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8.1.3 向量数量积的坐标运算
课程标准
学习目标
（1）能用坐标表示向量的数量积；
（2）会用坐标表示两个平面向量的夹角；
（3）能用坐标表示平面向量垂直的条件。
（1）通过对向量的数量积的坐标运算的学习，发
展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。
（2）掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平
面向量数量积的坐标运算；
（3）能够用两个向量的坐标来解决与向量模、夹
角、垂直的有关的问题。
知识点01 向量的坐标与向量的数量积
1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与
轴、
轴正方向相同的单位向量
，
之后，如果
对于平面内的向量
，有
，则
就是向量
的坐标，记作
，而且
是一
组正交基底。
2、向量的数量积：若
，
，则
两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。
【即学即练1】已知
，若
，则
等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，
，
又
，解得
.故选：C
知识点02 平面向量坐标表示的几个公式
1、向量模的坐标表示
（1）若
，则
（2）两点间的距离公式：若
，
，则
2、向量夹角的坐标表示：设两个非零向量
，
，
与
的夹角为
，
则cosθ = a∙b
|a||b|=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2√x2
2+ y2
2
3、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则
【即学即练2】（23-24 高一下·山东烟台·开学考试）（多选）设向量
，
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为向量
，
，
对于A 选项，
，
，则
，A 错；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，因为
，故
、
不共线，C 错；
对于D 选项，
，则
，所以，
，D 对.故选：BD.
【题型一：向量数量积坐标运算】
例1．（22-23 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意可得：
，所以
.故选：A.
变式1-1．（22-23 高一下·贵州黔西·期中）已知向量
，
，
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意可得：
，
当
时，则
取到最小值
.故选：A.
变式1-2．（22-23 高一下·天津滨海新·期中）在矩形ABCD 中，若
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．
D．2
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，设
，
，
，
，
，
，
由
可得：
，
由
，可得
，解得
，或
舍去，
则
．故选：D．
变式1-3．（22-23 高一下·甘肃武威·阶段练习）在
中，
，且
，
是
的
中点，
是线段
的中点，则
的值为（ ）
A．0 B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】如图，以
为原点，
，
所在直线分别为
轴，
轴建立直角坐标系，
则
，
，
，
∵
是
的中点，∴
，
∵
是线段
的中点，∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
.故选：C.
【方法技巧与总结】
数量积坐标运算的技巧
1、进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐
标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算；
2、在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再
求数量积。
【题型二：向量模的坐标表示】
例2．（22-23 高一下·北京·期中）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．4 C．
D．6
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，所以
，故选：C．
变式2-1．（23-24 高一上·北京延庆·期末）已知
，则
=
【答案】10
【解析】由题意
，所以
.
变式2-2．（22-23 高一下·云南昆明·阶段练习）设向量
，
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．10
【答案】C
【解析】
，故
，
又
，
，
故
，解得
.故选：C
变式2-3．（22-23 高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系
中，已知
，
，若
，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
，
若
，
恒成立，
则
，
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，
而
，
时等号成立，
故
，即
，故选：D
【方法技巧与总结】
求向量模的两种基本策略：
1、字母表示下的运算：利用
，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
2、坐标表示下的运算：若
，则
，于是有
【题型三：向量夹角的坐标表示】
例3．（22-23 高一下·重庆綦江·期中）已知
，则
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设向量
与
的夹角为
，则
.故选：C.
变式3-1．（22-23 高三上·江苏南通·阶段测试）已知
，
，且
与
的夹角为锐角，则
实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
因为
与
的夹角为锐角，所以
，且
与
不共线，
所以
且
，解得
且
，
所以
的取值范围为
.
变式3-2．（2024 高一下·全国·专题练习）已知菱形
中，
，点
为
上一点，且
，则
的余弦值为 .
【答案】
【解析】设
与
交于点
，以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则
，
所以
，
有
，
则
.
变式3-3．（22-23 高一下·福建龙岩·期中）如图，在
中，已知
，
，
，BC，
AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，则
的余弦值为 ．
【答案】
【解析】依题意，以
为原点，
所在直线为
轴，过
作
的垂线为
轴，如图所示，
因为
，
，
，
所以
，则
，
，
即为向量
与
的夹角，
，
，
，
.
