文档文本内容
7.3.4 正切函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1）能画出正切函数的图象；
（2）会利用
的性质确定与正切函数有
关的函数性质；
（3）会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
（4）掌握正切函数的定义域与正切曲线的渐近
线。
（1）了解正切函数图象的画法，理解并掌握正
切函数的性质，重点培养数学抽象核心素养；
（2）利用
的性质与图象解决有关问
题，重点提升数学运算核心素养。
知识点01 正切函数的定义与性质
1、正切函数的定义：对于任意一个角
，只要
，就有唯一确定的正切值
与之对应，
因此
是一个函数，称之为正切函数。
2、正切函数的性质
（1）定义域与值域：定义域为
，值域是R；
（2）奇偶性：奇函数；
（3）周期性：最小正周期为
；
（4）单调性：在每一个开区间
上都是单调递增的；
（5）零点：
【即学即练1】（2021 上·山西太原·高一校考阶段练习）（多选）
（ ）
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间
上为增函数
D．在每一个闭区间
上为增函数
【答案】C
【解析】函数
是周期函数，
在每一个开区间
上为增函数，但在整个定义域上不是单调函数.故选：C.
知识点02 正切函数的图象
1、正切函数的图象
2、正切曲线：正切函数的图象叫做正切曲线，正切曲线是由通过点
且与
轴平行的
直线隔开的无穷多支曲线所组成；正切曲线是中心对称图形，对称中心是
【即学即练2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数
在区间
内的图象是 .（填相应序号）
【答案】④
【解析】当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
.
综上，
，由正弦函数和正切函数图象可知④正确.
知识点03 正切型函数
的相关性质
1、定义域：由不等式
得到；
2、周期：讨论可参照
的周期的讨论方法和求法，须特别注意的是
的周期是
，而
的周期是
；
如果直线
(
为常数)与函数
的图像的相邻两支的交点为
和
，那
么两相邻交点间的长度就是一个周期，即
；
3、
的单调区间：只需要令
解出
即
可，但
时，应先用诱导公式将
系数化为正的，还要注意
的正负对单调性的影响。
【即学即练3】（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数
是（ ）
A．周期为
的偶函数 B．周期为
的奇函数
C．周期为
的偶函数 D．周期为
的奇函数
【答案】A
【解析】由
解得
,
的定义域是
，
的定义域关于原点对称.
，所以
是偶函数，由此排除BD 选项.
，所以
的一个周期为
，A 选项正确.
，
所以
不是
的周期，所以C 选项错误.故选：A
【题型一：正切函数的定义域与不等式】
例1．（2024·新疆阿勒泰·高一统考期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【解析】因为
，
所以
，则
，
所以函数
的定义域为
.
变式1-1．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
，解得
，
函数
的定义域为
.故选：A.
变式1-2．（2023·山西朔州·高一校联考阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】令
，解得：
，
，
定义域为
，
.故选：C.
变式1-3．（2023·全国·高一专题练习）函数
的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，即
，所以
，
，
所以
，
，故B 项正确.故选:B.
【方法技巧与总结】
1、求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数
有意义，即
；
（2）求正切函数
的定义域时，要将 “
”视为一个“整体”，令
，
，解得
2、解正切不等式的方法
（1）图象法：即先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的几何；
（2）三角函数线法：现在单位圆中作出角的边界值时的正切项，得到边界线的终边，再单位圆中画出符
合条件的区域，要特别注意函数的定义域。
【题型二：正切函数的值域求解】
例2．（2023·全国·高一专题练习）函数
且
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
.
即当
时，函数
的值域是
．故选：B.
变式2-1．（2023·江苏·高一专题练习）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】令
，
因为
，即
，所以由正切函数的图象可知
，
所以原函数可化为
，
，
又因为二次函数
的图象开口向上，对称轴方程为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以
的值域为
.
变式2-2．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知
为钝角，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】
为钝角，
,
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最大值为.
变式2-3．（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）函数
在
上的最大值为，
最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，
因为函数
在
上的最大值为，最小值为
，
所以
，即
，所以
令
，
，因为
在
上单调递增，
在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数
在
上单调递增，
所以
，解得：
，
，
解得：
，因为
，则
，
所以
，解得：
.
故
.故选：D.
