1
重难点提升01 指数、对数型复合函数
课程标准
学习目标
1.指数型复合函数的性质及应用；
2.对数型复合函数的性质及应用．
掌握与指对数复合函数有关的定义域、单调性、值
域、奇偶性、零点、不等式等问题的基本解法，突破
函数学习中的这一难点.
知识点01 复合函数的概念
如果函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，值域为
，则当
时，函数
为
与
在
上的复合函数，其中
叫做内层函数，
叫做外层函数．
知识点02 复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
2
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
知识点03 复合函数的值域求解
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，
再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
题型01 指数型复合函数的定义域
【典例1】（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，运算求解即可得函数
的定义域.
【详解】令
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
3
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域是（ ）
A．R
B．
C．
D．
且
【答案】C
【分析】由题意可知：
要有意义，进而可得定义域.
【详解】由题意可知：
要有意义，可得
，
所以函数
的定义域是
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用分母不为0 即可求解.
【详解】由
，解得：
，所以函数
的定义域为
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于
、
中
求解出
的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知
，解得
且
，
故函数的定义域为
．
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·上海·单元测试）函数
（
且
）的定义域为
，则
．
【答案】
/
4
【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案.
【详解】依题意，
，
当
时，
，与已知矛盾.
当
时，
，
函数
的定义域为
，
所以
，
，两边平方得
.
故答案为：
【变式5】（23-24 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数
在区间
上有意义，求
的取
值范围.
【答案】
.
【分析】将问题转化为不等式
在区间
上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解.
【详解】因为函数
在区间
上有意义，
所以，不等式
在区间
上恒成立，
∵
，∴
，∴
.
记
，
∵
与
是
上的减函数，
∴函数
在
上的单调递增.
∴
时，
恒成立.
∴
，即
的取值范围是
.
题型02 指数型复合函数的单调性
【典例2】（23-24 高一上·河北石家庄·月考）已知函数
，则函数
的递增区间为
（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则函数
在
上单调递减，在
单调递增，
而函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增.故选：D
【变式1】（23-24 高一上·广东佛山·月考）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则t 在
上递减，在
上递增，
又
在R 上递增，所以
的单调递减区间为
，故选：B
【变式2】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
在
单调递减，
单调递增，又函数
单调递减，
所以函数
在
单调递增，
单调递减.
故选：A.
【变式3】（22-23 高一上·广东·期末）函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】设
，则
，
对称轴为
，当
，即
，即
，即
时，
为减函数，函数
为增函数，
6
则
为减函数，即函数单调减区间为
；
当
，即
，即
，即
时，
为减函数，
函数
为减函数，则
为增函数，
即函数单调增区间为
.
故答案为：
【典例3】（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数
且
在区间(0,2)上单调
递减，则
的取值范围是( ).
A．(1,+∞)
B．
C．(0,1)
D．(1,4)
【答案】B
【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可.
【详解】若
，
在(0,+ ∞)上单调递增，
要满足题意，则
要在(0,2)上单调递减，故
，即
；
若
，
在(0,+ ∞)上单调递减，
要满足题意，则
要在(0,2)上单调递增，故
，
即
，不满足
综上所述：
的取值范围是
.
故选：B.
【变式1】（23-24 高二下·天津河东·期末）设函数
在区间
单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在
上单调递减，函数
在R 上单调递增，
因此函数
的单调递减区间是
，而函数
在区间(0,1)单调递减，
7
则
，即
，解得
，所以a 的取值范围是
.
故选：D
【变式2】（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】设
，函数
在
上单调递增，
函数
在
单调递增，故
在
上单调递增，故
.
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数
在区间
上是增函数，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知函数
由
复合而成，
在
上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知
需为R 上的增函数，
故
，∴
，∴
或
，故选：D.
【变式4】（23-24 高一上·山东济宁·月考）已知
在
上是减函数，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
因为
在
上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数
与
的单调性相反；
又因为
单调递减，所以
需在
上单调递增.
函数
的对称轴为
，所以只需要
，故选:A.
8
【变式5】已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
且
，得
为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得
，
又
，解得
．
故选：C．
【变式6】已知函数
，若函数
在区间
上单调递增，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，
在
上单调递增，
令
，因为
，则
，故
，
又
在
上单调递减；
而
的开口向上，对称轴为
，
根据复合函数单调性同增异减可得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【典例4】（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知x，
，且
，则下列不等式正确的
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
9
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨单调性，利用单调性可得
，再逐项判断即得.
【详解】令函数
，函数
分别是R 上的增函数和减函数，因此
在R 上递增
由
，得
，即有
，因此
，
对于AC，
，
，AC 正确；
对于BD，取
，满足
，而
，选项D 中表达式无意义，BD 错误.
故选：AC
【变式1】（24-25 高三上·上海金山·阶段练习）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于ACD 通过反例即可判断，对于B 可通过
的单调性判断.
【详解】对于A：取
，满足
，而
，故错误；
对于C：取
满足
，而
，故错误；
对于D：取
，满足
，而
，故错误；
对于B：因为
，所以
，又函数
单调递增，所以
，
即
，故正确
故选：B
【典例5】（24-25 高三上·江苏·开学考试）设函数
，则使得
成立的
的
解集是 ．
【答案】
【分析】判断函数
的性质，再利用性质求解不等式.
【详解】函数
的定义域为R，
，则
为奇函数，
又函数
分别为R 上的增函数和减函数，于是
是R 上的增函数，
不等式
化为
，
即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
10
故答案为：
【变式1】（23-24 高一上·天津·期末）若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
，即
，
当
时，
有最小值
，
，
故选：A
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
.当
时，求不等式
的解
集.
