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第12 讲 平面与平面垂直
课程标准
学习目标
1.理解二面角的概念、会求二面角的大小；
2.了解平面与平面垂直的意义；
3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直
关系问题.
1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培
养直观想象的核心素养；
2.借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推
理、数学抽象的核心素养.
知识点01 二面角
1、二面角的概念
（1）概念：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线
出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
（2）图示及记法：
棱为，面分别为
和
的二面角记作
或
或
或
.
2、二面角的平面角：
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（1）定义：在二面角
的棱上任取一点
，以
为垂足，分别在半平面
和
内作垂直于棱的
射线
和
，则射线
和
所成的角称为二面角的平面角。
（2）图示：
（3）范围：
（4）规定：
①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小。平面角是直角的二
面角称为直二面角.
②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4 个二面角中，不大于90°的角的
大小。
【即学即练1】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）在正方体
中，平面
与平面ABCD
所成锐二面角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合正方形的结构特征可知平面
与平面ABCD 所成二面角为
，即可得结
果.
【详解】因为
平面
，
平面
，
可得
，可知平面
与平面ABCD 所成锐二面角为
，
又因为
为正方形，可得
，
所以平面
与平面ABCD 所成锐二面角的大小为
.
故答案为：
.
知识点02 平面与平面垂直定义与判定
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
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（2）图形语言：
（3）符号语言：α⊥β.
2、面面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：
【即学即练2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD
垂直的平面是（ ）
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PCD
【答案】C
【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.
【详解】因为
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
，
由四边形ABCD 为矩形得
，
因为
，
所以
平面PAD．
又
平面PCD，
所以平面
平面PAD．
故选：C
知识点03 面面垂直的性质定理
（1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
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那么这条直线与另一个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：
（4）作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
（5）垂直问题转化关系
【即学即练3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，平面
平面
，
，
，
是正三角形，O 为
的中点，则图中直角三角形的个数为 .
【答案】6
【解析】由面面垂直的性质定理可得：
平面
，再逐一判断即可得解.
【详解】解：
，O 为
的中点，
.
又平面
平面
，且交线为
，
平面
.
平面
，
，
为直角三角形.
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∴图中的直角三角形有
，
，
，
，
，
，共6 个.
故答案为：6.
题型01 面面垂直命题的辨析
【典例1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b 与平面
，
，
，下面能使
成立的条件
是（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若
，则
可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A 错误；
对于B，若
，由线面垂直判定定理可知，
与
不一定垂直，
因此
相交，不一定垂直，B 错误；
对于C，若
，则
可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C 错误；
对于D，由
，得存在过直线
与平面
相交的平面，令交线为，则
，
又
，于是
，因此
，D 正确.
故选：D
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）直线
平面
，
平面
，则
与
的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．以上均有可能
【答案】C
【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可.
【详解】因为直线
平面
，
平面
，
根据面面垂直的判定定理可得
，即
与
的位置关系是垂直.
故选：C
【变式2】（24-25 高二上·上海·期末）已知
表示两个不同的平面，
是一条直线且
，则
是
的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
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【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义
【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若
，
，则
；
反之，当
时，则
相交，记交线为，
又
，所以
或
相交或
重合，
若
，又
，则
，所以不一定能得到
．
所以
是
的必要不充分条件．
故选：B．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）对于直线
，
和平面
，
，能得出
的一个条件是
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【分析】在AB 中，可得
与β 相交或平行；在C 中，由面面垂直的判定定理得
；在D 中，由面面平
行的判定定理得
.
【详解】在A 中，
，
，
，则
与β 相交或平行，故A 错误；
在B 中，
，
，
，则
与β 相交或平行，故B 错误；
在C 中，
，
，则
，
且
，由面面垂直的判定定理得
，故C 正确；
在D 中，
，
，
，由面面平行的判定定理得
，故D 错误.
故选：C.