【方法技巧与总结】
通常将正切函数
当做整体，可利用换元法（令
）将含有正弦函数的表达式简化，再结合
基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有：
1、形如
型：可利用正弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论
2 、形如
型：可利用换元思想，设
，转化为二次函数
求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．
3、形如
，可先由定义域求得
的范围，然后求得
的范围，最后求
得最值
4、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式
法
【题型三：正切函数的周期性及应用】
例3．（2024·北京大兴·高一统考期末）函数
的最小正周期等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的最小正周期
.故选：A
变式3-1．（2024·贵州安顺·高一统考期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的最小正周期为
.故选：B
变式3-2．（2024·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）函数
的图象
的相邻两支截直线
所得线段长为
，则
的值是 ．
【答案】8
【解析】由题意知函数
的最小正周期为
，∴
．
变式3-3．（2023·全国·高一专题练习）若
，
，则
.
【答案】0
【解析】因为
的周期
，
且
，
，
，则
，
因为
，所以
.
【方法技巧与总结】
一般地，函数
的最小周期为
，常常利用此公式来求周期。
【题型四：正切函数的奇偶性及应用】
例4．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数
【解析】（1）因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以
为偶函数.
（2）因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以
为奇函数.
变式4-1．（2024·广东广州·广州六中校考三模）若函数
为奇函数，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若0 在定义域内，由
时，
得，
；
若0 不在定义域内，由
时，
无意义，得
．
综上，
．故选：C．
变式4-2．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数
，且
，则
（
）
A．
B．
C．1 D．4
【答案】A
【解析】设
，定义域为
，关于原点对称，
则
，故
是奇函数，
从而
，即
，
即
.故选：A
变式4-3．（2023·高一课时练习）已知函数
，其中
，若
，则
．
【答案】2
【解析】设
，则
，
因为
，所以
为奇函数，
，所以
，则
，所以
.
【方法技巧与总结】
判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性，若对
称，再判断
与
的关系。
【题型五：正切函数的对称性及应用】
例5．（2024·山西长治·高一校联考期末）函数
的图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，令
，解得
，
令
，可得
，
所以函数
的一个对称中心有
，其它不是对称中心.故选：B．
变式5-1．（2024·全国·高一专题练习）（多选）下列坐标所表示的点是函数
图象的对称中
心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由已知，令
，得
．
当
时，
，所以函数
图象的对称中心的是
，所以D 正确；
当
时，
，所以函数
图象的对称中心的是
，所以B 正确；
当
时，
，所以函数
图象的对称中心的是
， 所以A 正确；
显然选项C 错误.故选：ABD．
变式5-2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知函数
（
）的图象
的两个相邻对称中心之间的距离为
，则
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】设
的最小正周期为
，
由函数
（
）的图象上相邻两个对称中心之间的距离为
，
知
，
，
又因为
，所以
，即
，则
．故选：B．
变式5-3．（2023·福建三明·高一沙县第一中学校考阶段练习）已知
，则“函数
的图
象关于
轴对称”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
关于
轴对称，则
关于原点对称，
故
，
，故
是可以推出
，
，
但
，
推不出
，
故函数
的图象关于
轴对称是
的必要不充分条件，故选：B
【方法技巧与总结】
正切型函数
只有对称中心，将 “
”视为一个“整体”，令
，
，解得
得到对称中心。
【题型六：求正切函数的单调区间】
例6．（2023·全国·高一专题练习）
的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】函数
，
由正切函数的性质知
，解得
所以函数的单调递减区间为
变式6-1．（2023·全国·高一课堂例题）函数
的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】
．
由
，
故函数
的单调递减区间为
变式6-2．（2023·四川凉山·高一校联考期中）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
.故选：C
变式6-3．（2022·高一课时练习）已知函数
，则（ ）
A．增区间为
，
B．增区间为
，
C．减区间为
，
D．减区间为
，
【答案】C
【解析】由
解得
.
因此，函数
的单调递减区间为
，
.故选：C.
【方法技巧与总结】
的单调区间的求法是把
看成一个整体，解
即可，当
时，先用诱导公式把
化为正值再求单调区间。
【题型七：根据正切函数的单调性求参】
例7．（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）（多选）已知函数
，若
在区间
内单调递增，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
，故
，
由函数
在区间
内单调递增，
故
，所以
．故选：BC．
变式7-1．（2024·浙江温州·高一统考期末）若函数
在
上是增函数，则
的最大值是
．
【答案】
【解析】因为
在
上关于单调递增，
若函数
在
上是增函数，
则由复合函数单调性可知只需
关于
单调递增，故只需考虑
，
所以
，解得
，即
的最大值是
.