【答案】
【分析】令
，则
，再由
，解不等式即可；
【详解】因为
，
令
，则
，
当
时，
，
即
，即
，
由
，解得
，
即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
题型03 指数型复合函数的值域
11
【典例6】（1）（23-24 高一上·重庆·期末）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】依题意，
，当且仅当
时取等号，而函数
在R 上单调递减，
因此
，
所以函数
的值域是
.
故答案为：
（2）（23-24 高一上·福建三明·期中）函数
在
时的值域是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，函数
，
显然当
，即
时，
，当
，即
时，
，
所以所求值域是
.
故答案为：
【变式1】求函数
，在
上的值域.
【解析】
，
令
，函数
在
上是单调减函数，∴
，
的对称轴为
，
∴当
时，
，即
当
时，
，即
，
∴
在
上的值域为
.
【变式2】（24-25 广东省六校10 月联考）函数
（
）的最大值为 .
【答案】
/
【分析】结合二次函数的性质求最大值．
12
【详解】
，
又
，则
，
所以
，即
时，
，
故答案为：
．
【变式3】（对选）（23-24 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．
D．函数
为减函数
【答案】BC
【分析】根据分母不为
求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为
，即可求
出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.
【详解】对于函数
，则
，解得
，所以函数的定义域为
，故A 错误；
因为
，
又
，当
时
，则
，
当
时
，则
，
所以函数
的值域为
，故B 正确；
又
，故C 正确；
当
时
，当
时
，所以
不是减函数，故D 错误.
故选：BC
【变式4】（23-24 高一上·广东深圳·期末）将函数
的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案.
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【详解】由于
，故
且
，
故函数
的值域为
，
故答案为：
【典例7】（23-24 高一上·甘肃威武·月考）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间
(2)若
有最大值3，求
的值
(3)若
的值域是
，求
的值
【答案】(1)函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；(2)1；(3)0.
【解析】（1）当
时，
，
令
，由
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
在R 上单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．
（2）令
，
，
由于
有最大值3，所以
应有最小值
，
因此必有
．解得
，即
有最大值3 时，a 为1．
（3）由指数函数的性质知，要使
的值域为
，
应使
的值域为R，
因此只能
（因为若
，则
为二次函数，其值域不可能为R），
故a 的值为0．
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【变式1】（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对实数
分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当
时，
，符合题意；
当
时，因为函数
的值域为
满足
，
由指数函数的单调性可知，即二次函数
的最小值小于或等于零；
若
时，依题意有
的最小值
，即
，
若
时，不符合题意；
综上：
，
故选：B.
【变式2】（22-23 高一下·青海西宁·开学考试）若函数
的值域为
，则a 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】对
分类讨论可知，只有当
且函数
的值域包含
时满足题意，由此即可列出不等式组求解.
【详解】若
，则
，不满足题意；
若
，则
，
当
，即
时，
的值域为
，满足题意.
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高一上·上海·期末）已知
，设
.
(1)若
，求函数
的值域；
15
(2)已知
，若函数
的最大值为
，求
的值；
(3)已知
，若存在两个不同的正实数
、
，使得当函数
的定义域为
时，其值域为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解；
（2）令
，可得
的最大值为
，结合二次函数性质分析求解；
（3）令
，由题意可知
在(1,+ ∞)内有两个零点，结合二次函数零点分布
求解.
【详解】（1）若
，则
，
因为
，则
，
所以函数y = f (x)的值域为
.
（2）令
，则
，
因为
，可知
开口向下，对称轴为
，
当
，二次函数取到最大值
，
整理得
，解得
或
，
且
，所以
.
（3）令
，则
因为
，
开口向上，对称轴
，
可知
在(1,+∞)内单调递增，
且
在(0,+∞)内单调递增，
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可知
在(0,+ ∞)内单调递增，
由题意可知：
至少有2 个不同的正根，
即
，整理得
，
可得
在(1,+∞)内有两个零点，
且
，则
，解得
，
所以
的取值范围
.
【变式4】设函数
是定义域为R 的偶函数，
是定义域为R 的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
【解析】（1）
为偶函数，
，
又
为奇函数，
，
，①
，
，②
由
得：
，
可得
.
所以
，
.
（2）
，
所以，
，
令
，因为函数
、
在
上均为增函数，
故
在
上单调递增，则
，
设
，
对称轴
，
17
①当
时，
在
上单调递增，
，解得：
，不符合题意.
②当
时，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
则
，
解得：
或
（舍）；
③当
时，
在
上单调递减，
，解得：
，不符合题意.
综上：
.
【变式5】设
，且
，函数
在
上的最大值为，则实数
的值为
.
【答案】
或
【解析】令
且
，则
，
且
，
，
函数
是
上的增函数；
当
，
时，
，
，
即
，解得：
或
（舍）；
当
，
时，
，
，
即
，解得：
或
（舍）；
综上所述：实数
的值为
或
.
故答案为：
或
.
题型05 指数型复合函数的奇偶性
【典例8】（23-24 高一上·新疆伊犁·期中）已知
是奇函数，则
（ ）
18
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】由函数
，可得
，
因为
是奇函数，所以
，
即
，解得
.故选：A.