【变式4】（24-25 高一下·云南昭通·期中）（多选）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平
面，下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
【答案】BD
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A，若
，
，则
或
，故A 错误；
对于B：若
，
，则
，而
，故
，故B 正确；
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对于C，若
，
，
，则
或
与
是异面直线，故C 错误；
对于D：若
，
，根据面面垂直的判定定理可得
，故D 正确；
故选：BD．
题型02 面面垂直的证明
【典例2】（24-25 高一下·天津·期中）如图，四棱锥
的底面是菱形，
底面ABCD，O、E 分
别是AD、AB 的中点，
，
，
(1)求证：
平面PAD；
(2)求证：平面
平面POE；
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证.
（2）利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定推理得证.
【详解】（1）四棱锥
底面是菱形，连接
，
，则
是正三角形，
由
底面ABCD，
平面
，得
，由
是
的中点，得
，
而
平面
，所以
平面
.
（2）连接
，由菱形
，得
，由
是
的中点，得
，则
，
由
底面ABCD，
底面ABCD，得
，
而
平面
，则
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
【变式1】（20-21 高一下·全国·课后作业）在四棱锥
中，已知
底面
，且底面
为矩形，则下列结论中正确的是（ ）
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A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】ABD
【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由已知
底面
，且底面
为矩形，
所以
，且
,
平面
，
所以
平面
，又由
平面
，所以平面
平面
，所以A 正确；
对于B 中，由已知
底面
，且底面
为矩形，
所以
，且
,
平面
，
所以
平面
，又由
平面
，所以平面
平面
，所以B 正确；
对于C 中，假设平面
平面
，过点
作
，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，又由
，且
，
所以
平面
，可得
，这与
矛盾，
所以平面
与平面
不垂直，所以C 不正确；
对于D 中，由已知
底面
，且底面
为矩形，
所以
，且
,
平面
，
所以
平面
，又由
平面
，所以平面
平面
，所以D 正确.
故选：ABD.
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四面体
中，
是正三角形，
是直角三
角形，
，
．证明：平面
平面
.
【答案】证明见解析
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【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出
，取
的中点
，作出
的平面角后利
用条件及勾股定理，逆定理判定即可.
【详解】由题意知
，所以可得
,从而
，
又
为直角三角形，所以
，
取
的中点
，连接
，
，则
，
，
又由于
是正三角形，
故
，所以
为二面角
的平面角．
在
中，
，
又
，所以
，
故
，所以平面
平面
．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课堂例题）在正方体
中，求证：平面
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直，即证明
平面
.
【详解】证明 如图所示，
是正方体，
平面
，
平面
，
，
又
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
．
【变式4】（24-25 高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.求证：平面
平面
.
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【分析】利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】
取
的中点
，连接
，
，
，
，
，
且
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
,
，
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
【变式5】（24-25 高一上·专题训练）如图，在斜三棱柱
中，侧面
是菱形，
，在平面
中，
，且
.
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求证：平面
平面
【详解】如图所示，取
中点
，连接
，
，
由四边形
为菱形，且
，
得
，
，
又
，
，
，
，
，
又
，且
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
题型03 面面垂直证线面垂直
【典例3】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥
中，底面
是
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，G 为AD 边的中点.求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质可得
平面
，即可得
，结合
，即可由线面垂直
的判定求证.
【详解】由题意知
为正三角形，
是AD 的中点，
．
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
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平面
，
平面
，
.
又
四边形
是菱形且
，
是正三角形，
.又
，
，
平面
，
平面
.
【变式1】（2025 高一·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝
4，AD＝CD＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【答案】证明见解析
【分析】由几何关系证明BC⊥AC，再由面面垂直的性质BC⊥平面ACD.
【详解】如题图(1)，在梯形ABCD 中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C 作CE⊥AB，E 为垂足，
∴四边形AECD 为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC 且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC 且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形
中，已知
，
，
，
，E 为对角线
的中点，现将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
．求证：
(1)直线
平面
；
(2)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
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【分析】（1）由已知
为
中点，可得
，利用面面垂直的性质定理即可证明；
（2）由已知，可得
平面
，则
，又得
，则
平面
，利用面面垂直的
判定得证.
