文档文本内容
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
课程标准
学习目标
（1）理解导函数的概念，并能进行简单的应用；
（2）掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单
的应用
（3）能利用导数的四则运算法则，求含有和、差、
积、商综合运算的函数的导数；
（4）进一步理解导数的运算与几何意义的综合应
用；
（5）能求简单的复数运算。
（1）通过导函数的概念的理解及简单应
用，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养；
（2）通过基本初等函数的导数公式的简单
应用，增强数学运算的核心素养；
（3）通过运用导数四则运算法则求解简单
的导数问题，培养数学运算的核心素养；
（4）在运用复合运算公式解题过程中提升
数学抽象与数学运算的核心素养。
知识点01 基本初等函数的导函数
1、导函数：一般地，如果函数
在某定义内的每一个点
都可导，则称
可导。此时，对
定义域内的每一个值
，都对应一个确定的导数
。于是，在
的定义域内，
是一个函
数，这个函数通常称为
的导函数，记作
（或
，
），即
2、几个常用函数的导数
原函数
导函数
其中
为常数
3、基本初等函数的导数公式
函数
导函数
函数
导函数
(c 是常数)
(
为实数)
特别地
特别地
【即学即练1】（23-24 高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 导数的运算法则
1、导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2、公式推广与结构特征
（1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到
个函数
设
，
，
…
，
在
处
可
导
，
则
（2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减
号”。
【即学即练2】（23-24 高二下·河南·开学考试）（多选）下列求导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
和
，如果通过中间变量
，
可以表示成
的函数，那么称这个
函数为
和
的复合函数，记作
.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数
的导数和函数
，
的导数间的关系为
，即y
对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
【即学即练3】（22-23 高二下·河北沧州·阶段练习）（多选）下列求导不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：基本初等函数的导数】
例1．（23-24 高二上·重庆长寿·期末）下列导数公式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高二上·全国·课时练习）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（23-24 高二上·海南海口·期末）下列式子错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
应用求导公式应注意的问题：
求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用倒数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时
一般遵循“先化简，再求导”的基本原则。在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算
失误。
【题型二：利用四则运算求导数】
例2．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
的导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
变式2-3．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
【方法技巧与总结】
利用运算法则求导数的方法：
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式。在不宜直接应用导数公式时，
应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导。这样可以减少运算量，优化解题过程。
【题型三：求复合函数的导数】
例3．（23-24 高二上·河南周口·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（22-23 高二下·全国·课时练习）函数
的导数是（ ）
A．cos x B．－cos x C．－sin x D．sin x
变式3-2．（23-24 高二上·山西长治·期末）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（22-23 高二·全国·随堂练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【方法技巧与总结】
1、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
2、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
【题型四：求某点处的导数值】
例4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）
在
处的导数
（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式4-1．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（23-24 高二上·河南开封·期末）已知函数
的导函数为
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（23-24 高二上·河北沧州·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．1 B．2 C．
D．
【方法技巧与总结】
求函数在
的导数可以先求出导函数
，再将
代入
从而得到
。
注意，当函数中含有
时，需将其看作常数进行求导。
【题型五：“在”某点的切线问题】
例5．（23-24 高二上·云南曲靖·期末）曲线
在点
处的切线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（23-24 高二上·山西大同·期末）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（23-24 高二上·浙江宁波·期末）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．1 B．0 C．
D．
变式5-3．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知
、
为实数，函数
在
处的切线方程为
，则
的值 .
【方法技巧与总结】
求曲线“在”与“过”某点的切线
（1）求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【题型六：“过”某点的切线问题】
例6．（22-23 高二下·北京大兴·期中）已知过点
的直线与曲线
的相切于点
，则切点
坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（22-23 高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数
，过点
作该函数曲线的切线，
则该切线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（2023 高三·江苏·二模）过点
作曲线
的切线，写出一条切线的方程 ．
变式6-3．（2024 高二·全国·专题练习）已知直线为曲线
在过点
的切线. 则直线的
方程为 .
【方法技巧与总结】
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
【题型七：切线的平行垂直问题】
例7．（2024·广东茂名·一模）曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
变式7-1．（23-24 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．（23-24 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
.
变式7-3．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
【题型八：切线的条数问题】
例8．（22-23 高二下·四川资阳·期末）过坐标原点可以作曲线
两条切线，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
变式8-1．（2023·全国·模拟预测）若曲线
有3 条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范
围为 .
变式8-2．（2024 高二下·全国·专题练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则的取值范
围为 .
变式8-3．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是
.
【方法技巧与总结】
已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
【题型九：两曲线的公切线问题】
例9．（22-23 高二下·福建厦门·期末）直线与两条曲线
和
均相切，则的斜率为（ ）
A．
B．1 C．2 D．
变式9-1．（22-23 高二上·安徽·期中）抛物线
与
的两条公切线（同时与两条
曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-2．（2023·广东佛山·一模）已知曲线
与曲线
（
）相交，且在交点处有
相同的切线，则
.
变式9-3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与曲线
相切，切点为
，与曲线
也相切，切点是
，则
的值为 ．
【方法技巧与总结】
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。
具体做法为：设公切线在
上的切点
，在
上的切点
，
则
【题型十：利用切线求距离最值】
例10．（23-24 高二上·北京·阶段练习）抛物线
上的一动点
到直线:
距离的最小值为
变式10-1．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）曲线
上一点到直线
的最短距离为 ．
变式10-2．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知
分别是曲线
和
上的点，其中是自然
对数的底数，则
的最小值为 ．
变式10-3．（23-24 高三上·安徽合肥·期中）点
分别是函数
图象上的动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
一、单选题
1．（23-24 高二上·浙江宁波·期中）函数
在
处的导数是（ ）
A．
B．
C．2 D．4
2．（23-24 高二上·浙江温州·期末）已知函数
满足
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知
,
是
的导函数，即
，…，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东佛山·一模）已知
为奇函数，则
在
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高二下·湖南岳阳·期末）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C． D．
6．（23-24 高二上·江苏镇江·期末）已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高二上·山东滨州·期末）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二上·宁夏·期末）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·山东菏泽·开学考试）下列运算不正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（22-23 高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列四条曲线中，直线
与其相切的有（ ）
A．曲线
B．曲线
C．曲线
D．曲线
11．（23-24 高二上·山西运城·期末）若直线
是曲线
与
曲线的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高二上·江苏扬州·阶段练习）已知
，则
.
13．（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）曲线
在点
处的切线方程为 .
14．（23-24 高二上·湖北黄石·期末）已知函数
，
，请写出函数
和
的图
象的一条公共切线的方程为 .
四、解答题
15．（23-24 高二·全国·课时练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
16．（23-24 高二上·上海·课时练习）已知函数
与
满足条件
，
，
与
．对于下列函数
，求
和
：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
17．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
.
（1）分别求出
和
的导数；
（2）若曲线
在点
处的切线与曲线
在
处的切线平行，求的值.
18．（22-23 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数为
．
（1）函数
在点P 处的切线与直线
互相垂直，求点P 的坐标；
（2）过点
作曲线
的切线，求此切线的方程．
19．（23-24 高二上·安徽芜湖·期末）已知函数
与函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求曲线
与曲线
在公共点处的公切线方程．