变式7-2．（2023·高一课时练习）已知函数
在
上是严格减函数，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为函数
在
上是严格减函数，
所以
，
，
，
.
变式7-3．（2024·全国·高一专题练习）若函数
在区间
上是严格增函数，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】令
，
，解得
，
，
令
，则其一个单调增区间为
，
则实数
的取值范围为
.
【方法技巧与总结】
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
【题型八：利用单调性比较正切值大小】
例8．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若
，
，
，则a，b，c 为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于
，故
，
而
，故
，
又
，即
，故选：B
变式8-1．（2023·全国·高一专题练习）下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，
,
因为
，所以
，所以
，故A 错误；
对于B，
，而
，
所以
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，故C 错误；
对于D，因为
，而
，
所以
，所以
，故D 正确；故选：D.
变式8-2．（2023·江苏·高一专题练习）比较下列正切值的大小：
（1）
与
；
（2）tan
与tan
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，
因为
时，函数
为单调递增函数，且
，
所以
，所以
.
（2）由
，
因为函数
在
为单调递增函数，且
，
所以
，即
变式8-3．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各组中三角函数值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为当
时，函数
单调递增，且
，
所以
；
（2）因为
，
，且
，
结合函数
在
上单调递增，
所以
，即
.
【方法技巧与总结】
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，利用单调区间确定函数值的大小。
一、单选题
1．（2022·浙江温州·高一校考阶段练习）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】A
【解析】由题可得
，解得
，
∴函数
的定义域为
.故选：A.
2．（2024·湖北·高一校联考期末）设函数
（
）的图象的一个对称中心为
，
则
的一个最小正周期可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知：
（
），
∴
，则
，
显然当
时，
是
的一个最小正周期．
不存在
，使得
，
或
.故选：B
3．（2023·高一课时练习）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．π
【答案】B
【解析】函数
的最小正周期是
.故选：B.
4．（2024·河北保定·高一统考期末）“
”是“函数
的图象关于原点中心对称”的（
）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当
时，
，
则其图象关于原点对称，故充分性成立，
当函数
的图象关于原点中心对称时，
则
，
不一定成立，则必要性不成立，
则“
”是“函数
的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，故选：B.
5．（2023·重庆江北·高三重庆十八中校考阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由
推不出
，如
，但是
，即充分性不成立，
由
也推不出
，如
，但是
，即必要性也不成立，
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.故选：D
6．（2023·高一单元测试）函数
的单调区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递减区间为
.故选：D.
7．（2022·贵州遵义·高三统考阶段练习）函数
图像的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
的对称轴为
令
，得：
所以函数
图像的对称轴方程为：
故选：A.
8．（2023·广东·高一校联考期末）若函数
的图象与直线
没有交点，则
的最小值
为（ ）
A．0 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象与直线
没有交点．
若函数
的图象与直线
没有交点，
则
，
，
,
，
则
的最小值为
．故选：C
二、多选题
9．（2023·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．
是增函数 B．
在第一象限是增函数
C．
在某一区间上是减函数 D．
在区间
上是增函数
【答案】ABC
【解析】由正切函数的单调性可知，正切函数
在定义域上不单调，A 不正确;
正切函数
在第一象限不单调，B 不正确;
正切函数
在定义域每一个区间
上都是增函数，
正切函数
不存在减区间，C 不正确;D 正确.故选：ABC.
10．（2024·全国·高一专题练习）关于函数
的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是偶函数
C．
的图象关于直线
对称 D．
在区间
上单调递增
【答案】BCD
【解析】做出函数
的图象，且函数
的定义域为
，
由函数
的图象可知，最小正周期为π，A 错误；
又
，所以
是定义域上的偶函数，B 正确；
根据函数
的图象知，
的图象关于直线
对称，C 正确；
根据
的图象知，
在区间
上单调递增，D 正确．故选：BCD．
11．（2023·江西抚州·高一统考期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于原点对称
C．
有最小值 D．
在
上为增函数
【答案】BD
【解析】由函数
，
对于A 中，由
，所以
的最小正周期为
，所以A 错误；
对于B 中，由
的定义域关于原点对称，且
，
所以
的图象关于原点对称，所以B 正确；
对于C 中，由函数
的值域为
，可得
，所以C 错误；
对于D 中，由
，可得
，可得函数
单调递增，
所以
在
上也单调递增，所以D 正确.故选：BD.