【详解】（1）因为平面
平面
，且平面
平面
，
又
，则
，且
为
中点，所以
，
又
平面
，所以
平面
；
（2）在直角梯形
中，
，
，
则
，
又
，则
，
又
，所以
，
在折后的几何体
中，
，
因平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，则
，
又
，即
，则
，
又
，
平面
，
平面
，
则
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱
中，已知
为正三角形，
分别是
，
的中点，平面
平面
，
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】利用等边三角形性质结合面面垂直性质得到
平面
，再利用线面垂直的性质得到
，然后结合题意得到
，最后利用线面垂直的判定定理求解即可.
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【详解】因为
为等边三角形，
是
的中点，所以
．
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
．
又因为
分别是
，
的中点，所以
．
又因为
，所以
，
又因为
，
平面
，所以
平面
．
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，侧面
底面
．
与
是否互相垂直？请
证明你的结论．
【答案】互相垂直，证明见解析
【分析】取
的中点
，连接
，
，先根据面面垂直的性质定理得到
底面
，进一步根
据线面垂直得到
，再证明
，根据线面垂直的判定定理得到
平面
，最后根据线
面垂直的定义可得
.
【详解】
与
互相垂直．证明如下：如图，取
的中点
，连接
，
．
，
，
又侧面
底面
，平面
平面
，
平面
，
底面
，
又
平面
，
．
在
和
中，
，
,
，
所以：
.
所以
，
，
，
，
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又
，且
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
，即
与
互相垂直．
题型04 求二面角
【典例4】（24-25 高一下·全国·课后作业）四边形ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．求：
（1）二面角A-PD-C 的平面角的度数;
（2）二面角B-PA-D 的平面角的度数;
（3）二面角B-PA-C 的平面角的度数;
（4）二面角B-PC-D 的平面角的度数.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【分析】（1）可证平面
平面
，即可求得二面角的平面角为直角；
（2）根据二面角的定义，其平面角为
，求出角度，则问题得解；
（3）根据二面角的定义，其平面角为
，求出角度，则问题得接；
（4）过
作
，求得二面角的平面角为
，求解即可.
【详解】（1）因为
平面
平面
，
故
，
又四边形
为正方形，
故
，
又
平面
，
故
平面
，又
平面
，
故平面
平面
，
则二面角A-PD-C 的平面角的度数为
.
（2）平面
平面
，又
，
且
平面
平面
，
故可得二面角
的平面角为
，
又四边形
为正方形，故
.
即二面角B-PA-D 的平面角的度数为
.
（3）因为
平面
平面
，
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故可得
，又
（四边形
为正方形），
又
平面
，
故
平面
，
又平面
平面
，
故
即为二面角B-PA-C 的平面角.
在正方形
中，显然
.
故二面角B-PA-C 的平面角的度数
.
（4）不妨设正方形
的边长为1，
故可得
.
故可得
，
过点
作
，连接
，则
，连接
，如下图所示：
因为平面
平面
，
又
平面
平面
，
故
即为二面角B-PC-D 的平面角.
由（3）可知：
，故
为直角三角形，
故
，解得
；
又
.
故在
中：
,
，
由余弦定理可得cos
.
又
，故可得
.
故二面角B-PC-D 的平面角的度数为
.
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【变式1】（24-25 高一·全国·课堂练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD 与底面ABCD 所成的二
面角A1－BD－A 的正切值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用定义作出
为所求的角，再通过
可求.
【详解】如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接A1O，
则
，∠A1OA 为二面角A1－BD－A 的平面角，
设A1A＝a，则AO＝
a，
所以
.
故选：C
【变式2】（2025 高一下·全国·专题练习）已知三棱锥
的三个侧面与底面全等，且
，
，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .
【答案】
【分析】取
中点
，由于三个侧面与底面全等，
，可证
，则
是面
BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角，根据余弦定理即可求解．
【详解】取
中点
，连接
因为
，三个侧面与底面全等，则
，
所以
，故
是面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角，又
所以
由
，所以
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故答案为：
【变式3】如图，
是
的直径，
垂直于
所在的平面，
是圆周上的一点，且
，求二
面角
的大小．
【答案】
．
【分析】首先根据题意易证
，
，从而得到
是二面角
的平面角，再求其
大小即可.