【变式1】（23-24 高一上·辽宁·月考）设
且
，若函数
是
上的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于函数
是
上的奇函数，
故
，即
，
故
，即
，
因为
，故
，故选：A
【变式2】（2024·江西新余·模拟预测）函数
为偶函数，则
的值为：
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性列式化简即可求值.
【详解】
，
，
由函数
为偶函数，则
，
即
，解得：
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高二上·湖南·阶段练习）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．3
19
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】因为函数
为偶函数，所以
，
所以
，
解得
，经检验
满足题意，
故选：B.
【变式4】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据偶函数定义列出方程求解即可.
【详解】因为函数
为偶函数，
所以
，
所以
，即
恒成立，
所以
，
故选：D
题型05 对数型复合函数的定义域
【典例9】（23-24 高二下·天津红桥·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域.
【详解】由
得
，所以函数
的定义域为
.
故选: B
【变式1】（2024 高一上·江苏·专题练习）设全集
，
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
20
【答案】D
【分析】通过函数的定义域求出集合A，然后求出A 的补集，通过函数的值域求出集合B，接着根据集合
的交集定义即可求解
.
【详解】由
，
时
，
所以
；
，
所以
，
所以
.
故选：D.
【变式2】函数
的定义域是
【答案】(1,2)
【分析】对数的真数大于零，然后建立不等式求解即可.
【详解】由题可知
，解得
，
所以函数
的定义域为(1,2).
故答案为：(1,2)
【变式3】（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
.
【分析】由条件求出函数
解析式中
的范围，列出使得
有意义的不等式，
解不等式可得结论.
【详解】因为函数
的定义域是[2,4]，
所以
，故
，
因为
有意义，
所以
，所以
，
所以函数
的定义域为(2,3).
21
故答案为：(2,3).
【变式4】（23-24 高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
（常数
且
）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
，解出
即可.
（2）令
，解出
即可.
【详解】（1）由已知，令
，即
，
解得
，
则函数的定义域为
.
（2）由已知，令
，解得
，
则函数的定义域为
.
题型06 对数型复合函数的单调性
【典例10】（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用二次函数的图象与性质，函数
在
上单调递增，在
上单调
递减，以及对数函数的图象与性质，函数
为减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求
解.
【详解】令
，
由
，解得
，
又
的图象的对称轴为
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，则函数
为减函数，
所以由复合函数单调性，
的单调递增区间是
.
22
故答案为：
.
【变式1】（23-24 高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，是偶函数且在区间
上单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】逐项判断函数的奇偶性、单调性可得答案.
【详解】对于A，x∈R，定义域关于原点对称，
，所以
是偶函数，
设
，则
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，故A 正确；
对于B，x∈R，定义域关于原点对称，
，所以
是偶函数，
当x∈(0,+∞)时，
是单调递增函数，故B 正确；
对于C，
，定义域关于原点对称，
，所以
是偶函数，
当x∈(0,+∞)时，
是单调递增函数，故C 正确；
对于D，
，定义域关于原点对称，
，所以
是奇函数，故D 错误.
故选：ABC.
【变式2】（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数
，因为
，解得
．
所以函数
的定义域为
，且
，
．
因为函数
在区间
上单调递增，
在区间(1,2)上单调递减，函数
单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数
在区间
上单调递增，
在区间(1,2)上单调递减,
故选：A
【变式3】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）函数
的单调递增区间为 .
23
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】由
，或
，
二次函数
的对称轴为
，
因为函数
是正实数集上的增函数，
所以当函数
单调递增时，则有
，
所以函数
的单调递增区间为
，
故答案为：
【变式3】（2024 高一·全国·专题练习）试求函数
的单调区间．
【答案】单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】利用对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】函数
的定义域为
．
令
，则
．
因为函数
在
内单调递减，
且当
，即
时，函数
单调递减，
当
，即
时，函数
单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【典例11】（23-24 高一上·山东临沂·阶段练习）若函数
在区间
内单调
递增，则
的取值范围 .
【答案】
【分析】根据对数复合函数的单调性求参.
【详解】令
，
因为
单调递减，所以
单调递减，故0<a<1,
又因为
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
24
【变式1】（24-25 高三上·山东济南·开学考试）已知函数
在
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
在
上恒大于0，且单调递增，可求
的取值范围.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
.
且
在
恒大于0，所以
或
.
综上可知：
.
故选：B
【变式2】（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数函数定义可知
对任意的
恒成立，解得
且
；再根据
复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解.
【详解】因为
在(3,4)上单调递减，
则
对任意的
恒成立，可得
且
；
且
开口向下，对称轴
，
当
时，则对称轴
，可知
在(3,4)内单调递减，
且
在定义域内单调递减，所以
在(3,4)上单调递增，不合题意；
当
时，因为
在定义域内单调递增，可知
在(3,4)内单调递减，
则
，解得
；
综上所述：
的取值范围是
.
故选：C.
25
【变式3】（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可.
【详解】
在区间
上单调递增，
则
在区间
上单调递减且恒为正，
所以
且
，所以
.
故选：C.
