅助线利用定义法找到直线
与平面
所成角，在计算夹角的正弦值；
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，如图5 所示：
因为
分别为
的中点，所以
且
.
又
，且
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
,
因为
平面
，
平面
，所以
平面
（2）如图6，取
的中点
，连接
，
∵
，∴
,
∵
平面
，∴
，
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∵
，∴
平面
.
则直线
与平面
所成角为
，
在
中，∵
，
∴
，
在等边
中，∵
，∴
，
∴
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