【详解】由已知
平面
，
平面
，所以
．
因为
是
的直径，且点
在圆周上，所以
．
又因为
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
又因为
是二面角
的棱，
所以
是二面角
的平面角．
又因为
，所以
是等腰直角三角形，
所以
，即二面角
的大小是
．
【变式4】（24-25 高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥
中，底面边长为2，高为4．
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(1)求直线
与平面
所成角的正切值；
(2)求二面角
的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接
，取
中点
，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值.
（2）作出二面角
的平面角，利用几何法求出二面角的大小.
【详解】（1）在正四棱锥
中，连接
，取
中点
，连接
则
为正方形
的中心，
平面
，
是直线
与平面
所成的角，
由
，得
，而
，
在
中，
，
即直线
与平面
所成角的正切值为
；
（2）在
中，过
作
于
，连接
，
由
≌
，得
，而
，
则
≌
，
，即
，
因此
是二面角
的平面角，
，
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，
，
，在
中，
，
，
即二面角
的余弦值为
.
【变式5】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形
是正方形，
平面
．若
，求平面
与平面
所成的二面角的大小．
【答案】45°．
【分析】根据线面垂直得出二面角是
，再结合三角形边长求出角即可.
【详解】因为
，
不在平面
内，
平面
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
平面
，
所以
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
为平面
和平面
所成二面角的平面角，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
所以
．
题型05 已知二面角求值
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【典例5】（24-25 高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角
平面角的大小为
，其棱l 上有
A、B 两点，
、
分别在这个二面角的两个半平面内，且都与
垂直.已知
，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果.
【详解】如下图所示，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，
因为
，
，则
，
又因为
，
，
，故二面角
的平面角为
，
因为四边形
为平行四边形，则
，
，
因为
，故
为等边三角形，则
，
∵
，则
，
，
又
，
平面
，故
平面
，
因为
平面
，则
，故
．
故选：C．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，
为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为
，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为
C．
的面积为
D．
【答案】D
【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设
是
的中点，
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连接
，则
是二面角
的平面角，求出
判断D，再求出
的面积判断C.
【详解】依题意，
，
，所以
，
对于A，圆锥的侧面积为
，故A 错误；
对于B，圆锥的体积为
，故B 错误；
对于D，设
是
的中点，连接
，
则
，所以
是二面角
的平面角，
则
，所以
，
故
，则
，故D 正确
对于C，
，所以
，故C 错误；
故选：D
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）把正方形
沿对角线
折成直二面角，则
是
（ ）
A．正三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】A
【分析】利用正方形及折叠的性质计算
的长即可判定.
【详解】设正方形边长为1，
与
相交于点
，则
,
所以折成直二面角后，易知
，
，
，
则
是正三角形.
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故选：A
【变式3】（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱
的体积为8，二面角
的大
小为
，且
，
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得
，再根据直三棱柱的体积求出
，再利用
等体积法求点
到平面
的距离.
【详解】取
的中点
，连接
，
，
，则二面角
的平面角为
，
二面角
的大小为
，则
，
所以
，
，
又
直三棱柱
的体积为8，
，
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则
，
，
又
平面
平面
，平面
平面
，
且
平面
，
平面
，
设点
到平面
的距离为，又
，
，解得
，
故选：A.
【变式4】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知腰长为
的等腰直角
，现沿斜边
上的高
翻
折，使得二面角
的大小为
，则点B 到
的距离为 ．
【答案】
【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高．
【详解】如图，
图①中，由题意，
，
所以
，
因为
，
所以
为二面角
的平面角，
即
，
所以图②中
，
设点B 到
的距离为h，
由等面积法可知
，
即
，
故答案为：
．
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题型06 面面垂直相关的探索性问题
【典例6】（24-25 高一下·浙江·期中）已知四棱锥P－ABCD 中，△PBC 为正三角形，底面ABCD 为直角
梯形，
，
，
，
．
设F 为BC 中点，问：在线段AD 上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF 成立．若存在，求出
AE 的长；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)存在，
【分析】存在这样的E 点；且当
时满足，过点F 作
交AD 于点E，则可得
，
，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
【详解】存在这样的E 点；且当
时
过点F 作
交AD 于点E，
∵△PBC 为正三角形，
∴
，∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
∵
∴AD⊥平面PEF，
∵AD
平面PAD，
故平面PAD⊥平面PEF
【变式1】（24-25 高一下·全国练习）如图，在直三棱柱
中，M 为棱
的中点，
，
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，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)在棱
上是否存在点N，使得平面
平面
？如果存在，求此时
的值；如果不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，
.