【变式4】（23-24 高一上·湖北·期末）若函数
在区间
内单调递增，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知得
，解之得
，即
的定义域为
，
又
在区间
内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：
，解得
．故选：D
【变式5】若
（
，且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
【解析】令
，
当
时，
是增函数，
因为
（
，且
）在区间
上单调递增，
则
在区间
上单调递增，且
在区间
上恒成立，
则
，且
，解得
；
当
时，
是减函数，
因为
（
，且
）在区间
上单调递增，
则
在区间
上单调递减，且
在区间
上恒成立，
26
则
，且
，无解，
综上：
，
故答案为：
【典例12】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知函数
（
且
）的
图象过点
．
(1)求a 的值及
的定义域；
(2)求
的单调区间；
(3)若
，比较
与
的大小．
【答案】(1)
，
(2)单调增区间为
，单调减区间为
(3)
【分析】（1）由
求得
，由对数函数的定义得定义域；
（2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间；
（3）指数式改写为对数式，然后比较
的大小，并由已知得出
的范围，在此范围内由
的
单调性得大小关系．
【详解】（1）因为
在函数
的图象上，
所以
，
即
，解得
.
由
，解得
，
所以
的定义域为
.
（2）由
，
令
，
当
时，
单调递增，
时，
单调递减，
27
又
单调递减，由复合函数的单调性知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（3）
，
，
，
，
，
，
所以
，
，则
，
，
因为
，所以
，
，即
，
，
，
所以
，
，
由（2）知，
在
上是减函数，
所以
．
【变式1】（23-24 高二下·宁夏银川·期末）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简函数
，推出
，再根据函数在
上的单调性即得.
【详解】由
可知，
，
且
在
上单调递减，故
，即
.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数
（
，且
）的图象关于
坐标原点对称
(1)求实数
的值
(2)比较
与
的大小，并请说明理由.
28
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数解析式，由奇函数定义可求得
满足题意；
（2）利用对数函数单调性对底数
进行分类讨论即可比较出
与
的大小.
【详解】（1）∵
，∴
.
又函数
的图象关于坐标原点对称，
∴
，∴
，
∴
，即
，可得
，
解得
或
.
验证知
不成立，
所以
（2）据（1）求解知，
，
因此
，
.
当
时，函数
在
上单调递增，∴
；
当
时，函数
在
上单调递减，∴
；
综上可知，当
时，
；当
时，
.
【典例13】（23-24 高一下·湖北·期中）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求
的取值范围;
(2)若
，解不等式
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）
在
上单调递减，所以
，求出函数
的定义域，则
为其定义域的子集，
求解即可.
（2）利用对数的加法运算化简解析式，然后利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）依题意
在
上单调递减，所以
，
29
所以由
， 解得
，所以
，
解得
，即
的取值范围是
.
（2）依题意
，
即
，从而有
解得
或
，
即不等式解集为
.
【变式1】（23-24 高一·上海·课堂例题）设
，若
，求实数
的取值
范围．
【答案】
【分析】利用对数函数的单调性，把含对数的不等式转化为多项式不等式求解，过程中注意函数的定义域
即可.
【详解】因为
，所以对数函数
在
上单调递减；
又
，
所以
.
故实数
的取值范围为：
【变式2】（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的定义域；
(2)求关于
的不等式
的解集.
【答案】(1)
(2)
30
【分析】（1）由题意可得不等式
，求解可得；
（2）根据函数的单调性，由不等式
可化为
，进而可得
，求解
可得.
【详解】（1）由
，解得
，
所以
的定义域为
.
（2）
.
不等式
可化为
.
因为
是增函数，所以
解得
，故
.
故不等式
的解集为
.
【变式3】（24-25 高三上·辽宁·开学考试）若
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对数的定义可得
，根据对数单调性解不等式即可.
【详解】因为
，
可得
且
，可得
且
，可知
，
且
，可得
，解得
或
（舍去），
若
，则
，则
，
可得
，整理可得
，解得
或
（舍去），
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，若
，
31
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数
，判断
的单调性和奇偶性，由此求得不等式
的解集.
【详解】
，
令
，由于
，所以
的定义域为R，
又
，
所以
是奇函数，当
时，
为增函数，则
，
由
是奇函数可知，
在R上单调递增，
则
，
于是
，解得
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
【变式5】已知函数f(x)＝loga（x+1），g(x)＝loga（1﹣x），a＞0 且a≠1
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域且判断奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
【答案】(1)函数的定义域为
，偶函数
(2)答案见解析
【分析】（1）构造函数，根据对数函数的定义即可求出定义域，再根据奇偶性的定义即可判断；
（2）需要分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可，注意定义域．
【详解】（1）令F(x)＝f(x)+g(x)＝loga（x+1）+loga（1﹣x）＝loga（1﹣x2），
1
∵﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域为
，
，
∴F(x)为偶函数，即f(x)+g(x)为偶函数；
（2）∵f(x)≥g(x)，∴loga（x+1）≥loga（1﹣x），
当a＞1 时，x+1≥1﹣x，解得0≤x＜1，
当0＜a＜1 时，x+1≤1﹣x，
解得﹣1＜x≤0，综上所述，当a＞1 时，解集为[0，1），当0＜a＜1 时，解集为（﹣1，0]．
32
题型07 对数型复合函数的值域
【典例14】（23-24 高一上·浙江杭州·月考）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，
令
，则
，
又
在
上单调递增，则
，
则函数
的值域为
故选：B
【变式1】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
的最小值是 ．
【答案】2
【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可.
【详解】令
，则
，
.
又
在
上单调递增，
所以
，此时
.