【方法技巧与总结】
1、若求向量
与
的夹角，利用公式
，当向量的夹角为特殊角
时，再求出这个角。
2、非零向量
与
的夹角
与向量的数量积的关系
（1）若
为直角，则充要条件为向量
，则转化为
；
（2）若
为锐角，则充要条件为向量
，且
与
的夹角不能为0（即
与
的方向不能相同）；
（3）若
为钝角，则充要条件为向量
，且
与
的夹角不能为
（即
与
的方向不能相反）；
【题型四：向量垂直的坐标表示】
例4．（23-24 高一上·浙江绍兴·期末）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．2 C．
D．
【答案】D
【解析】由
，故
，故
.故选：D.
变式4-1．（22-23 高一下·广东佛山·阶段练习）若
，
，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
，则
，
又
，所以
，解得
.
变式4-2．（22-23 高一下·吉林长春·期末）已知向量
，
，
，若
与
垂
直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为向量
，
，
，所以
，
因为
与
垂直，所以
，解得
，故选：D
变式4-3．（22-23 高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知向量
，且
，则
实数
的值为 ．
【答案】
【解析】
，由
，可得
，
即有
，解得
.
【方法技巧与总结】
若两个向量垂直，则
【题型五：向量数量积的最值范围】
例5．（22-23 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在平面四边形
中，
，若
为边
上的一个动点，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，以点
为原点建立平面直角坐标系，
则
，设
，
则
，
故
，
所以当
时，
取得最小值
.
变式5-1．（22-23 高一下·福建厦门·阶段练习）
是边长为2 的正方形
边界或内部一点，且
，则
的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】以B 为坐标原点，以BC 方向为
轴正方向，以BA 方向为
轴正方向建立坐标系，
则
，
设
，
，
，则
，
因为
，则
，
则
，
故当
，
时
取得最大值为5．
另解：令
，则
为
中点，
为
中点，则
，
所以
，
当
为
中点时取等．故选：C
变式5-2．（22-23 高一下·福建厦门·阶段练习）已知
是边长为
的等边三角形，
为
所在平面
内一点，则
的值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以
所在的直线为
轴，以线段
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，设
，可得
，
，
，
则
，
，
.
所以
，
所以
，
所以
，
即
，所以
，
结合选项，可得不可能的值为
.故选：D.
变式5-3．（22-23 高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）（多选）已知正三角形
的边长为2，动点
为三角
形
所在平面内一点，且满足
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为动点
满足
，所以点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
如图建立平面之间坐标系，
则
，圆
：
，
设
，则
，
，
则
所以
，
因
，
，
，
，故选：AC
【方法技巧与总结】
解决向量数量积的最值的方法技巧
1、“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值
或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断；
2、“代数法”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转
化为函数的性质解决最值或取值范围。
一、单选题
1．（22-23 高一下·四川眉山·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，故选：A.
2．（23-24 高一上·北京延庆·期末）向量
，
，若
⊥
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，解得
.故选：D
3．已知向量
，
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B． C． D．任意实数
【答案】B
【解析】由题意，向量
，
，可得
，
又由
，且
，可得
，解得
.故选：B.
4．（23-24 高一下·四川成都·开学考试）已知向量
，
，则
在
方向上投影长度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，则
，
，
故
在
方向上的投影长度为：
．故选：B．
5．（22-23 高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得：
，得
，
所以
又因
，所以
故选：B
6．（22-23 高一下·贵州毕节·期末）已知向量
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
又因为
，所以
，解得
，
则
，所以
，
所以
.故选：D
7．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）等边
的边长为3，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，取
中点
，建立直角坐标系，则
，
由
，若
，则
，
所以
得：
，
由
，若
，则
，
所以
得：
，
所以
，故
.故选：A
8．（22-23 高一下·天津·月考）在菱形
中，
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设
，
因为
因为
，所以
,即
是
的中点，
所以
所以
，由题知
.