【分析】（1）连接
与
，两线交于点
，连接
，利用三角形中位线性质得到
，再利用
线面平行的判定即可证.
（2）应用线面垂直的性质、判定可得
平面
，从而得到
，根据
和
得到
，再利用线面垂直的判定即可证.
（3）当点
为
的中点，设
的中点为
，连接
，
，易证四边形
为平行四边形，从
而得到
，进而有
平面
，再利用面面垂直的判定即可证.
【详解】（1）连接
与
，两线交于点
，连接
，
在
中
，
分别为
，
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
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所以
平面
.
（2）因为
底面
，
平面
，所以
.
又
为棱
的中点，
，所以
.
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
.
因为
，所以
.又
，
在
和
中，
，
所以
，即
，
所以
，又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（3）当点
为
的中点，即
时，平面
平面
.
证明如下：设
的中点为
，连接
，
，
因为
，
分别为
，
的中点，
所以
且
，又
为
的中点，
所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，故
，
由（2）知：
平面
，所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
【变式2】（23-24 高二上·北京·阶段练习）如图示，正方形
与正三角形
所在平面互相垂直，
是
的中点.
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(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在一点N，使面
面
？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，当
为
中点时面
面
，证明见解析
【分析】（1）依题意可得
，由面面垂直的性质得到
平面
，从而得证；
（2）当
为
中点时，面
面
，首先证明
，由线面垂直的性质得到
，从
而得到
平面
，即可得证.
【详解】（1）
，
为
的中点．
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
．
（2）存在点
，当
为
中点时，面
面
；
证明如下：
四边形
是正方形，
为
的中点，则
，
所以
，又
，所以
，
由（1）知，
平面
，
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
．
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【变式3】（24-25 高一下·山东·期中）如图，在三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2
，M，N 分别为BC，AB 的中点．
(1)求证：MN//平面PAC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PAM；
(3)在AC 上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】(1) 根据线面平行得判定定理即可证明；
(2) 要证平面PBC⊥平面PAM，先证BC⊥平面PAM.，再由面面垂直判定定理可证；
(3) 过点M 作ME⊥AC 交AC 于点E 即可证满足条件.
【详解】（1）因为M，N 分别为BC，AB 的中点，所以MN//AC.
因为MN ⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN//平面PAC.
（2）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
因为AB＝AC＝2，M 为BC 的中点，所以AM⊥BC.
因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.
因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM.
（3）存在．
过点M 作ME⊥AC 交AC 于点E，因为PA⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，
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所以PA⊥ME.
因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC.
因为在△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2
，M 为BC 的中点，所以ME＝
【变式4】（24-25 高二上·辽宁·开学考试）三棱柱
被平面
截去一部分后得到如图所示几
何体，
平面
，
，
，
为棱
上的动点（不包含端点），平面
交
于点
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)试问是否存在点
，使得平面
平面
？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在点
，当点
为
中点时，理由见解析.
【分析】（1）证明
平面
，即证
垂直平面
内的两条相交直线即可；
（2） 证明
，即证
平面
，即证
；
（3）证明平面
平面
，即证
平面
，即证
垂直平面
内的两条相交直线即可.
【详解】（1）证明：
由三棱柱的几何特征，
平面
，
平面
，
．
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，
．
又
，
平面
，
平面
，
平面
．
（2）证明：如图，
在三棱柱
中，
，
平面
，
平面
，
平面
．
又
平面
，平面
平面
，
．
（3）存在点
，当点
为
中点时，平面
平面
．
证明：
，点
为
中点
．
平面
，
平面
，
．
，
.