故答案为：
【变式2】（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
设
，则
，
故函数的值域为
.故选：C
【变式3】（23-24 高一上·广东茂名·期中）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】令
，则
，
33
因为
，则
，且
的对称轴为
，
可知
，所以
的值域是
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
且
，若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1．
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
可得
，则
在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可
求出
的值；
（2）由
得
，对函数化简后换元得
，然后利用二次函数的性质可求出其
最小值.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
在
上为严格减函数，
因为函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1，
所以
，即
，解得
．
（2）因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
，
所以当
，即
时，
取最小值为
．
【变式5】（24-25 高一上·上海·课堂例题）设
且
，函数
的图像过点
．
(1)求
的值及函数的定义域；
34
(2)求函数在区间
上的最大值．
【答案】(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入点的坐标求出
的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域；
（2）依题意可得
，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）由函数
的图像过点
，
得
，即
，所以
，解得
或
（舍），
所以
，
由
，解得
，
所以
，函数的定义域为
．
（2）由（1）知
，
又
，所以当
时
取得最大值4，且函数
在定义域
上单调递增，
故函数在区间
上的最大值
．
【典例15】（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知函数
在
上的值域为
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
因为
的值域为
，所以
，
又
，
，所以
，
即
，解得：
且
，
所以实数
的取值范围是
.故选：D.
35
【变式1】（23-24 高一上·山西长治·期末）已知函数
的最大值为2，则
．
【答案】6
【解析】因为函数
由
与
复合而成，
而
在定义域上单调递增，
所以当
取最大值时，函数
取得最大值，
由二次函数的性质易知当
时，
，此时
，
所以
，解得
．
故答案为：
【变式2】（23-24 高一上·云南昆明·期末）设函数
且
．
(1)若
，解不等式
；
(2)若
在
上的最大值与最小值之差为1，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由
可求出a 的值，即得函数解析式，根据对数函数的单调性解不等式，即得答案；
（2）由题意列方程求解，即可求得a 的值.
【详解】（1）由
可得
，解得
，
即
，则
，即
，
即
，
故不等式
的解集为
；
（2）由于
在
上的最大值与最小值之差为1，
故
，即
或
，
即
的值为
或
.
【变式3】（23-24 高一上·江西景德镇·期末）已知函数
，（
，且
）．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
36
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上取得最大值2？若存在，请求出
的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)存在，
或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解；
（2）先令
，并求值域，再分别对
进行分类求
的最大值，
进而求
的值.
【详解】（1）由题意可得
，即函数
的定义域为
.
当
时，
，
令
，则
，易知函数
在(0,+∞)上单调递增.
函数
图象的对称轴为直线
，
当
，函数
在
上递增，在
上递减．
所以，由复合函数的单调性可得函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，（
，且
）.
令
，由
，得
，
则
的值域为
.
（ⅰ）
时，
在
上单调递减，
所以函数
在
上的最大值为
，
则
，
，满足题意.
（ⅱ）
时，
在
上单调递增，
37
所以函数
在区间
上的最大值为
，
则
，满足题意．
综上所述：
的值为
或
.
题型08 对数型复合函数的奇偶性
【典例16】（23-24 高一上·广东汕头·期末）函数
（a 为常数）的奇偶性为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．都不是
【答案】A
【解析】根据题意，设
，其定义域为
，
所以函数f（x）为奇函数，故选：A．
【变式1】函数
是定义在
上的奇函数，则
．
【答案】
【解析】由函数
是定义在
上的奇函数，
则
对任意的实数
恒成立，
即
，对任意实数
恒成立，
可得
对任意实数
恒成立，可得
，即
经验证，此时
为
上的奇函数，满足题意．
故答案为：．
【变式2】（2023·山西·高一校联考期中）若
为偶函数，则
.
【答案】
【解析】设
，定义域为
，
则
，
38
所以函数
为奇函数，
又因为
为偶函数
所以函数
为奇函数，得
.
故答案为：.
【变式3】（23-24 高三上·福建莆田·月考）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，
，
则有
，解得
，
经验证
时，符合条件，故选：B.
题型09 指、对复合函数中恒成立与有解问题
【典例17】（23-24 高一下·湖南·开学考试）已知函数
.
(1)求
的定义域；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组求解即可；
（2）根据题意可知
，结合二次函数性质利用指数函数单调性求解
，分类讨
论求解函数
的最大值，列不等式求解即可.
【详解】（1）要使函数
有意义，则
，解得
，
所以
的定义域为(1,+∞)；
（2）因为
，所以
，
39
，因为
，所以
，
所以当
时，
，
对于函数
，
，
若
，则函数
在定义域上单调递减，而函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，则
，
因为
，所以
，无解；
若
，则函数
在定义域上单调递增，而函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
则
，又
，所解得
；
综上，
的取值范围为
.
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数
，
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
【变式1】（23-24 高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数
，若对
，均有
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
40
【分析】由题设
上
，进而有
，结合对数函数的性质列不
等式组求参数范围.
【详解】由题设
上
，而
，故
，
而
为增函数，
所以
，即
，故
的取值范围为
.
故选：C
【变式2】（22-23 高一上·江苏南通·阶段练习）函数
，
（
），对
，
使
成立（为自然对数的底数），则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据题意可利用换元法构造函数，分别求出两函数值域再由逻辑语成立得出值域的关系，即可求
出实数
的取值范围.
【详解】根据题意可知
时，
；
令
，构造函数
，
由二次函数性质可得函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，
，即
；
也即
时，
；
又
，所以
在
上单调递增，即
；
若对
，
使
成立，可知
；
即
，解得
.
又
，所以
故答案为：
【变式3】（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知函数
．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
41
(2)
【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解；
（2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出
的最大值即可得解.