故
故选：D
二、多选题
9．（22-23 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
D．向量
的夹角为
【答案】BD
【解析】因为
，则
，且
，
则
，解得
，则
，故A 错误；
，故B 正确；
，所以
，故C 错误；
，所以
，故D 正确；故选：BD
10．（22-23 高一下·广西柳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点
，
，
，
则（ ）
A．
B．
与
的夹角为
C．
在
方向上的投影向量的坐标为
D．与
垂直的单位向量的坐标为
或
【答案】BD
【解析】因为点
，
，
，
所以
，
，所以
，
所以
，故A 选项错误；
设
与
的夹角为
，所以
，
所以
与
的夹角为
，故B 选项正确；
设与
同向的单位向量为
，
，
所以
在
方向上的投影向量的坐标为
，故C 选项错误；
因为
，设与
垂直的单位向量为
，
则
，解得
或
，
所以与
垂直的单位向量的坐标为
或
.故D 选项正确.故选：BD.
11．（2024 高一下·江苏·专题练习）设向量
，
，则下列叙述错误的是（ ）
A．若
时，则
与
的夹角为钝角
B．
的最小值为2
C．与
共线的单位向量只有一个为
D．若
，则
或
【答案】CD
【解析】对于A 选项，若
与
的夹角为钝角，则
且
与
不共线，
则
，解得
且
，A 选项正确；
对于B 选项，
，当且仅当
，等号成立，B 选项正确；
对于C 选项，
，与
共线的单位向量为
，
即与
共线的单位向量为
或
，C 选项错误；
对于D 选项，由
，即
，解得
，D 选项错误．故选：CD．
三、填空题
12．（23-24 高二上·湘豫名校联考·阶段练习）已知向量
，若
，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，则
，得
，
又
，
所以
，解得
，所以
.
13．（22-23 高一下·云南昆明·阶段练习）设x，
，向量
，
，
，且
，
，则向量
与
的夹角大小为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，解得
，
故
，
，
则
，
因为
，所以
.
14．（22-23 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在等腰梯形
中，
∥
，
，
，
为
的中点，点
是边
上一个动点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则
，
设
，
可得
，
则
，
可得
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
四、解答题
15．（22-23 高一下·新疆喀什·期中）已知向量
，
，求：
（1）
；
（2）|
|；
（3）
.
【答案】（1）；（2）
；（3）
【解析】（1）因为
，
，则
.
（2）
（3）由已知可得
，
，
则
16．（22-23 高一下·吉林辽源·阶段练习）平面内给定三个向量，
，
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）若
，求实数k.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
，所以
.
（3）因为
，
若
，则
，解得
.
17．（22-23 高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量
，
.
（1）若
，求的值；
（2）若
，
与
的夹角为锐角，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为向量
，
，且
，
则
，
，则
，可得
，
所以，
，解得
.
（2）当
时，
，则
，
因为
与
的夹角为锐角，则
，解得
，
且
与
不共线，则
，可得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
18．（22-23 高一下·河北邢台·阶段练习）已知向量
，
，
.
（1）求
的最小值及相应t 的值；
（2）若
，
，其中O 为坐标原点，点D 在BC 的延长线上，且
，求点D 坐标.
【答案】（1）
的最小值为
，相应t 的值为1；（2）
【解析】（1）因为向量
，
，所以
，
所以
，
当
时，
取得最小值为
；
（2）由题意知，
，
，即
，
，
因为点D 在BC 的延长线上，且
，所以
，
设
，则
，
所以
，所以
，所以
19．（22-23 高一下·山东青岛·阶段练习）如图，正方形
的边长为6，
是
的中点，
是
边上
靠近点
的三等分点，
与
交于点
．
（1）求
的余弦值；
（2）设
，求
的值及点
的坐标；
（3）若点
自A 点逆时针沿正方形的边再运动到A 点，在这个过程中，是否存在这样的点
，使得
？若存在，求出
的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）存在符合题意的点
，
或
.
【解析】（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，
则
，∴
，
，
由于
就是
，
的夹角，
，
∴
的余弦值为
.
（2）因为
，则
，则
,
又
三点共线，则设
，
即
，则
，解得
，故
.
（3）由题意得
，假设存在点
，使得
，
①当点P 在
上时，设
，∴
，
则
，则
，故
，
；
②当点P 在
上时，设
，∴
，
则
（舍去）；
③当点P 在
上时，设
，∴
，
则
，则
（舍去）；
④当点P 在
上时，设
，则
，
则
则
，故
，
综上，存在符合题意的点
，
或
.