又
，
面
,
面
平面
．
平面
平面
平面
．
一、单选题
1．（2025 高一·全国·课后作业）已知
，则过与
垂直的平面（ ）
A．有1 个
B．有2 个
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C．有无数个
D．不存在
【答案】C
【分析】根据面面垂直的判定定理说明即可.
【详解】由面面垂直的判定定理知，任何过的平面都垂直于平面
，
所以这样的平面有无数个．
故选：C
2．（23-24 高一下·青海·期末）已知m，n 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可.
【详解】由
，得
或
，则A 错误．
由
，得
或
相交，则B 错误．
由
，得
或
，则C 错误．
由
，得
，则D 正确．
故选：D
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，
那么这两个二面角（ ）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
【答案】D
【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系.
【详解】如图所示，平面
平面ABC，
当平面HDG 绕DG 转动时，平面HDG 始终与平面BCD 垂直，
因为二面角
的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．
故选：D.
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）已知平面
平面
，点
，则过点
且垂直于平面
的直线
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（ ）
A．只有一条，不一定在平面
内
B．有无数条，不一定在平面
内
C．只有一条，一定在平面
内
D．有无数条，一定在平面
内
【答案】C
【分析】利用面面垂直的性质可得对应的结论.
【详解】根据面面垂线的性质定理可知，当平面
垂直平面
时，
过平面
上一点且垂直于平面
的直线，在平面
内只有一条.
故选：C.
5．（23-24 高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥
中，平面
平面
，
则（ ）
A．
平面
B．
∥平面
C．
与平面
相交但不垂直
D．平面
平面
【答案】D
【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断.
【详解】对于选项AB：因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，故AB 错误；
对于选项CD：因为
，则
，
且平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
可知
平面
，
且
平面
，所以平面
平面
，故C 错误，D 正确；
故选：D.
6．（2025 高一下·全国·专题练习）在空间四边形
中，
，那么必有（ ）
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A．平面
⊥平面
B．平面
⊥平面
C．平面
⊥平面
D．平面
⊥平面
【答案】C
【分析】由面面垂直的判定定理判断．
【详解】在空间四边形
中，
,
又由
,且
面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
,
所以平面
⊥平面
，
故选：C.
7．（23-24 高一下·湖南·期末）已知在三棱锥
中，
，且
为等边三
角形，则二面角
的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得
即为二面角
的平
面角，即可利用三角形边角关系求解.
【详解】由
以及
可得
故
,
进而可得
,不妨设
,
取
中点
，连接
,
故
,故
即为二面角
的平面角，
由于
平面
，
故
平面
，
平面
，故
,
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故选：B
8．（23-24 高一下·浙江衢州·期末）如图，
是圆
的直径，
垂直于圆
所在的平面，
为圆周上不与点
重合的点，
于
，
于
，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面
平面
B．
平面
C．
平面
D．平面
平面
【答案】D
【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.
【详解】对于A，依题意有
平面
，
平面
，所以平面
平面
，A 选项正确；
对于B，
平面
，
平面
，则有
，
是圆
的直径，
为圆周上不与点
重合的点，则有
，
，
平面
，所以
平面
，B 选项正确；
对于C，
平面
，
平面
，
，又
于
，
，
平面
，所以
平面
，
平面
，则
，又
于
，
平面
，
，所以
平面
，C 选项正确；
对于D，平面
平面
，
平面
，
于
，
若平面
平面
，则必有
平面
，
而
平面
，则必有
，
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因为
平面
，
平面
，则有
，
又
平面
，则必有
，
由于
垂直于圆
所在的平面，
，则
，
而
于
，则
为
中点，
因为
是圆
的直径，
为圆周上不与点
重合的点，
，
于
，
则
不是
中点（否则会得到
，但这与
矛盾），
不成立，所以平面
平面
的结论不正确，即D 选项错误.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】ABC
【分析】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D 即可.
【详解】因为
，
为
的中点，所以
.