【详解】（1）函数有意义，
须满足
，∴
．
∴函数的定义域为
．
（2）∵不等式
有解，∴
小于
的最大值．
．
令
，由于
，∴
．
∴函数的最大值为
，
∴实数
的取值范围为
．
【变式4】（22-23 高一上·河北邢台·期末）已知函数
.
(1)求函数
的定义域；
(2)判断函数
的奇偶性；
(3)若对任意
，
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）根据条件，列出不等式即可得到结果；
（2）根据条件，结合函数奇偶性的定义即可得到结果；
（3）根据条件，结合换元法，以及函数的单调，转化为最值问题，即可得到结果.
【详解】（1）∵
，∴
，解得
，∴
的定义域为
.
（2）∵定义域关于原点对称，且
，∴函数
为奇函数.
（3）设
，
，∵
在
上单调递增，
在
上单调递
增，
∴由复合函数的单调性知，
在
上单调递增，∴
在
上单调递增，
∴
在
上的最大值为
.
要使
对任意
，
恒成立，只需
，即
，
42
恒成立.令
，则
，解得
或
，
故实数
的取值范围是
.
题型11 指对复合函数中零点问题
【典例18】（多选）（23-24 高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数
，若函数
有三个零点
、
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数
的增区间为
D．
的最小值为
【答案】AD
【分析】作出函数
与函数
的图象，数形结合可判断A 选项；结合图形可得出关于
的不等式，
解之可判断B 选项；由图得出函数
的单调递增区间，进而可求出函数
的增区间，可判断C 选
项；利用二次函数的对称性可得出
，结合基本不等式可判断D 选项.
【详解】由
可得
，作出函数
与函数
的图象如下图所示：
对于A：方程
有三个解
y = f (x)与直线
有个交点，
由图可知，
，故A 正确；
对于B 选项，由图可知，
在函数
的图象上，
由
可得
，解得
，故B 错误；
43
对于C，函数
的增区间为
，
对于函数
，由
得
，
所以
的增区间为
，故C 错误；
对于D，二次函数
的对称轴为直线
，
由图可知，点(x1,f (x1))、(x2,f (x2))关于直线
对称，则
，
，
由
得
或
，由图可知
，
，
当且仅当
时，即
时成立，故D 正确.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
【变式1】（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
且
，函数
，若关于
的方程
恰有3 个不相等的实数解，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当
时，
，方程
有2 个不相等的实数解，则当
时，
，此时方程
只有1 个实数解，对
分类讨论，由
的值域求实数
的
取值范围.
【详解】方程
，即
或
，
当
时，
，由
解得
，由
解得
；
44
当
时，
，此时方程
只有1 个实数解，
若
，则
在
上单调递减，
，
此时
和
都有解，不合题意，
若
，则
在
上单调递增，
，则
.
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式3】（24-25 高三上·湖南常德·开学考试）已知函数
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式
的解集.
（2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】（1）
，
，
恒成立，
，
原不等式的解集为
；
（2）方程
有两个不同的实数根，
有两个不同的实数根，
令
，则
在
有两个不同的实数根，
令
，
由已知得
，解得
.
【变式4】（2024·全国·模拟预测）若关于x 的指数函数方程
(1)有实数解，求实数a 的取值范围；
45
(2)在区间
上有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
或
【分析】（1）参变分离后借助基本不等式计算即可得；
（2）参变分离后借助对勾函数的性质计算即可得.
【详解】（1）由题意可得
有解，
由
，故
，
当且仅当
时，等号成立，
即
，则
，即
；
（2）由题意可得
在区间
上有且只有一个实数解，
由
时，则
，
由对勾函数性质可得，当
，即
时，
单调递减，
此时
，
当
，即
时，
单调递增，
此时
，
则有
或
，
解得
或
.
题型12 指对复合函数中的新定义问题
【典例19】（23-24 高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式
；三阶行列式
的某一元素
的余子式
指的是在
中划去
所在的行和列后所余下的元素按原来
46
的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式
，若元素1 的余子式
，则
；记元素2 的余子式
为函数
，则
的单调减区间为 .
【答案】 3
2/
/
【分析】由
，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出
；利用余子式定义将
转化为二
阶行列式经过运算化简得
解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可.
【详解】由三阶行列式
根据题意得，
元素的余子式
，
解得
；
元素2 的余子式
则函数
由
解得
，则
定义域为
，
令
，
则当
，函数
单调递增，又
单调递增，
所以由复合函数单调性可知
在区间
上单调递增；
当
，函数
单调递减，又
单调递增，
所以由复合函数单调性可知
在区间
上单调递减；
故
单调减区间为
.
故答案为：
；
（填
也正确）.
【变式1】（24-25 高三上·全国·阶段练习）定义，不超过
的最大整数称为
的整数部分，记作
，
为
的小数部分，记作
，这一规定最早为数学家高斯所用，因此
称为高斯函数，
称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
47
A．
B．函数
所有零点和为0
C．
的值域为
D．
是
的充要
条件
【答案】C
【分析】根据给定函数，计算判断A；由零点的意义构造函数，作出图象，结合对称性求解判断B；利用
指数型函数的值域判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，由
，得
，在同一坐标系内作出函数
与
的图象，
函数
的图象关于点
成中心对称，令
，
令
，则
，
，
，
于是
，即函数
图象关于点
成中心对称，
则函数
与
的图象，除交点
外，其他交点都关于点
成中心对称，
这些交点的横坐标和为0，所以函数
所有零点和为
，B 错误；
对于C，
，而
，则
，
，
，函数
的值域为
，C 正确；
对于D，当
时，取
，而
，D 错误.