12．（2024·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知
，则下列
说法正确的有（ ）
A．
图象对称中心为
B．
的最小正周期为
C．
的单调递增区间为
D．若
，则
【答案】BD
【解析】A 选项，令
，则
，
即
图象对称中心为
；故A 错误；
B 选项，
最小正周期为
，故B 正确；
C 选项，根据正切函数的性质可知，只需求
的单调递减区间，
显然
无单调增区间，故C 错误；
D 选项，
，即
，
故
，
解得
，故D 正确．故选：BD
三、填空题
13．（2024·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）求函数
的定义域
．
【答案】
【解析】函数
有意义，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
14．（2024·全国·高一课时练习）函数
的最小正周期为 .
【答案】
【解析】
，
函数的周期
15．（2024·广东汕头·高一统考期末）当
时，使
成立的
的取值范围为
【答案】
【解析】当
时，由
单调递增且
可知，
，
当
时，由
知，满足
，
综上，
.
16．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一中学校校考期末）函数
在
上的最大值为
4，则实数
的值为 .
【答案】
【解析】函数
在
上单调递增，
则当
时，
，
因此
，解得
，所以实数
为
.
四、解答题
17．（2023·全国·高一随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 值的集合：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）不等式
，化为
，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数
在
上的图象和直线
，如图：
显然在
上，
满足
，
由图可知在
上，使不等式成立的x 的取值范围是
，
所以使不等式成立的x 的集合为
.
（2）不等式
，化为
，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数
在
上的图象和直线
，如图：
显然在
上，
满足
，
由图可知在
上，使不等式成立的x 的取值范围是
.
所以使不等式成立的x 的集合为
.
18．（2024·湖北荆州·高一校联考期末）已知函数
的图象关于点
对
称.
（1）求
的单调递增区间;
（2）求不等式
的解集.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意知，
的图象关于点
对称，
，即
．
，故
．
令
，
得
，即
．
函数
的单调递增区间为
．
（2）由（1）知，
．
由
，得
，
即
．
不等式
的解集为
.
19．（2023·高一课时练习）画出函数
的图象．
（1）根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
（2）求不等式
的解集．
【答案】（1）答案见解析；；（2）
.
【解析】（1）函数
，化为
，
函数
的图象如下：
观察图象知，函数
的定义域为
；值域为
；
函数
的递减区间是
，递增区间为
；
函数
是偶函数；周期是
.
（2）由
，得
，
而函数
在
上单调递增，且是周期为
的周期函数，
于是
，
所以不等式
的解集是
.
20．（2024·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知函数
，其中
为三角形
的一个内角，且
．
（1）求函数
的解析式及定义域；
（2）求函数
的对称中心及单调区间．
【答案】（1）
，定义域为
（2）对称中心为
；单调递减区间为
，无单调增减区间
【解析】（1）①
，则
，得
或
，
为为三角形内角，则
，故
．则
②令
，得
．即函数的定义域为
．
综上：
，
定义域为
，
（2）①
，得
，故对称中心为
；
②令
，解得
，
即函数的单调递减区间为
，无单调增区间．
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，且
．
（1）求函数
的解析式；
（2）函数
的图象是由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，若
，
求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，且
，解得
，
又因为
，则
，解得
，
且
，可得
，所以
.
（2）由题意可知：
，
因为
，
由
，即
，
可知
，解得
，
且
，所以
的最小值为
．
22．（2023·高一课时练习）已知函数
，
．
（1）若
，求
的最小正周期与函数图像的对称中心；
（2）若
在
上是严格增函数，求
的取值范围；
（3）若方程
在
上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
．
【解析】（1）由题可得
，所以函数的最小正周期为
，
由
，可得
，
所以函数
的图像的对称中心
；
（2）因为
在
上是严格增函数，
所以
，所以
，
又
，所以
；
（3）因为
，
所以
，
，至少存在2022 个根，
所以可得b－a 至少包含2021 个周期，即
，
所以b－a 的最小值为
，又b－a 的最小值不小于2022，
所以
，所以
．