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
，
平面
，
所以
，
，所以A，B 成立；
又
平面
，所以平面
平面
，所以C 成立；
若平面
平面
，且
，
而面
面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
则
，但此关系不一定成立，故D 错误.
故选：ABC
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1 的正方体
中，P 为线段
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上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A．平面
平面
B．
的取值范围是
C．点P 到平面
的距离是定值
D．
【答案】ACD
【分析】由面面垂直的判定定理判断A；当P 与
重合时，
，即可判断B；由线面平行即可判
断C；由线面垂直的判定及性质即可判断D．
【详解】对于A，连接
，
，如图所示，
因为
平面
平面
，
所以平面
平面
，故A 正确；
对于B，当P 与
重合时，
，故B 错误；
对于C，连接
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，所以点P 到平面
的距离是定值，故C 正确；
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对于D，连接
，
因为四边形
为正方形，所以
，
由正方体
得，
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
11．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2 的正方体
中，点
为
的中点，
则（ ）
A．四棱锥
的体积为8
B．二面角
的大小为
C．直线
与底面
所成的角的大小为
，则
D．异面直线
与
所成的角的大小为
，则
【答案】CD
【分析】连接
交
于点
，证得
平面
，得到
为四棱锥
的高，结合锥体
的体积公式，可判定A 不正确；先证得
且
，得到
为二面角
的平面
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角，在直角
中，求得
，可判定B 不正确；由
平面
，得到所以
为
与底面
所成的角，在直角
，求得
，可判定C 正确；取
的中点
，证得
，得到异面直线
与
所成的角即为直线
与
所成的角，在
，利用余弦定理求
得
，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，连接
交
于点
，
在正方体
中，
平面
，
因为
平面
，所以
，
在正方形
中，可得
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
所以
平面
，即
为四棱锥
的高，
所以四棱锥
的体积为
，
所以A 不正确；
对于B 中，在正方体
中，可得
平面
，
因为
平面
，且
平面
，所以
且
，
所以
为二面角
的平面角，
在直角
中，可得
，所以B 不正确；
对于C 中，在正方体
中，可得
平面
，
所以
即为
与底面
所成的角的大小为
，
连接
，在直角
中，可得
,
在直角
中，可得
，所以C 正确；
对于D 中，取
的中点
，连接
，
因为
分别为
的中点，可得
，
所以异面直线
与
所成的角，即为直线
与
所成的角，即为
，
在直角
中，可得
，
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在
中，
，
由余弦定理，可得
，
即
，所以D 正确.
故选：CD.
三、填空题
12．（24-25 高一·全国·假期作业）如图所示，三棱锥
中，平面
底面ABC，且
，
则
是 三角形．
【答案】直角
【分析】利用题中面面垂直以及棱长等量关系证明P 点在底面的投影O 为底面三角形ABC 中AB 边的中点,
然后由条件易知OA=OB=OC,再结合三角形的外心的性质即可得出答案.
【详解】设P 在平面ABC 上的射影为O，
平面
底面ABC，平面
平面
，
．
，
，
是
的外心，且是AB 的中点，
是直角三角形．
故答案为:直角.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质应用,考查了三角形外心的性质特征,属于中档题.
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13．（24-25 高二上·四川广安·期中）如图所示，
，
分别在平面
和平面
内，在
与
的交线上
取线段
，
，
，
，
，
，则二面角
的大小为 .
【答案】
【分析】在平面
内过
作
且
，根据二面角定义找到对应平面角，再由已知求角的大小
即可.
【详解】如下图，在平面
内过
作
且
，
由
，易知
为矩形，连接
，
由
，则
，又
，
且都在面
内，
所以
面
，
面
，则
，
由
，
，则
，
由
，
，易知
为二面角
的平面角，
又
，
，
所以
.
故答案为：
14．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥
中，
底面ABCD，且底面各边都
相等，
，M 是
上的一动点，当点M 满足 时，平面
平面
．
（只要填写一个你认为正确的条件即可）
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【答案】
（答案不唯一，
，
等都可）
【分析】先确定所填答案，如
，再证明平面
平面
即可，根据线面垂直的性质可得
，从而可得
平面
，再根据线面垂直的性质可得
，从而可得
平面
，
再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】由题知底面
为菱形，则
．
因为
平面
，
平面
，所以
．
又
，
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
又
，
，
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以平面
平面
．
故答案为：
（答案不唯一，
，
等都可）.