故选：C
【变式2】（23-24 高一上·重庆·期末）定义：
表示
的解集中整数的个数.若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，不等式
的解集是
C．当
时，
48
D．当
时，若
，则实数
的取值范围是
【答案】BD
【分析】由题意可知，
即为满足
的整数
的个数，数形结合可判断A
选项；当
时，解不等式
，可判断BC 选项；数形结合可得出满足不等式
的等
价条件，求出实数
的取值范围，可判断D 选项.
【详解】根据题意，
即为满足
的整数
的个数．
当
时，如图，数形结合得
的解集中整数的个数有无数多个，故A 错误；
当
时，
，数形结合（如图），
由
，可得
，解得
，
所以在
内有个整数解，为、
、，故B 对和C 错；
当
时，作出函数
和
的图象，如图所示，
若
，即
的整数解只有一个，
只需满足
，即
，解得
，
49
所以
时，实数
的取值范围是
，故D 正确；
故选：BD．
一、单选题
1．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
后由交集定义可得答案.
【详解】
集合表示函数
的定义域，则
，
集合表示函数
的值域，则
.
故
.
故选：A.
2．函数
，
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令
，
则
，
则
，
故选：A.
3．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由对数式的真数大于0 求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求.
50
【详解】由
，得
或
，
则原函数的定义域为
或
，
令
，其对称轴方程为
，该函数在
上单调递增，
又函数
是定义域内的增函数，
∴函数
的单调递增区间是
.
故选：D.
4．（23-24 高一上·天津·阶段练习）函数
的值域为R．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】由函数
的值域为R，得
的取值包含所有正实数，
因此
，解得
或
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：D
5．（24-25 高三上·浙江·开学考试）函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性同增异减列不等式，由此来求得
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在
上单调递增，则
，即
.
故选：A
6．（23-24 高二下·浙江·期中）已知
，则使
成立的实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.
【详解】因为
,所以f (x)是单调递增函数，
又因为
，所以
,
51
所以
,
所以x 的取值范围为
.
故选：A.
7．当
时，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将
时，不等式
恒成立，转化为
对一切
恒成立，再
，求得其最小值即可.
【详解】因为
时，不等式
恒成立，
所以
对一切
恒成立，
令
，
所以
，
解得
.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
8．（23-24 高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索
道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为
，其中c 为参数，当
时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲
正弦函数
，下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数
的值域
C．
，
恒成立
D．方程
有且只有一个实根
【答案】C
【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即
52
可判断C；令
，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以函数
的值域(−1,1)，故B 正确；
对于C，因为
，
即
，故C 错误；
对于D，
，
令
，函数
为增函数，且
，
而函数
在
上为增函数，
所以函数
是增函数，
令
，
因为函数
都是增函数，
所以函数
是增函数，
又
，
所以函数
有唯一零点，且在(0,1)上，
即方程
有且只有一个实根，故D 正确.
故选：C.
53
【点睛】方法点睛：判定函数
的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令
，将函数
的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数
图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
二、多选题
9．（23-24 高一下·江西·期末）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
是定义域上的奇函数
D．函数
是定义域上的偶函数
【答案】AC
【分析】利用对数函数真数大于0 建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到
的单调性，再求
值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D 即可.
【详解】对于函数
，
令
，解得
，
函数
的定义域为
，故A 正确；
因为
在
上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
同理可得
在
上单调递增，
所以
为
上的增函数，
又
，
其中
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
则
，所以
，即
，又
的值域为
，
函数
的值域为
，故B 错误；
又
，
函数
是定义域
上的奇函数，C 正确，D 错误．
54
故选：AC．
10．（23-24 高一上·河北保定·期末）已知函数
为奇函数，则下列叙述正确的是
（ ）
A．
B．函数
在定义域上是单调减函数
C．
D．函数
所有零点之和大于零
【答案】AC
【分析】根据f (−x)=−f (x)求解可判断A；取特值验证可判断B；通过观察法求值域可判断C；根据奇函
数的对称性即可判断D.
【详解】对A，由
得
的定义域为
，
因为
为奇函数，所以
，解得
，A 正确；
对B，由上知，
，
因为
，
所以
，显然不满足减函数定义，B 错误；
对C，因为x∈(−∞,0)∪(0,+ ∞)，所以
，
所以
，所以
，
所以
，C 正确；
对D，因为函数
和
均为奇函数，
所以F (x)是定义在
上的奇函数，
由对称性可知，若
是F (x)的一个零点，则
也是F (x)的一个零点，
所以，F (x)的所有零点之和等于0，D 错误.
故选：AC
11．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）设定义在
上的函数
满足
为奇函数，
当
时，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
为偶函数
55
【答案】ABD
【分析】由题意可得
可判断A；由
可得
，列方程组，解出
可
判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C；由
得
可判断D.
【详解】选项A：因为
为奇函数，所以
，
即
关于(1,0)对称，又
是定义在R上的函数，则f (1)=0，故A 正确；
选项B：由
可得
，则有
，
故B 正确；
选项C：因为f (x +2)=−f (x)，所以f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，即
的周期为4；
因为
，即
，
所以
；
因为
关于(1,0)对称，所以
，
则
，故C 错误；
选项D：由
得
，
即
为偶函数，故D 正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）
关于
轴对称，
（2）
关于
中心对称，
（3）
的一个周期为
，
（4）
的一个周期为
.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
三、填空题
12．（23-24 高一下·广东揭阳·期末）若函数
的值域为(1,+∞)，则实数
的取值范围为
56
.