四、解答题
15．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，
AB⊥AD，CD⊥AD. 求证：平面PDC⊥平面PAD.
【答案】证明见详解
【分析】由PA⊥平面ABCD，推证出
；结合
，即可证明
平面
，再由此推证面
面垂直即可.
【详解】因为PA⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
平面
，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.即证.
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【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及由线面垂直推证面面垂直，属综合基础题.
16．（24-25 高一上·江西宜春·期末）已知四边形
为直角梯形，
，
，
为
等腰直角三角形，平面
平面
，E 为
的中点，
，
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明
平面
，可得平面
平面
.
（2）先判断出异面直线
与
所成角，然后求得所成角的余弦值.
【详解】（1）由于
，所以
，
由于平面
平面
且交线为
，
平面
，
所以
平面
，由于
平面
，
所以
.
由于
平面
，
所以
平面
，
由于
平面
，所以平面
平面
．
（2）由于
，所以
是异面直线
与
所成角（或其补角），
，
，
，
，
所以
，所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
17．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形
中，
，
，
为
的中点，将
沿直线
折起到
的位置，使平面
平面
．
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(1)证明：平面
平面
；
(2)设
为线段
的中点，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到
平面
，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）则
，则
，故
平面
，点
到平面
的距离为FG，由余弦定理计算即可.
【详解】（1）证明：因为
，E 为AB 的中点，则
．
又
，则
为正三角形，所以
．
因为
，
，则
．
从而
，即
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
．
由
平面
，得平面
平面
．
（2）取
的中点
，连接
．
因为
为PC 的中点，则
，且
，
所以
平面
，所以点
到平面
的距离为FG．
在
中，
，
，
则
，即
，所以
，
即点
到平面
的距离为
．
18．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形
中，
，
，
为
上一点，且
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．将
沿
折起，使得平面
平面
，如图2，点
是线段
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)过
点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①
平面
；②
．请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直；
（2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直.
【详解】（1）又已知
，则
，
为等腰直角三角形，
又
为
中点，
则
，
平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
；
（2）
在平面
中，过点
作直线，使
，
平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
，
即存在直线满足题意.
19．（24-25 高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD 中，
，
，
，
，
，边AD 上一点
满足
．现将
沿BE 折起到
的位置，使平面
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平面BCDE，如图所示．
(1)求证：
；
(2)求四棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE 为菱形，从而线线垂直，得到
平面
．故
；
（2）由面面垂直得到线面垂直，求出
，利用锥体体积公式进行求解；
（3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，
即为平面
与平面
所成锐二面角的平
面角，求出各边长，得到
，求出答案.
【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得
，
因为
且
，所以四边形
为平行四边形，
又
，所以四边形ABCE 为菱形，
在图中，连接AC 交BE 于点
，则
，
在立体图形中，
，
，
又
，
平面
，
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平面
．
又
平面
，
；
（2）在平面图形中，由勾股定理得
，
由（1）知，四边形ABCE 为菱形，结合题设易得
，故
，
平面
平面BCDE，且平面
平面
，
平面
，
．
平面BCDE，
其中梯形
的面积为
，
；
（3）在立体图形中延长BE，CD，设
，连接
．
平面
，
平面
．
又
平面
，
平面
．
是平面
与平面
的交线，
平面
平面BCDE，
，平面
平面
，
平面
，又
平面
，
，
，
作
，垂足为
，连接CH，
又
，
平面
，
平面OCH，又
平面OCH，
．
即为平面
与平面
所成锐二面角的平面角．
由勾股定理得
，
，
故
，
为等边三角形，
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在Rt
中，
，
，
所以
，又
，故
，
由勾股定理得
，
所以
，
又
，在
中，
，
．
平面
与平面
所成锐二面角的余弦值
．