【答案】
【分析】利用对数函数的单调性，可求出
时的值域，进而可知当
时，有
恒成立，最后
结合指数的运算即可求解.
【详解】当
时，
，此时
，
因为函数
的值域为
，
所以当
时，有
恒成立，
即
在
时恒成立，
所以
，解得
.
故答案为：
.
13．（23-24 高一上·浙江丽水·期末）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令
，对称轴为
，
∵函数
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，
∴
在
上单调递增，且
，
∴
且
，即
且
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．（23-24 高一上·湖南娄底·期末）设函数
的定义域为D，若满足：①
在D 内是单调增函数；
②存在
，使得
在
上的值域为
，那么就称
是定义域为D 的“成功
函数”.若函数
（
且
）是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是
.
【答案】
【分析】先根据对数型复合函数的单调性求得
，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二
次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可.
【详解】依题意，函数
（
且
）在定义域R 上为单调递增函数，则
，
57
而
时，
不满足条件
，所以
，
设存在
，使得
在
上的值域为
，
所以
，即
，
所以
，n 是方程
的两个不等的实根，设
，则
，
所以方程等价为
的有两个不等的正实根，
即
，所以
，解得
.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
（
且
）是偶函数.
(1)求
的值；
(2)若
在
上的最大值比最小值大
，求
的值.
【答案】(1)0.
(2)
或
.
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解；
（2）分
和
两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.
【详解】（1）若
为偶函数，则
恒成立，
所以
，即
恒成立，解得
.
故
的值为0.
（2）由（1）可得
（
且
）.
当
时，
在
上单调递增，
，解得
.
当
时，
在
上单调递减，
，解得
.
故
的值为
或
.
16．（23-24 高一下·贵州黔西·期末）已知e 是自然对数的底数，若函数
，且
是偶函数．
58
(1)求实数a 的值；
(2)判断函数
的单调性（不用证明），并求不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)
在
上单调递减，在
上单调递增；
【分析】（1）根据偶函数定义利用
可求得
；
（2）根据复合函数单调性可判断得出
在
上单调递减，在
上单调递增，再利用偶函数性
质解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）因为
是偶函数，所以
，
即
，可得
，
也即
，
又
，
不恒等于0，因此需满足
，解得
；
经检验当
时，
为偶函数，满足题意；
所以
（2）因为函数
是偶函数，所以只需判断
上单调性即可；
易知
，当
时
，
结合复合函数以及对勾函数单调性可知
在
上单调递增，
由偶函数性质可得
在
上单调递减，
因此可得
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以对函数
来说，距离其对称轴
轴越近，函数值越小，
因此不等式
等价于
，
也即
，整理可得
，
解得
或
；
所以不等式
的解集为
.
17．（22-23 高一上·山东淄博·期末）已知函数
为奇函数.
(1)求数k 的值；
59
(2)设
，证明：函数
在
上是减函数；
(3)设函数
，判断
在
上的单调性，无需证明；若
在
上只有一个零点，
求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)单调递增，
.
【分析】(1)由于
为奇函数，可得
，即可得出
；
(2)利用单调性的定义，通过作差即可证明；
(3)利用(2)求函数
在
上的单调性，再结合零点存在性定理即可得出m 取值范围．
【详解】（1）
为奇函数，
，
，即
，
，整理得
，
（
时，
不合题意而舍去）．
（2）由(1)
，故
，
设
，
时，
，
，
，
，即
，
函数
在
上是减函数；
（3）由(2)知，
在
上单调递减，根据复合函数的单调性可知
在
单调递增，
又
在R 上单调递增，
在
单调递增，
在区间
上只有一个零点，
，
即
，
解得
.
60
【点睛】方法点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及有几个零点时，还需考虑函数的图象在
参数范围不同时的交点个数；
（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题；
（4）转化为两熟悉的函数图象交点问题，从而构建不等式求解.
18．（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
，函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)求函数
的值域；
(3)若不等式
对任意实数
恒成立，试求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指数不等式，得到解集；
（2）变形得到
，结合
，求出
的值域；
（3）转化为
，求出
，故
，得到答案.
【详解】（1）由
，得
整理得
解得
，
的解集为
（2）
，
，
，
即
的值域为
．
（3）不等式
对任意实数
恒成立
．
，
令
，
，
，
61
设
，
，
当
时，
取得最小值
，即
，
，即
，
，即
，解得
，
实数
的取值范围为
．
19．（23-24 高一上·安徽·期末）对于定义域为D 的函数
，若同时满足下列条件：①
在D 内单调
递增或单调递减，②存在区间
，使
在
上的值域为
.则我们把
称为闭函数，
且区间
称为
的一个“好区间”，其中
.
(1)若
是函数
的好区间，求实数m，n 的值；
(2)若函数
为闭函数，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据题意，分
为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于
、
的方程组，解可得答
案；（2）根据题意，分析
的单调性，可得
和
是方程
，即
的两根，利
用换元法分析可得方程
有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案．
【详解】（1）若
是函数
的好区间，
分2 种情况讨论：
若
在
上单调递增．则
，解可得
，
此时
在
上单调递增，符合条件；
若
在
上单调递减，则
，解可得
，
此时
，符合题意，
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综合可得：
或
.
（2）函数
为闭函数，易得
在定义域上单调递增，
则有
，故
和
是方程
，即
的两根，
令
，原方程等价于
，
则方程
有两个不等的正根，
则有
，解可得
，即
的取值范围为
．
